柳 霆， 李國賓， 魏海軍， 穆 雪， 邢鵬飛

(1.大連海事大學(xué) 輪機工程學(xué)院，大連 116026； 2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 200135；3.大連中遠(yuǎn)國際貨運有限公司，大連 116001)

基于奇異值分解的摩擦振動吸引子特征參數(shù)提取方法

柳 霆1， 李國賓1， 魏海軍2， 穆 雪3， 邢鵬飛1

(1.大連海事大學(xué) 輪機工程學(xué)院，大連 116026； 2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 200135；3.大連中遠(yuǎn)國際貨運有限公司，大連 116001)

為定量研究摩擦副磨損過程中摩擦振動吸引子的變化，根據(jù)相空間重構(gòu)理論，應(yīng)用C-C法重構(gòu)摩擦振動吸引子相空間矩陣，對相空間矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過奇異值構(gòu)建矩陣奇異值特征向量，定義其特征參數(shù)為摩擦振動吸引子特征參數(shù)K，并分析特征參數(shù)K在摩擦副磨合磨損過程中的變化規(guī)律。結(jié)果表明：磨合開始，摩擦振動能量較低，吸引子體積較小，K值亦較小，為9.36；隨磨合進(jìn)行，摩擦振動能量逐漸增加，吸引子體積逐漸增大，K值亦逐漸增大；43 min后，摩擦振動能量保持平穩(wěn)，吸引子體積趨于穩(wěn)定，K值在24.72附近平穩(wěn)波動。因此，摩擦振動吸引子參數(shù)K可用于定量分析磨合過程中摩擦振動能量的變化；K與摩擦因數(shù)對磨損階段的判斷一致，進(jìn)而可用于磨損狀態(tài)的識別。

摩擦振動；奇異值分解；吸引子；特征參數(shù)

摩擦振動是摩擦學(xué)系統(tǒng)重要的輸出特征信息之一，摩擦振動的非線性行為可反映摩擦副的磨損狀態(tài)。為此，許多學(xué)者應(yīng)用非線性理論對摩擦振動進(jìn)行了大量研究。朱華等[1-3]提取了摩擦振動信號Kolmogorov熵、Lyapunov指數(shù)、分形維數(shù)等非線性特征參數(shù)并分析其在摩擦副磨損過程中的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)上述非線性特征參數(shù)可以實現(xiàn)摩擦副摩擦磨損過程中不同磨損階段的識別。LI等[4]通過分形理論提取了磨合過程中摩擦振動信號的多重分形特征參數(shù)，發(fā)現(xiàn)摩擦振動信號的多重分形特征參數(shù)可識別摩擦副的磨合磨損和穩(wěn)定磨損階段?？梢?，摩擦振動的非線性特征能夠反映摩擦學(xué)系統(tǒng)的摩擦學(xué)行為，可用于識別摩擦副的磨損狀態(tài)。

摩擦學(xué)系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性動力學(xué)系統(tǒng)[5]，從單一的摩擦學(xué)行為難以全面認(rèn)識摩擦學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)，還需多方法、多信息地對磨損過程進(jìn)行研究。近年來，一些學(xué)者在摩擦振動吸引子的研究中發(fā)現(xiàn)[6-9]：吸引子相空間軌跡的體積變化反映了摩擦副摩擦磨損過程中磨損能量的變化，可通過能量變化識別摩擦副的磨損狀態(tài)，為摩擦副磨損狀態(tài)的識別提供了一條新途徑。然而，目前摩擦振動吸引子相空間軌跡的研究還缺乏量化方法，在判斷吸引子體積變化時，存在主觀性強，細(xì)微差異難以區(qū)分等問題。為解決定性分析存在的問題，本文應(yīng)用奇異值分解方法從摩擦振動吸引子相空間矩陣定量地提取摩擦振動吸引子特征參數(shù)，研究磨合磨損過程中摩擦振動吸引子特征參數(shù)的變化及其與磨損狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系。

1 摩擦振動吸引子特征參數(shù)提取

1.1 相空間重構(gòu)

本文根據(jù)TAKENS定理[10]用 C-C 方法重構(gòu)摩擦振動吸引子相空間。摩擦振動信號時間序列通過嵌入維數(shù)m及時間延遲τ可構(gòu)造出多維摩擦振動吸引子相空間矩陣X:

式中：N為時間序列長度；Xi為相空間中的矢量。重構(gòu)摩擦振動吸引子相空間矩陣的關(guān)鍵在于嵌入維數(shù)m和時間延遲τ的選取。本文運用C-C方法確定m和τ。

(1)時間序列的關(guān)聯(lián)積分C(m,N,r,t)的計算

C(m,N,r,t)=

(1)

(2)子列的統(tǒng)計量S(m,r,t)的定義

將摩擦振動信號序列分成t個不相交子列，計算t取不大于200的正整數(shù)。

S(m,r,t)=

(2)

由于實際時間序列S(m,r,t)≠0，取呈近似均勻分布的S(m,r,t)零點或?qū)λ邪霃絩差別最小的時間點為局部最大時間間隔。

(3)差量ΔS(m,t)的定義

ΔS(m,t)=max{S(m,r,t)}-min{S(m,r,t)}

(3)

S(m,r,t)零點或者ΔS(m,t)最小值為局部最大時間t，τd對應(yīng)t中的第一個，同時由τd=ττs求取τ。

定義指標(biāo)函數(shù)Scor(t)為：

(4)

1.2 吸引子特征參數(shù)提取

為提取能定量表征摩擦振動能量的特征參數(shù)，本文對吸引子相空間矩陣進(jìn)行矩陣奇異值分解并構(gòu)建奇異值特征向量，通過奇異值向量模定義摩擦振動吸引子特征參數(shù)K，具體方法如下。

1.2.1 矩陣奇異值特征向量的構(gòu)建

奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)[11-12]是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解方法，利用奇異值可實現(xiàn)對矩陣奇異值特征向量的構(gòu)建。本文應(yīng)用SVD法構(gòu)建摩擦振動吸引子相空間矩陣奇異值特征向量，具體方法如下。

根據(jù)SVD定義，對相空間重構(gòu)的摩擦振動吸引子矩陣X進(jìn)行奇異值分解，可得到r個非零奇異值(λ1,λ2,…,λr)，r為矩陣X的秩，r=rank(X)。定義矩陣X的奇異值特征向量為Y，其表達(dá)式為:

Y=(λ1,λ2,…,λr)

(5)

從式(5)可以看出，奇異值特征向量Y是由矩陣X的非零奇異值構(gòu)成，奇異值唯一表征了矩陣X的特征，因此，由奇異值構(gòu)成奇異值特征向量Y亦是如此。

1.2.2 矩陣奇異值特征向量模的計算

根據(jù)向量的定義可知，向量的模，即向量的長度，可反映向量的大小。向量的模的計算方法如下:

(6)

1.2.3 吸引子特征參數(shù)的定義

摩擦振動吸引子的體積變化反映了摩擦副磨損過程中摩擦振動的能量變化。摩擦振動吸引子是吸引子相空間矩陣的幾何表征，奇異值特征向量是吸引子相空間矩陣的唯一表征，奇異值特征向量的模描述了奇異值特征向量大小的變化。因此，矩陣奇異值特征向量的模反映了摩擦振動吸引子的體積大小，即摩擦振動能量的高低，故本文定義摩擦振動吸引子奇異值特征向量的模為摩擦振動吸引子特征參數(shù)K，即：

(7)

由摩擦振動吸引子特征參數(shù)K的定義可以看出，特征參數(shù)K可定量反映摩擦振動吸引子體積的大小，即摩擦振動的能量高低。

2 試驗

2.1 試驗方法

在CFT-Ⅰ型摩擦磨損試驗機(蘭州中科凱華)上進(jìn)行球-盤磨合磨損試驗，如圖1所示。該試驗機可實時測量摩擦因數(shù)。球和盤試樣由專用夾具固定，盤試樣固定于臺架上，臺架由電機經(jīng)偏心輪帶動以實現(xiàn)往復(fù)運動。356A16型ICP三軸加速度傳感器(PCB PIEZOTRONICS)固定于盤試樣下以測量切向和法向摩擦振動信號，應(yīng)用PXIe-1071(National Instruments)信號采集系統(tǒng)實現(xiàn)切向與法向摩擦振動信號的采集，每間隔1 min采集一次振動信號，采樣頻率25.6 kHz，采樣間隔6.25 Hz。

2.2 試驗條件

選取GCr15和鑄鐵作為磨合磨損試驗?zāi)Σ粮辈牧?。GCr15為球試樣，尺寸Φ3 mm，硬度HV830; 鑄鐵為下試樣，尺寸Φ30 mm×10 mm的盤, 硬度HV300～400，材質(zhì)為合金鑄鐵，原始三維表面粗糙度Sa=0.842 μm。試驗設(shè)定電機轉(zhuǎn)速為500 r/min，折合球-盤間的平均線速度為0.083 m/s。在專用儲油盤添加足量的常見船用潤滑油CD40(密度0.895 7 g/cm3, 40℃運動黏度139.6 cSt, 100 ℃運動黏度12.5 cSt)實現(xiàn)浸油潤滑。球-盤間由專業(yè)加工的彈簧施加70 N的試驗載荷，即名義接觸載荷為12 MPa。為保證試驗的可重復(fù)性，進(jìn)行5次磨合磨損試驗，每次試驗進(jìn)行60 min，取5次試驗平均值作為試驗結(jié)果。

圖1 CFT-Ⅰ型摩擦磨損試驗機原理圖Fig.1 Schematic diagram of CFT-Ⅰwear tester

3 結(jié)果與討論

3.1 摩擦振動吸引子分析

試驗采集的摩擦振動信號含有背景噪聲，為剔除噪聲的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，利用諧波小波包變換對磨合磨損試驗中采集的振動信號進(jìn)行降噪。首先對采集的振動信號進(jìn)行7層分解，然后根據(jù)振動信號頻率分布特征，選取38～47頻段3 700～4 700 Hz的信號重構(gòu)摩擦振動信號。圖2為試驗中某一時刻采集的振動信號和經(jīng)過降噪后的摩擦振動信號時域波形和頻譜圖。從圖2中可以看出，試驗采集的振動信號含有大量背景噪聲，而經(jīng)過諧波小波包變換進(jìn)行降噪后提取的摩擦振動信號，有效地剔除了噪聲影響。相比于原始振動信號，摩擦振動信號主要分布在高頻區(qū)，且信號比較微弱。

根據(jù)混沌理論，對降噪后的摩擦振動信號通過式(1)～式(4)重構(gòu)摩擦振動吸引子相空間矩陣，并繪制摩擦振動吸引子相空間軌跡圖，如圖3所示。從圖3中可以看出，摩擦副磨合磨損過程中摩擦振動吸引子的體積呈現(xiàn)出由小到大并逐漸平穩(wěn)的變化過程。摩擦副磨合磨損是能量變化的過程，磨合開始，摩擦副表面光滑且為浸油潤滑，激發(fā)的摩擦振動能量較低，摩擦振動吸引子體積較??；隨著磨合進(jìn)行，摩擦副相互接觸激發(fā)的摩擦振動能量逐漸增加，摩擦振動吸引子體積逐漸增大；隨后，摩擦振動能量逐漸平穩(wěn)，摩擦振動吸引子體積趨于穩(wěn)定。圖3中深黑色區(qū)域為摩擦振動吸引子，從圖3(a)～圖3(b)可以看出從磨合開始到磨合10 min，摩擦振動吸引子體積有增大趨勢；然而從圖3(b)～(g)看出，磨合10 min至磨合結(jié)束，摩擦振動吸引子體積變化差別不大，很難精確識別摩擦副從磨合磨損階段進(jìn)入穩(wěn)定磨損階段的時刻。

圖2 信號時域波形和頻譜Fig.2 Waveforms diagrams and spectrums of signals

3.2 摩擦振動吸引子特征參數(shù)的變化規(guī)律

為了精確識別摩擦副磨合磨損過程中摩擦振動吸引子的體積變化，對摩擦振動吸引子相空間通過式(5)構(gòu)建奇異值特征向量并由式(6)和式(7)提取摩擦振動吸引子特征參數(shù)K。圖4為磨合磨損過程中摩擦振動吸引子特征參數(shù)的變化曲線。從圖4中可以看出，磨合開始，吸引子特征參數(shù)K較小，為9.36；隨磨合進(jìn)行，吸引子特征參數(shù)K逐漸增大；43 min后，K值達(dá)到24.72，并在其附近平穩(wěn)地波動。由上述分析可見，摩擦振動吸引子特征參數(shù)K能夠定量地反映磨合過程中摩擦振動吸引子的體積變化，即摩擦振動能量的變化。摩擦副磨合磨損狀態(tài)的變化可通過摩擦因數(shù)進(jìn)行表征。圖5為摩擦副磨合磨損過程中摩擦因數(shù)隨磨合時間的變化曲線。從圖5可以看出，摩擦因數(shù)與圖4中的摩擦振動吸引子特征參數(shù)K同樣具有從小逐漸增大并于43 min后處于平穩(wěn)波動狀態(tài)。因此，摩擦振動吸引子特征參數(shù)K與摩擦因數(shù)對磨損階段的判斷一致，可用于摩擦副的磨損狀態(tài)識別。

圖3 摩擦振動吸引子隨磨合時間的變化Fig.3 Temporal variation of friction vibration chaotic attractors

圖4 摩擦振動吸引子特征參數(shù)K隨磨合時間的變化曲線Fig.4 Temporal variation of the energy feature parameter K of friction vibration

圖5 摩擦因數(shù)隨磨合時間的變化曲線Fig.5 Temporal variation of the friction coefficient μ

4 結(jié) 論

本文通過提取摩擦振動吸引子特征參數(shù)K并研究其在摩擦副磨合磨損過程中的變化規(guī)律研究摩擦振動能量的變化，得出如下結(jié)論：

(1)通過摩擦振動吸引子相空間矩陣進(jìn)行奇異值分解，利用奇異值構(gòu)建奇異值特征向量并提取其特征參數(shù)實現(xiàn)了摩擦振動吸引子特征參數(shù)K的提??；

(2)摩擦振動吸引子特征參數(shù)K能定量反映摩擦振動吸引子的體積大小，即摩擦振動能量的高低；

(3)摩擦振動吸引子特征參數(shù)K與摩擦因數(shù)對磨損階段的判斷一致，摩擦振動吸引子特征參數(shù)K可用于摩擦副的磨損狀態(tài)識別。

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Feature parameter extraction of a friction vibration attractor based on singular value decomposition

LIU Ting1, LI Guobin1, WEI Haijun2, MU Xue3, XING Pengfei1

(1. Marine Engineering College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2. Merchant Marine College, Shanghai Maritime University, Shanghai 200135, China; 3. Cosco(Dalian) International Freight CO., Ltd., Dalian 116001, China)

An attractor feature parameterKwas defined to quantitatively study a friction vibration attractor, and its variation was investigated in the running-in wear process.Kwas the feature parameter of the eigenvectors built with the attractor phase-space-matrix singular values obtained using the C-C method and the phase-space reconstruction theory. Results showed that friction vibration energy is lower in the beginning stage, the attractor volume is smaller andKis 9.36; when the running-in continues, the friction vibration energy increases, the attractor volume gets larger andKalso increases gradually; friction vibration energy is stable after 43 min, attractor volumes are also stable andKfluctuates near 24.72; therefore,Kcan be used to quantitatively analyze the variation of friction vibration energy in the running-in process; the identification of wear state withKis consistent with that using friction coefficient, andKcan be used to monitor the wear state of tribological pairs.

friction vibration; singular value decomposition; attractor; feature parameter

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(863) (2013AA040203)

2016-05-23 修改稿收到日期：2016-06-15

柳霆 男，博士生，1989年12月生

李國賓 男，博士，教授，1970年3月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.027