徐文濤， 張建波， 廖敬波， 唐光武

(1.重慶交通科研設計院 橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067； 2.鄭州大學 力學與工程科學學院，河南 鄭州 450001)

隨機振動下多跨彈性支撐梁橋的沖擊系數(shù)分析

徐文濤1,2， 張建波2， 廖敬波1， 唐光武1

(1.重慶交通科研設計院 橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067； 2.鄭州大學 力學與工程科學學院，河南 鄭州 450001)

基于隨機振動理論和正交試驗設計，研究了三跨彈性支撐梁橋的沖擊系數(shù)及其影響因素。采用虛擬激勵法求解橋梁在車輛和橋面不平順作用下的隨機響應，根據(jù)三倍標準差準則將橋梁撓度隨機響應由統(tǒng)計結果轉化為確定性值域，進而求得橋梁沖擊系數(shù)。通過設計橋梁沖擊系數(shù)影響因素的正交試驗，研究了橋梁長度、橋梁剛度、橋面不平順、車速、車體質量和車輛軸距對橋梁不同部位的沖擊系數(shù)的影響規(guī)律及顯著性。計算結果表明：算法高效、精確，有效克服多因素正交試驗帶來的龐大計算困難；橋梁不同部位的撓度沖擊系數(shù)差異較大，且隨著橋面不平順等級的提高而增大；與其他因素相比，對沖擊系數(shù)影響最為顯著的是橋面不平順，其次為橋梁長度和車速。

彈性支撐梁橋；沖擊系數(shù)；隨機振動；虛擬激勵法；正交試驗

沖擊系數(shù)表示車輛荷載對橋梁的動力增大效應，以其簡單和便于使用的特點在橋梁工程中應用廣泛。沖擊系數(shù)的合理取值是保證橋梁在車輛交通荷載作用下安全運營的關鍵，而在我國橋梁設計規(guī)范(JTG D60—2004)中僅將沖擊系數(shù)表示為橋梁基頻的函數(shù)，事實上，大量的研究表明橋梁沖擊系數(shù)與橋梁類型、橋面不平順、車速和車輛參數(shù)等因素有密切的關系[1-6]。

有關研究表明，橋梁沖擊系數(shù)具有很強的隨機性，即使在重復的試驗條件下，其結果也會有成倍的差異[7]。作為車橋耦合振動的外部激勵，橋面不平順是引起這一現(xiàn)象的重要因素，對橋面不平順進行精確的模擬，是獲取橋梁沖擊系數(shù)準確值的關鍵。而許多文獻中通過將橋面不平順模擬為多條曲線的疊加，將其構造為確定性的激勵，忽略了車橋耦合振動的隨機現(xiàn)象[1,2,8,9]。另外沖擊系數(shù)的影響因素包含橋梁長度、橋梁剛度、橋面不平順、車速、車體質量和車輛軸距等多種因素，正交試驗是綜合考量的常用方法。但正交試驗的因素設計受到隨機分析計算效率的限制，耦合隨機振動分析限制了試驗的考量規(guī)模。此外，隨著減震支座在橋梁建設中的廣泛應用，彈性支承條件下的橋梁動態(tài)響應受到人們的重視[10]，但對彈性支撐梁橋沖擊系數(shù)及其影響因素的研究還很少，為工程建設提供必要的理論依據(jù)有待加強。

本文以三跨彈性支撐梁橋為例，建立了車橋耦合振動方程，采用虛擬激勵法[11]將橋面不平順模擬為一系列虛擬簡諧荷載的疊加，在保證計算效率的同時，基于車橋耦合問題的隨機性本質，求解了橋梁跨中撓度的動態(tài)隨機響應?；谌稑藴什罘▌t，將隨機響應轉換為確定性的值域，求解了橋梁沖擊系數(shù)。通過算例驗證了本文算法的正確性和高效性。最后基于正交試驗設計研究了橋梁長度、橋梁剛度、橋面不平順、車速、車體質量和車輛軸距對橋梁中跨跨中、左邊跨跨中和右邊跨跨中撓度沖擊系數(shù)的影響規(guī)律及顯著性。

1 車橋系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機振動分析

1.1 車橋耦合振動方程

車輛選用四自由度二分之一剛體模型，前后輪視為集中質量，并假設車輪與橋面始終保持接觸，橋梁采用Bernoulli-Euler梁，如圖1所示。其中：m0為車體質量；z0為車體的豎向位移；θ為車體繞橫向軸的轉角；Iz為車體轉動慣矩(點頭剛度)；m1、m2為車輛前后輪的質量；z1、z2為前后輪的豎向位移；Ks1、Ks2、Cs1和Cs2為前后懸掛裝置的彈簧剛度和阻尼系數(shù)；Kt1、Kt2、Ct1和Ct2為前后輪胎的剛度和阻尼系數(shù)；L1、L2為車輛前后軸到車體重心的距離。

圖1 車輛與橋梁模型Fig.1 The model of vehicle and bridge

基于達朗貝爾原理推導出車輛系統(tǒng)的振動方程和有限元離散狀態(tài)下的橋梁振動方程，通過車輪與橋梁接觸點處的位移協(xié)調條件和車橋相互作用力之間的平衡關系，建立車輛與橋梁兩個子系統(tǒng)的耦合振動方程，并利用單元形函數(shù)N1、N2將車輛前后輪與橋梁接觸點處的作用力和位移轉換為節(jié)點載荷和節(jié)點位移，然后按有限元法的對號入座方法組裝車橋系統(tǒng)的質量、阻尼、剛度和載荷矩陣，則車橋耦合系統(tǒng)的時變方程為

(1)

其中

1.2 車橋系統(tǒng)隨機響應的均值

橋面不平順假設為零均值平穩(wěn)隨機激勵，采用隨時間變化的車輪荷載位置指示變量gi(t)，根據(jù)車輛行駛距離與行駛速度的關系x=vt，可將激勵由空間域轉換為時間域，即

w(t)=gi(t)q(t)i=1,2

(2)

這樣，問題就轉變?yōu)橐苿雍奢d作用下的非平穩(wěn)隨機振動，其中gi(t)為調制函數(shù)，當?shù)趇個車輪在橋上時gi(t)為1，否則gi(t)為0，如下式：

(3)

式中：q(t)為以時間坐標t為自變量的零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其功率譜密度函數(shù)Gqq(ω)采用國標GB/T7031—2005，擬合表達式：

(4)

式中：ω為圓頻率(rad/s)；n0為參考空間頻率，n0=0.1m-1；Gqq(n0)為參考空間頻率n0下的路面功率譜密度函數(shù)值，稱為路面不平度系數(shù)，單位m3；v是車輛行駛速度。

車橋耦合系統(tǒng)方程的解可表示為

(5)

式中:H(t-τ,τ)為脈沖響應矩陣。根據(jù)式(5)，系統(tǒng)響應的均值

(6)

式中:E[Y(t)]表示Y(t)的均值。由于q(t)是零均值高斯過程，則式(6)可化為

(7)

由式(7)可知，車橋系統(tǒng)響應的均值是由確定性載荷Fg引起的。

1.3 構造虛擬激勵

根據(jù)式(2)，車輛前后輪與橋面接觸點處的橋面不平順可表示為

zw1=g(t)q(t)，zw2=g(t-Δt)q(t-Δt)

(8)

式中:Δt=(L1+L2)/v

對zw1、zw2求導可得其速度項

(9)

由于gi(t)為慢變函數(shù)，故不對其進行求導。則車橋系統(tǒng)方程中的隨機激勵Fw中的Fw1和Fw2可表示為

(10)

Fw2=Kt2g(t-Δt)q(t-Δt)+

(11)

可將隨機激勵Fw改寫為

(12)

式中

G(t)=diag[g(t),g(t-Δt)]，

根據(jù)隨機振動理論，橋面不平順及其一階導數(shù)的自功率譜和互功率譜關系如下

(13)

(14)

式中:i表示虛數(shù)。根據(jù)維納-辛欽關系可得

E[{Q(τ1)}{Q(τ2)}T]=

(15)

式中:V*是V的復共軛矩陣

車橋系統(tǒng)響應的方差矩陣為

HT(t-τ2,τ2)dτ1dτ2

(16)

聯(lián)立式(12)～(15)并代入式(16)，系統(tǒng)響應的方差矩陣RYY(t)可化為

(17)

式中

G(t)Va0eiωtdτ

根據(jù)式(17)，構造如下虛擬激勵

則其引起的響應為

(19)

響應的功率譜矩陣為

(20)

式中:上標“*”和“T”分別代表復共軛和轉置。

于是，車橋系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機響應的功率譜密度函數(shù)計算就轉換為了虛擬的確定性外載Newmark-β作用下的時間歷程響應分析。

1.4 橋梁沖擊系數(shù)

(21)

(22)

橋面不平順中q(t)是平穩(wěn)高斯隨機過程，由概率理論知，在線性運算下隨機過程的高斯性質不變，所以橋梁撓度響應也是高斯型隨機變量，3σ法則是適用的，將均值Yg(t)加減三倍標準差σY(t)可得橋梁跨中撓度的實際響應值域Y(t)

Ymax,min(t)=Yg(t)±3σY(t)

(23)

則根據(jù)沖擊系數(shù)的定義，可求得橋梁跨中的沖擊系數(shù)(1+μ)

(24)

2 正交試驗分析

正交試驗設計是研究多因素多水平的一種方法，通過正交表從全面試驗中挑取部分有代表性的點進行試驗，通過部分試驗的結果了解全面試驗的情況。相比單因素試驗分析某因素的影響規(guī)律，正交試驗的均衡分散性和整齊可比性最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差。

本文考慮橋梁長度、橋梁剛度、橋面不平順、車速、車體質量和車輛軸距6個因素對橋梁沖擊系數(shù)的影響，選用六因素五水平L25(56)[12]正交表進行試驗，因素水平設置如表1所示。國標GB7031按路面功率譜密度把路面的不平程度從低到高分為8級，我國主要公路路面譜基本在A、B、C三級范圍內，因此，以這三個等級的路面譜為例進行分析。

表1 試驗因素水平

3 算例驗證

圖2 橋梁跨中撓度動態(tài)響應Fig.2 Dynamic response of deflection at the middle of bridge

基于三角級數(shù)法對橋面不平順進行模擬隨機生成橋面不平順樣本1和樣本2，對車橋系統(tǒng)方程求解得橋梁跨中撓度的動態(tài)響應曲線1和曲線2，與本文方法求解的橋梁跨中撓度動態(tài)響應值域進行對比，結果如圖2所示，其中橋面不平順為B級，車速為60 km/h。由圖2可知，橋梁跨中撓度的確定性響應曲線基本在動態(tài)響應值域范圍內，驗證本文算法的正確性?？梢钥闯觯ㄟ^確定性方法求解出的橋梁動態(tài)響應曲線只是橋梁隨機響應中的特例，而且不同的橋面不平順樣本也會導致結果的巨大差異。相比而言，本文算法求解出了橋梁跨中撓度隨機響應的確定性值域，避免了結果的偶然性。

4 結果分析

根據(jù)正交表，對每組試驗下的因素參數(shù)進行設置，并基于上述分析方法，采用MATLAB進行編程，求解了橋梁中跨、左邊跨和右邊跨跨中撓度沖擊系數(shù)，結果如表2所示。

由表2可知，在同一試驗編號下，橋梁不同部位的沖擊系數(shù)也有很大差異，因此，對于多跨連續(xù)梁橋的沖擊系數(shù)分析不能選擇單一部位。

4.1 各因素對沖擊系數(shù)的影響規(guī)律

對正交試驗結果進行分析，可得橋梁跨中撓度沖擊系數(shù)在各因素作用下的影響規(guī)律，如圖3～8所示。

圖3 橋梁長度對沖擊系數(shù)的影響Tab.3 Influences of bridge length on the impact factors

(1)橋梁沖擊系數(shù)并不隨著橋梁長度增大而單調變化，而且中跨跨中與邊跨跨中的撓度沖擊系數(shù)變化規(guī)律相差很大，如圖3所示?？梢钥闯觯瑯蛄簺_擊系數(shù)與橋梁長度的關系與傳統(tǒng)定義的關系不同，這是因為正交試驗中考慮了其他因素的各個水平，使得車輛與橋梁頻率相近的次數(shù)大大增加。

表2 正交試驗結果

圖5 橋面不平順對沖擊系數(shù)的影響Tab.5 Influences of bridge surface roughness on the impact factors

(3)隨著橋面不平順等級從平整到C級，橋梁沖擊系數(shù)顯著增大，與橋梁部位關系不大，如圖5所示。這是因為橋面不平順是橋梁隨機響應的主要激勵源，隨著橋面不平順等級的提高，激勵值增大，橋梁沖擊系數(shù)隨之增大。而且，沖擊系數(shù)結果取的是其它因素各個水平試驗結果的平均值，極大的避免了其它因素的干擾，所以邊跨和中跨跨中撓度沖擊系數(shù)值很接近。

圖6 車速對沖擊系數(shù)的影響Tab.6 Influences of vehicle velocity on the impact factors

(4)隨著車速的增加，橋梁沖擊系數(shù)先減小后增大，如圖6所示。在車速為60 km/h時，沖擊系數(shù)最小，在車速為120 km/h時，橋梁沖擊系數(shù)最大。由公式(4)可知，隨著車速的提高，橋面不平順隨機激勵增大，因此，較高的車速會使車輛對橋梁的沖擊增大。

圖7 車體質量對沖擊系數(shù)的影響Tab.7 Influences of vehicle weight on the impact factors

圖8 車輛軸距對沖擊系數(shù)的影響Tab.8 Influences of vehicle wheelbase on the impact factors

(5)中跨、左邊跨和右邊跨跨中撓度沖擊系數(shù)與車體質量和車輛軸距的關系如圖7和圖8所示?？梢钥闯觯瑯蛄翰煌课坏臎_擊系數(shù)相差很大，與車體質量和車輛軸距的關系也都不相同。這是因為車體質量和車輛軸距變化時會使車輛頻率發(fā)生改變，而橋梁中跨跨中、左邊跨跨中和右邊跨跨中撓度響應最大時對應的車輛頻率均不相同，因此，車體質量和車輛軸距對橋梁不同部位的影響規(guī)律也不相同。

4.2 影響因素顯著性分析

對正交試驗分析結果進行極差分析，結果如表3所示，某因素的極差越大，說明該因素對橋梁沖擊系數(shù)的影響越顯著。

表3 各因素對橋梁沖擊系數(shù)影響的極差分析

由表3可知，各因素對橋梁沖擊系數(shù)影響最為顯著的是橋面不平順，因此，對橋梁路面加強維護，能有效減小車輛對橋梁的沖擊作用，延長橋梁的使用壽命。橋梁長度和車速對橋梁沖擊系數(shù)也有較大的影響，但對橋梁不同部位的影響顯著性差異很大。

5 結 論

(1)相比將橋面不平順模擬為多條曲線疊加的傳統(tǒng)算法，本文對車橋耦合隨機振動進行了分析，通過3σ法則獲取了橋梁跨中撓度動態(tài)響應的值域，避免了計算結果的隨機性，保證了計算結果的精確性。

(2)橋梁不同部位的沖擊系數(shù)均隨著橋面不平順等級的提高而顯著增大，且其值也較為接近。

(3)對橋梁沖擊系數(shù)影響最顯著的因素為橋面不平順，其次為車速和橋梁長度，因此，橋梁沖擊系數(shù)的傳統(tǒng)定義中僅考慮橋梁基頻的影響是不合理的。

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Impact coefficients analysis for a multi-span elastically supported bridge under random vibration

XU Wentao1,2, ZHANG Jianbo2, LIAO Jingbo1, TANG Guangwu1

(1. State Key Laboratory of Bridge Engineering Structural Dynamics, Chongqing Communications Research & Design Institute, Chongqing 400067, China；2. School of Mechanics&Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Based on random vibration theories and orthogonal test design, impact coefficients of a three-span elastically supported bridge and their influence factors were studied. The dynamic random responses of the bridge were solved using the pseudo-excitation method (PEM) under the actions of vehicles and bridge surface roughness. Based on the 3σ standard deviation rule, the random responses of the bridge deflection were converted from statistical results into a deterministic value field. Then the impact coefficients of the bridge were calculated. In order to investigate the influence laws and significance of bridge length, bridge stiffness, bridge surface roughness, vehicle velocity, vehicle weight and vehicle wheelbase on the impact coefficients at different positions of the bridge, an orthogonal test for influence factors on the bridge impact coefficients was designed. The results showed that the new method is accurate and can efficiently overcome the computation difficulties brought by the multi-factors orthogonal test; the differences of the deflection impact at different positions of the bridge are larger, they increase with increase in the level of the bridge surface roughness; the most significant influence factor is bridge surface roughness, followed by bridge length and vehicle velocity.

elastically supported bridge; impact factor; random vibration; pseudo excitation method; orthogonal test

橋梁結構抗震技術交通行業(yè)重點實驗室開放基金(201402)；國家自然科學基金(11402235)

2015-08-28 修改稿收到日期：2016-01-13

徐文濤 男，博士，副教授，1980年2月生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.019