閆正虎, 劉志兵， 王西彬， 劉 彪， 王東前

(北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081)

基于徑向基函數(shù)的AL2A12薄壁件銑削穩(wěn)定性研究

閆正虎, 劉志兵， 王西彬， 劉 彪， 王東前

(北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081)

在薄壁件銑削過程中，顫振對工件表面質(zhì)量有很大影響，在實際加工之前進行銑削穩(wěn)定性預(yù)測，便于獲取無顫振的加工條件?；趶较蚧瘮?shù)逼近理論，提出一種銑削穩(wěn)定性預(yù)測方法。通過試切法和錘擊法獲得了AL2A12薄壁件的切削力系數(shù)和模態(tài)參數(shù)，并基于所提出的方法推導(dǎo)了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通過Floquet定理來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而獲得了AL2A12薄壁件銑削過程的穩(wěn)定性圖。為了驗證所提方法的計算效率，采用相同的系統(tǒng)參數(shù)來進行計算。通過與零階半離散法和全離散法相比，表明在獲得的銑削穩(wěn)定性圖一致的前提下，所提方法的計算效率最高。在預(yù)測的穩(wěn)定性圖中選擇4個參數(shù)點，利用參數(shù)點所對應(yīng)主軸轉(zhuǎn)速和軸向切深來加工AL2A12薄壁件，將實際加工結(jié)果與穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果進行比較，驗證了所提預(yù)測方法的有效性。通過實際切削表明，在AL2A12薄壁件的加工過程中，當(dāng)軸向切深相近時，較高的主軸轉(zhuǎn)速可以獲得更好的加工表面，同時也可以避免黏刀現(xiàn)象的產(chǎn)生。

薄壁件；銑削穩(wěn)定性；徑向基函數(shù)；Floquet定理

隨著我國航空、航天技術(shù)的不斷發(fā)展，薄壁件的應(yīng)用越來越多。高速切削技術(shù)是薄壁件加工的一種有效方式，并得到了廣泛應(yīng)用。由于薄壁件的剛度相對較低，在銑削過程中容易引發(fā)顫振，嚴(yán)重影響工件的表面質(zhì)量，降低機床和刀具的使用壽命，并有可能造成機床的破壞。在實際加工之前，對銑削過程中的顫振穩(wěn)定性進行預(yù)測，選擇合適的加工參數(shù)，可以控制顫振的發(fā)生，提高加工效率，降低加工成本[1]。

對銑削過程中的顫振穩(wěn)定性進行預(yù)測有著重要的意義，國內(nèi)外許多學(xué)者針對銑削顫振穩(wěn)定性的預(yù)測進行了研究。SCHMITZ等[2]通過對銑削過程中的聲音信號進行采樣，并對采樣到的信號進行統(tǒng)計學(xué)評估來識別加工過程中的顫振，但這種方法依賴于大量的試驗，同時也依賴于試驗環(huán)境。QUINTANA等[3]采用固定主軸轉(zhuǎn)速、改變軸向切深的方法來獲得穩(wěn)定性葉瓣圖，當(dāng)顫振發(fā)生時停止切削，以獲得對應(yīng)該主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深。毛漢穎等[4]通過改變切削速度及深度的多組切削試驗，獲得多組加速度信號并分析信號的混沌特征，通過混沌特征量來識別切削顫振。上述這些方法主要通過大量的試切實驗來獲取的銑削穩(wěn)定性圖，在實際加工中具有一定的實用價值，但試驗加工條件、工況因素是多變的，存在較大的不確定性。由BUDAK等[5]提出的單頻域法得到了廣泛應(yīng)用，該方法將動態(tài)切削力系數(shù)進行傅里葉展開，取直流分量進行分析，并獲得了穩(wěn)定性Lobe圖，該方法對于多齒刀具和徑向切深較大的加工方式非常有效，但不適用于小徑向切深的情況。MERDOL等[6]在單頻法的基礎(chǔ)上提出了多頻率法，該方法同時適用于徑向切削深度較大和較小時情況的銑削穩(wěn)定性預(yù)測，但卻加大了預(yù)測過程中計算量。BAYLY等[7]提出時域有限元分析方法，并用該方法來預(yù)測斷續(xù)銑削過程中任意時刻的穩(wěn)定性，但該方法僅適用于單自由度的情況。INSPERGER等[8]提出了半離散方法，用包含周期系數(shù)矩陣的時滯微分動力學(xué)方程組來描述動態(tài)銑削加工過程，該方法被廣泛應(yīng)用于分析銑削過程中的穩(wěn)定性。WAN等[9]提出一種普適的銑削穩(wěn)定性預(yù)測方法，并將其應(yīng)用于變時滯的銑削過程穩(wěn)定性分析中，該方法可用于變齒距銑刀或有刀具跳動的銑削過程的穩(wěn)定性分析中。EKSIOGLU等[10]提出一種預(yù)測銑削穩(wěn)定性的通用模型，該模型綜合考慮了刀具形狀、刀具跳動、沿著軸向切深的變化的動態(tài)剛度和過程阻尼。李中偉等[11]推導(dǎo)出基于Magnus-Gaussian截斷的零階半離散穩(wěn)定分析法，比INSPERGER和STéPN所提出的零階半離散法準(zhǔn)確有效，并通過實驗驗證了不同工況下的銑削穩(wěn)定性曲線。近年來丁燁等[12]提出了一階全離散法，在求解過程中應(yīng)用了一階線性插值來逼近狀態(tài)項，與半離散法相比，全離散法的收斂速度更快，計算效率更高，得到了更多應(yīng)用。

基于上述提出的穩(wěn)定性預(yù)測方法，許多學(xué)者對薄壁件銑削過程中的穩(wěn)定性進行了研究。WANG等[13]對鈦合金薄壁件立銑過程中的顫振穩(wěn)定性進行了研究。TANG等[14]對薄壁件的銑削穩(wěn)定性進行了研究，建立了反映主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深和徑向切深三者之間相互關(guān)系的三維穩(wěn)定性預(yù)測模型。SONG等[15]提出了一種穩(wěn)定性預(yù)測方法，并研究了銑削過程中，材料去除對薄壁件穩(wěn)定性的影響。本文在直接積分法的基礎(chǔ)上，提出一種基于徑向基函數(shù)逼近的銑削穩(wěn)定性預(yù)測方法，并利用該方法分析AL2A12薄壁件銑削過程中的穩(wěn)定性，通過實驗驗證所提出方法的有效性，并研究AL2A12薄壁件在高速切削過程中的特性。

1 銑削動力學(xué)建模

在銑削過程中，薄壁件的剛度遠(yuǎn)低于銑刀的剛度。假設(shè)刀具的剛度足夠大，其的動力學(xué)參數(shù)對銑削系統(tǒng)的影響較小，銑削系統(tǒng)的振動模態(tài)主要取決于薄壁件的動力學(xué)特性，因此在本文后續(xù)的穩(wěn)定性分析中只考慮工件的動力學(xué)參數(shù)。在薄壁件的銑削過程中，可以將“刀具-工件”系統(tǒng)簡化為Y方向的單自由度系統(tǒng)，如圖1所示。該單自由度銑削系統(tǒng)的振動控制方程可以表示為

(1)

Knsin(φj(t))]

(2)

式中:N表示銑刀的刀齒數(shù)目，Kt和Kn分別為切向和法向切削力系數(shù)，φj(t)為第j刀齒的角位移，φj(t)=(2πΩ/60)t+(j-1)·(2π/N)。

窗函數(shù)g(φj(t))定義為：

(3)

式中:φst和φex為第j刀齒的切入和切出角；對于順銑，φst=arccos(2ae/D-1)，φex=π；對于逆銑，φst=0，φex=arccos(1-2ae/D)，ae/D為徑向切削深度與刀具直徑的比值。

圖1 刀具-工件系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.1 The dynamic modal of tool-workpiece system

(4)

2 銑削穩(wěn)定性分析

將方程(4)在時間小區(qū)間[ti,ti+1]上進行積分，得到

yi+1=eAΔtyi+

(5)

利用徑向基函數(shù)來逼近方程(4)中的狀態(tài)項y(s)、時滯項y(s-τ)和隨時間變化的周期系數(shù)項B(s)。

2.1 徑向基函數(shù)逼近狀態(tài)項、時滯項和周期系數(shù)項

徑向基函數(shù)逼近是多元逼近理論中的一個有利工具，它可以看作樣條函數(shù)在多維問題上的推廣。在利用徑向基函數(shù)逼近時，對于互不相同的數(shù)據(jù)點x1,x2,…,xN∈Rn，選取合適的徑向基函數(shù)，構(gòu)造由徑向基函數(shù)Φ1,Φ2,…,ΦN組成的函數(shù)系，記為FΦ=span{Φ1,Φ2,…,ΦN}。利用所構(gòu)造的徑向基函數(shù)系，在任意時間小區(qū)間[ti,ti+1]上逼近方程(5)中的狀態(tài)項y(s)，其可以表示為：

(6)

這里選用多元二次函數(shù)作為基函數(shù)，其可表示為：

(7)

式中:tk為選定的徑向基函數(shù)的中心，b為形狀參數(shù)，其與中心點間距有關(guān)，這里b取0.0001，r為中心點到任意點的距離。

若給定時間點ti，ti+1，代入式(7)可得：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

若時間點ti和ti+1的已知函數(shù)值為y(ti)和y(ti+1)，分別記為yi和yi+1，由式(6)可得：

(9)

由式(8a)～(8d)和式(9)可得：

(10a)

(10b)

對于任意時間區(qū)間[ti,ti+1]，連續(xù)時間t的響應(yīng)y(t)可以表示為：

y(t)=wiΦi(t)+wi+1Φi+1(t)=

(11)

令s=t-ti，則s-Δt=t-ti+1，式(5)中的狀態(tài)項可表示為：

(12)

同理，時滯項y(s-τ)和周期系數(shù)項B(s)可以表示為：

(13)

(14)

需要注意的是，在Insperger的方法[8]中狀態(tài)項保持不變，周期系數(shù)項通過分段常值函數(shù)來逼近，時滯項通過關(guān)于時間的線性方程來逼近；在Ding的方法[12]中，狀態(tài)項、時滯項和周期系數(shù)項均采用一階拉格朗日插值方法來逼近。本文在對狀態(tài)項、時滯項和周期系數(shù)項進行逼近的過程中，采用多二次函數(shù)作為徑向基，先構(gòu)建徑向基函數(shù)系，再利用所構(gòu)建的基函數(shù)系來逼近狀態(tài)項、時滯項和周期系數(shù)項。

本文后續(xù)的計算過程中，由于

[(s-Δt)2+b2] [s2+b2]-

(15)

式(15)左端兩項的差值為Δt的高階無窮小，故在分別對式(5)中的B(s)y(s)和B(s)y(s-τ)展開的過程中做如下近似：

2.2 構(gòu)建Floquet轉(zhuǎn)移矩陣

將式(12)～(14)代入式(5)，可得

(17)

式中

F0=eAΔt

(18a)

F1=(F0-I)A-1

(18b)

F2=(F1-(Δt)I)A-1

(18c)

F3=(2F2-(Δt)2I)A-1

(18d)

(19)

H11=(α-β)2F3+2α(β-α)(Δt)F2+

(20a)

H12=(α-β)2F3-(α-β)2(Δt)F2+

(20b)

H13=(α-β)2F3+2(αβ-β2)(Δt)F2+

(20c)

方程(17)的映射關(guān)系可以通過如下矩陣表示：

式中

(22a)

(22b)

(22c)

銑削系統(tǒng)的Floquet轉(zhuǎn)移矩陣ψ可以表示為

ψ=MmMm-1…M1

(23)

式中

(24)

計算系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ψ的特征值，通過特征值模的大小來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具體的判定準(zhǔn)則如下：

(25)

2.3 計算時間的對比

為了驗證本文所提方法的計算效率，從計算時間方面將其與廣泛應(yīng)用的零階半離散法[8]和全離散法[12]作了比較。這三種方法獲取的穩(wěn)定性圖如圖2(a)～(c)所示。在利用上述三種方法獲取穩(wěn)定性圖的過程中，均采用相同的系統(tǒng)參數(shù)，這些系統(tǒng)參數(shù)與文獻[8]中的參數(shù)相同，具體的參數(shù)為：2齒銑刀，自然頻率為fn=922 Hz,相對阻尼比為ζ=0.011，模態(tài)質(zhì)量為my=0.039 93 kg,徑向浸入比ae/D=1,徑向切削力系數(shù)和法向切削力系數(shù)分別為Kt=6×108N/m2和Kn=2×108N/m2。在計算過程中，都將時滯項平均40份，即m=40。

由圖2(a)～(c)可知，利用相同的系統(tǒng)參數(shù)，在獲取的銑削穩(wěn)定性圖一致的前提下，利用零階半離散法獲得銑削穩(wěn)定性圖需要的時間最長，計算時間為322 s；利用全離散法獲得銑削穩(wěn)定性圖所需的時間次之，計算時間為201 s；利用本文所提出的基于徑向基函數(shù)逼近的方法獲得銑削穩(wěn)定性圖所需時間最短，計算時間為93 s。這表明本文所提方法具有更高的計算效率。

3 實驗與分析

在對薄壁件進行穩(wěn)定性分析時，切削力系數(shù)和模態(tài)參數(shù)是穩(wěn)定性分析過程中的重要參數(shù)。本文中，切削力系數(shù)通過槽銑AL2A12工件來獲得，銑削系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)通過錘擊實驗來獲取。切削力系數(shù)獲取實驗在3軸加工中心(KT-600)上進行，加工中心的最大主軸轉(zhuǎn)速為24 000 r/min，硬質(zhì)合金平底立銑刀安裝在加工中心的主軸上，刀具的刀齒數(shù)為3，直徑為10 mm。三向測力儀9257B和電壓放大器5070用來測量x，y和z方向的動態(tài)力。通過PCI-9118DG數(shù)據(jù)采集卡和Labview軟件來采集銑削力數(shù)據(jù)。在銑削力系數(shù)的辨識實驗中，工件水平夾持在卡具上，卡具固定在測力儀平臺上。用來獲得切削力系數(shù)的實驗裝置,如圖3所示。

(a)零階半離散法的計算時間：322s(b)全離散法的計算時間：201s(c)基于徑向基函數(shù)逼近方法的計算時間：93s圖2 三種不同方法獲得的銑削穩(wěn)定性圖的計算時間對比Fig．2Comparisonofcomputationtimeforobtainingstabilitylobediagramwiththreedifferentmethods

圖3 切削力系數(shù)獲取裝置圖Fig.3 Apparatus used for obtaining cutting force coefficients

基于文獻[16]中的平均切削力模型，獲得的銑削力系數(shù)為Kt=685.1 MPa，Kn=228.3 MPa。

在模態(tài)實驗過程中，力錘MSC-1、加速度傳感器YD67、電壓放大器DLF-3、數(shù)據(jù)采集卡AD8304和筆記本電腦用來獲取薄壁件的模態(tài)參數(shù)。獲取薄壁件模態(tài)參數(shù)的實驗裝置,如圖4所示。

圖4 錘擊實驗裝置圖Fig.4 Apparatus used for hammer test

本文中用到的薄壁件的尺寸為120 mm×60 mm×8 mm。在模態(tài)實驗過程中，刀具安裝在加工中心的主軸上，薄壁件通過卡具垂直裝卡在機床工作臺上，工件的夾持高度為2 mm,如圖5所示。在測試過程中，力錘MSC-1用來敲擊薄壁件上激勵點，以產(chǎn)生激勵信號。加速度傳感器YD67黏附在薄壁件上的信號采集點以獲取敲擊的響應(yīng)信號。兩通道的電壓放大器DLF-3用來將響應(yīng)信號放大。最后，激勵信號通過四通道的數(shù)據(jù)采集卡AD8304來進行采集，并通過DynaCut模態(tài)分析軟件對所采集到的激勵信號進行分析。模態(tài)參數(shù)辨識的實驗圖,如圖5所示。

圖5 模態(tài)參數(shù)辨識實驗圖Fig 5 Photograph of theexperiment for modal parameter identification

在獲取薄壁件的模態(tài)參數(shù)時，參考了湯愛君[17]的模態(tài)測試方法。實驗中，激勵點和信號采集點的布置如圖6所示。

圖6 激勵點和信號采集點的布置圖Fig.6 The layout diagram of exciting points and signal acquisition points

通過對圖6中所有激勵點進行敲擊，發(fā)現(xiàn)8號點能更好地將整個銑削系統(tǒng)激勵起來。所以最終選8號點為模態(tài)實驗的最佳激勵點。通過激勵8號點，分別采集所有15個信號采集點處的響應(yīng)信號。為了保證每個信號采集點處信號的準(zhǔn)確性，在獲取每個信號采集點處的響應(yīng)信號時，均激勵8號點5次。

通過對15個信號采集點處采集到的信號進行綜合分析，最終得到的模態(tài)參數(shù),如表1所示。

表1 刀具-工件系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)

利用本文所提出的基于徑向基函數(shù)的穩(wěn)定性預(yù)測方法，并代入獲取的切削力系數(shù)與模態(tài)參數(shù)，得到穩(wěn)定性葉瓣圖，如圖7所示。

圖7 AL2A12薄壁件的銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖Fig.7 Milling stability lobe diagram of AL2A12 thin-walled workpiece

在圖7中，選擇4個不同的點，這些點的橫坐標(biāo)對應(yīng)主軸轉(zhuǎn)速，縱坐標(biāo)對應(yīng)軸向切深，所選的4個點的具體參數(shù)值如表2所示。由圖7可知，點1和點4位于穩(wěn)定切削區(qū)域，點2和點3位于不穩(wěn)定區(qū)域。

表2 選定點的加工參數(shù)值

在加工中心(KT-600)上對所選的4個點進行驗證實驗，在驗證過程中，刀具的懸伸長度為45 mm，徑向切深為1 mm，進每齒進給量為0.025 mm。與參數(shù)點對應(yīng)的表面形貌如圖8所示。選定的4個點的具體表面粗糙度如表3所示。

表3 不同參數(shù)點的表面粗糙度值

由圖8可知，點1和點4所對應(yīng)的加工表面光滑，加工過程中沒有發(fā)生顫振，表面質(zhì)量相對較高；點2和點3所對應(yīng)的加工表面有明顯的振紋，加工過程中發(fā)生了顫振，表面質(zhì)量相對較差。

圖8 不同選定點的加工表面Fig.8 Machined surface of different selected points

通過對比圖8(a)和圖8(d)可知，在加工AL2A12的過程中，當(dāng)軸向切深相近時，較高的主軸可以獲得相對較好的表面質(zhì)量。圖8(b)中所示的加工表面除了有振紋出現(xiàn)外，還發(fā)生了黏刀現(xiàn)象。通過對比圖8(b)和圖8(c)圖可知，在加工AL2A12的過程中，較高的主軸轉(zhuǎn)速可以避免黏刀現(xiàn)象的發(fā)生。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于徑向基函數(shù)的銑削穩(wěn)定性預(yù)測方法，并且利用該方法預(yù)測AL2A12薄壁件加工過程中的穩(wěn)定性。具體結(jié)論如下：

(1)在穩(wěn)定性預(yù)測過程中，選擇多元二次函數(shù)作為徑向基函數(shù)，逼近銑削動力學(xué)方程中的狀態(tài)項、時滯項和周期系數(shù)項。構(gòu)建了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣模的大小來判定銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用Matlab軟件繪制出了銑削穩(wěn)定性圖。

(2)為了驗證本文所提方法的計算效率，采用相同的系統(tǒng)參數(shù)來進行計算。通過與零階半離散法和全離散法相比，表明在獲得一致銑削穩(wěn)定性圖的前提下，本文所提方法的計算效率最高。

(3)為了驗證所提出方法的有效性，獲取了AL2A12的切削力系數(shù)和模態(tài)參數(shù)。在穩(wěn)定性圖上選定4個點，并利用選定點所對應(yīng)的加工參數(shù)來加工AL2A12薄壁件。通過對加工表面進行分析，表明本文所提出方法的預(yù)測結(jié)果與實際加工結(jié)果一致，驗證了所提方法的有效性。

(4)在AL2A12薄壁件的加工過程中，在軸向切深相近的情況下，較高的主軸可以獲得相對質(zhì)量較高的加工表面，同時較高的主軸轉(zhuǎn)速能夠避免黏刀現(xiàn)象的產(chǎn)生。

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Milling stability prediction of AL2A12 thin-walled workpiece based on radial basis functions

YAN Zhenghu, LIU Zhibing, WANG Xibin, LIU Biao, WANG Dongqian

(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

During a thin-walled workpiece’s milling, its surface quality is greatly affected by chatter. Chatter free condition can be obtained if the milling stability is predicted before practical machining. Here, a milling stability prediction method was proposed based on the radial basis function approaching theory. The cutting force coefficients and modal parameters of the AL2A12 thin-walled workpiece were acquired with cutting tests and hammer tests, respectively. The state transfer matrix of the milling system was deduced with the proposed method, and the stability lobe diagram was determined with Floquet theorem. In order to verify the computational efficiency of the proposed method, the same system parameters were used in different methods. Compared with the zeroth-order semi-discretization method and the full-discretization method, it was indicated that the proposed method has the highest computational efficiency under the premise that the stability lobe diagrams obtained with different methods are coincident. Then, the AL2A12 thin-walled workpiece was machined with the given spindle speeds and axial cut depths being corresponding to the four points selected from the predicted stability lobe diagram. The effectiveness of the proposed method was verified through comparing the machining results with the prediction ones. The practical machining showed that better machined surface can be obtained with higher spindle speed when the axial cut depths are close to each other, the milling tool sticky phenomenon can also be avoided with higher spindle speed.

thin walled workpiece; stability prediction; radial basis function; floquet theorem

國家自然科學(xué)基金面上項目(51375055; 51575050)

2015-08-07 修改稿收到日期：2016-01-15

閆正虎 男，博士，1986年生

劉志兵 男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1977年生

TH161.6；TH547

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.032