周 莎， 張 偉， 于天俊， 楊曉東

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124； 2. 機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

橫搖和縱搖非線性耦合下船舶運(yùn)動(dòng)的全局動(dòng)力學(xué)

周 莎1，2， 張 偉1,2， 于天俊1,2， 楊曉東1,2

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124； 2. 機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

針對(duì)橫搖和縱搖非線性耦合下船舶的混沌運(yùn)動(dòng)，首次應(yīng)用能量相位法研究了船舶動(dòng)力系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階主共振情形下系統(tǒng)的全局分叉及多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)行為，揭示了船舶運(yùn)動(dòng)存在模態(tài)作用、能量轉(zhuǎn)移和多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，并給出了船舶系統(tǒng)發(fā)生多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)間。數(shù)值模擬驗(yàn)證了橫搖和縱搖非線性耦合下船舶運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)存在多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)。

船舶動(dòng)力學(xué)；非線性耦合；能量相位法；多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)

縱浪尤其是迎浪航行是船舶最為常見(jiàn)的航行狀態(tài)，若按傳統(tǒng)的線性理論，由于沒(méi)有受到橫向干擾力，船舶橫搖運(yùn)動(dòng)幅值應(yīng)該近似為零。但許多航海記錄及模型試驗(yàn)都發(fā)現(xiàn)了船舶在縱浪中也會(huì)產(chǎn)生橫搖運(yùn)動(dòng)。FROUDE[1]首次在船模實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)縱浪中的船模縱搖運(yùn)動(dòng)與橫搖運(yùn)動(dòng)相互耦合。PAULLING等[2]將縱搖視為諧和運(yùn)動(dòng)，并忽略阻尼的影響，得到了參數(shù)激勵(lì)的Mathieu方程。NAYFEH等[3]，研究了規(guī)則縱浪中，考慮阻尼因素的橫搖及縱搖耦合動(dòng)力學(xué)方程，利用多尺度方法研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)船舶縱搖頻率接近橫搖頻率兩倍且波浪頻率接近縱搖頻率時(shí)，存在縱搖運(yùn)動(dòng)“飽和”及能量向橫搖運(yùn)動(dòng)滲透的現(xiàn)象。YANG等[4]針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的縱向與橫向耦合非線性動(dòng)力學(xué)的研究也發(fā)現(xiàn)此類現(xiàn)象。

除前述的船舶非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下不同模態(tài)間通過(guò)內(nèi)共振發(fā)生能量相互傳遞外，船舶橫搖及縱搖運(yùn)動(dòng)相互耦合下會(huì)發(fā)生復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)，此前的學(xué)者主要針對(duì)橫搖運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用微分動(dòng)力系統(tǒng)理論、分叉及混沌理論來(lái)研究橫搖運(yùn)動(dòng)，取得了很大進(jìn)展[5-6]，但考慮橫搖及縱搖非線性耦合下開(kāi)展相應(yīng)高維系統(tǒng)混沌的解析預(yù)測(cè)尚未見(jiàn)報(bào)道。

能量相位法[7-10]是研究高維非線性系統(tǒng)全局分叉和多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的一種全局?jǐn)z動(dòng)方法。能量相位法以相位準(zhǔn)則和能量準(zhǔn)則為前提，解析的預(yù)測(cè)工程實(shí)際問(wèn)題中混沌振動(dòng)出現(xiàn)的條件。

本文首次將能量相位法應(yīng)用于橫搖和縱搖非線性耦合下船舶動(dòng)力學(xué)模型，研究了該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階模態(tài)主共振的情形下系統(tǒng)的全局分叉和多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)行為，揭示了船舶運(yùn)動(dòng)存在模態(tài)作用、能量轉(zhuǎn)移、多脈沖跳躍和多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，并給出了船舶動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)間。

1 標(biāo)準(zhǔn)方程

NAYFEH等[11]給出了船體在頻率為Ω的規(guī)則波浪下繞縱軸的橫搖u1和繞橫軸的縱搖u2的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:Fi(i=1,2)為激勵(lì)幅值;τi(i=1,2)為相位。

考慮式(2)共振關(guān)系

ω2=2ω1+εσ1,Ω=ω2+ε2σ2

(2)

和尺度變換

μ1→εμ1,μ2→εμ2,F1→εF1,F2→εF2,0<ε?1

應(yīng)用多尺度方法和正則變換可將式(1)轉(zhuǎn)化為擾動(dòng)哈密頓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

式中:α=1/2Ω;f=F2/8Ω，哈密頓函數(shù)及耗散項(xiàng)為

(4a)

(4b)

gp=-2μ1p，gq=0

(4c)

gI=-2μ2I+(μ2-μ1)p，gθ=0

(4d)

2 能量相位法

2.1 未擾系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

首先研究未擾動(dòng)系統(tǒng)，即當(dāng)ε=0時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

對(duì)于(p,q)平面，參數(shù)σ1決定著平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

其中,

圖1 未擾動(dòng)系統(tǒng)相圖Fig.1 The phase portrait of unperturbed system

未受擾動(dòng)系統(tǒng)相軌線

q(t)=

(5)

(6)

θ(t)=θ0-2q

(7)

此時(shí)，未擾動(dòng)系統(tǒng)存在二維法向雙曲不變流形

M01=

(8a)

和

M02=

(8b)

限制在不變流形M0上的動(dòng)力學(xué)方程為

(9a)

(9b)

則不變流形上的點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn)，且連接任意兩不動(dòng)點(diǎn)的異宿軌道的相位差，即相位漂移角為

Δθ=θ(+∞)-θ(-∞)=

(10)

2.2 擾動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

根據(jù)法向雙曲不變流形在小擾動(dòng)下不變流形的保持性，對(duì)于充分小的ε>0，法向雙曲不變流形擾動(dòng)為

(11a)

和

(11b)

限制在不變流形Mε上的動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

式(12)存在不動(dòng)點(diǎn)

(13)

該不動(dòng)點(diǎn)的特征方程為

故當(dāng)μ2>0且σ2≠0時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)pε是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。因此流形Mε上的軌線趨于點(diǎn)pε。

下面驗(yàn)證同宿于流形Mε的N-脈沖同宿軌的存在性。能量差分函數(shù)為

(14)

能量差分函數(shù)存在橫截零點(diǎn)，即式(14)滿足

ΔNH(I,θ)=0,DθΔNH(I,θ)≠0

(15)

式(3)存在同宿于流形Mε的N-脈沖同宿軌。

接下來(lái)，驗(yàn)證船舶動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在著以不動(dòng)點(diǎn)pε為起跳點(diǎn)，且降落點(diǎn)在不動(dòng)點(diǎn)pε的吸引域內(nèi)的ilnikov同宿軌的存在性。

為確定從不動(dòng)點(diǎn)pε起跳的ilnikov同宿軌，需要找到參數(shù)向量λ=(σ1,d,ξ)，使得參數(shù)向量λ滿足

ΔNH(Iε(λ),θε(λ),λ)=0

(16a)

D(I,θ)ΔNH(Iε(λ),θε(λ),λ)≠(0,0)

(16b)

即

d2(sin2(NΔθ)-N2sin2(Δθ))+ξ2(cos(NΔθ)-1)2-

2dξ(cos(NΔθ)-1)sin(NΔθ)=0

(17a)

(17b)

式中:d=μ2/f;ξ=σ2/f。

(a) ξ=0.1

(b) ξ=1圖2 多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)間Fig.2 Parameter region of the multi-pulse chaotic motion

3 數(shù)值模擬

利用四階Runge-Kutta數(shù)值積分方法對(duì)式(4)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證橫搖和縱搖非線性耦合下船舶動(dòng)力系統(tǒng)存在多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)，以及模態(tài)之間的相互作用和能量傳遞。

選取參數(shù)ω1=0.25，σ1=1，σ2=0.3，F(xiàn)2=1,εμ2=εμ1=0.002,圖3(a)為(p,q)平面的相流，圖3(b)為龐加萊映射，圖3(c)為(p,I,θ)空間的相流。圖3表明擾動(dòng)系統(tǒng)存在異宿軌破裂，穩(wěn)定流形及不穩(wěn)定流形橫截相交導(dǎo)致的多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)。圖4為橫搖和縱搖兩模態(tài)的位移響應(yīng)隨時(shí)間的變化情形，明顯地，船舶橫搖和縱搖兩模態(tài)之間存在相互作用及能量傳遞。

(a) (p,q)平面擾動(dòng)系統(tǒng)相流 (b) 龐加萊映射 (c) (p,I,θ)空間擾動(dòng)系統(tǒng)相流圖3 動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)值模擬Fig.3 Numerical simulations of dynamical system

圖4 橫搖和縱搖模態(tài)響應(yīng)Fig.4 Response of pitch and roll modes

4 結(jié) 論

針對(duì)橫搖和縱搖非線性耦合下船舶的混沌運(yùn)動(dòng)，首次應(yīng)用能量相位法研究了船舶動(dòng)力系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階主共振情形下系統(tǒng)的全局分叉及多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)行為。

首先，應(yīng)用多尺度方法和正則變換將非線性耦合的船舶運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為擾動(dòng)哈密頓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其次，應(yīng)用能量相位法研究船舶的多脈沖混沌運(yùn)動(dòng),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在未受擾動(dòng)情形下存在雙曲鞍點(diǎn)和連接鞍點(diǎn)的異宿軌，在小擾動(dòng)的情形下異宿軌發(fā)生破裂；能量差分函數(shù)橫截零點(diǎn)的存在確保異宿軌破裂后其穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，且存在著同宿于慢流形的多脈沖同宿軌；進(jìn)一步驗(yàn)證船舶動(dòng)力系統(tǒng)存在ilnikov同宿軌，這意味著該系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動(dòng)，并給出多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生的參數(shù)條件。數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析。本文的研究揭示了船舶運(yùn)動(dòng)存在模態(tài)相互作用、能量轉(zhuǎn)移和多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)的機(jī)理。

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[10] HALLER G. Chaos near resonances[M]. New York: Springer-Verlag, 1999.

[11] NAYFEH A H, MOOK D T. Nonlinear oscillations[M]. Germany: Wiley-VCH, 1995.

Global dynamics of ship motions considering the nonlinear coupling between pitch and roll modes

ZHOUSha1,2,ZHANGWei1,2,YUTianjun1,2，YANGXiaodong1,2

(1. College of Mechanical Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures, Beijing 100124, China)

The global dynamics of ship motions considering the nonlinear coupling between pitch and roll modes in the presence of one to two internal resonance and principal resonance of the second mode were investigated using the energy-phase method. A major goal of the paper was to reveal the mechanism about modes interaction, energy transfer and multi-pulse chaotic motions of the ship. The certain parameter regions in which multi-pulse chaotic motions that might occur were given. Numerical simulations were performed to confirm the theoretical predictions.

ship dynamics; nonlinear coupling; energy-phase method; multi-pulse chaotic motion

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11290152;11322214);北京市高等學(xué)校人才強(qiáng)教計(jì)劃資助項(xiàng)目(11072008)

2015-11-09 修改稿收到日期：2016-01-27

周莎 女，博士，1986年7月生

張偉 男，博士，教授，1960年7月生

O322； O415.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.034