王芳， 郭增貴， 朱明武

(1.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094； 2.國營第641廠， 遼寧 錦州 121017)

柱形測壓銅柱的靜態(tài)特性分析

王芳1， 郭增貴2， 朱明武1

(1.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094； 2.國營第641廠， 遼寧 錦州 121017)

為了提高銅柱測壓的精度，對廣泛應用于兵器膛壓測量的柱形銅柱靜態(tài)變形規(guī)律進行了研究。在合理假設(shè)基礎(chǔ)上建立了柱形銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學模型，并根據(jù)大量的銅柱靜態(tài)校準數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行了估計。根據(jù)此模型進行的仿真計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)能很好地吻合，具有對不同規(guī)格銅柱的廣泛適用性，能可靠地估算銅柱的靜態(tài)變形規(guī)律。依據(jù)該數(shù)學模型，對銅柱測壓靈敏度隨變形量變化的規(guī)律和加工尺寸偏差對測壓精度的影響兩方面進行了計算和分析。結(jié)果表明：當銅柱壓后高度為原始高度的73%時，銅柱的測壓靈敏度最高；銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測量不確定度的主要因素，通過提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測壓精度。

兵器科學與技術(shù)； 膛壓測量； 測壓銅柱； 塑性測壓器； 靜態(tài)特性

0 引言

1 銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學模型

1.1 銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學模型建立

盡管鐓粗研究的最終結(jié)果不能用于銅柱的分析計算，然而其研究的某些方法和結(jié)論卻有可借鑒之處。影響墩粗過程的要素主要是材料的力學特性、被鐓粗體的原始尺寸(直徑d0和高度h0)和試件端面與壓頭之間的摩擦應力。其中摩擦力是銅柱變形過程復雜化的重要原因。

大量柱形銅柱靜態(tài)校準數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，可以把原本復雜的三維變形過程簡化為“準一維變形”過程。建模的基本假設(shè)及其根據(jù)如下：

1)所有銅柱的材料力學特性是高度一致的。因為銅柱都采用高純度的無氧銅，并經(jīng)過嚴格的多次冷拔、退火處理，材質(zhì)的均勻性和一致性遠遠超過一般的工業(yè)用金屬材料。

2)摩擦力對于各種規(guī)格的銅柱影響基本相同。因為銅柱測壓器的材料、加工精度、表面質(zhì)量等影響摩擦力的因素，幾乎都得到嚴格的控制。

3)銅柱變形過程中，其形狀始終保持為圓柱形，即忽略腰鼓形的影響。

4)銅柱變形過程中體積不變。因為高純度的無氧銅的彈性極限很低(約30 MPa)，相應的應變值小于3×10-4；而銅柱的工作應變卻較高，達0.1～0.55. 因此彈性變形引起的體積變化可以忽略，而塑性變形過程是體積不變的。

根據(jù)以上假設(shè)，可以列出以下基本方程：

力平衡方程

pS=σSc,

(1)

體積不變關(guān)系

(2)

應變與瞬時高度關(guān)系

(3)

彈性恢復關(guān)系

Eεe=σe,

(4)

式中：p是壓力(Pa)；S是活塞工作面積(m2)；σ是銅柱平均應力(Pa)；Sc是銅柱截面積(m2)；h是銅柱受壓后的瞬時高度(m)；d0、h0分別為銅柱的原始直徑和原始高度(m)；ε是銅柱的應變值；E是銅柱材料的楊氏模量(Pa)；εe是銅柱卸載過程的彈性應變；σe是銅柱卸載過程的應力(Pa)。

(1)式、(2)式聯(lián)立可得

(5)

(4)式、(5)式聯(lián)立并考慮到彈性恢復過程的總應變值為

(6)

式中：Δ是銅柱卸載過程的彈性恢復量(m)；hc是銅柱卸載后的殘余高度(壓后高度)。可得

(7)

(3)式、(6)式、(7)式聯(lián)立可得銅柱在加壓p時的瞬時應變值：

(8)

銅柱靜態(tài)校準的結(jié)果是獲得一組關(guān)于壓力與壓后高的數(shù)據(jù)對(pi,hci),i=1,2,…,n. 利用(5)式和(8)式，可以計算得到相應的瞬時應力、應變數(shù)據(jù)對(σi,εi),i=1,2,…,n. 對7種規(guī)格的柱形銅柱(φ3 mm×4.9 mm,φ4 mm×6.5 mm,φ5 mm×8.1 mm,φ6 mm×9.8 mm,φ8 mm×13 mm,φ4 mm×8 mm,φ3.5 mm×8.75 mm)，38個批次的313個數(shù)據(jù)對[8]，進行了計算分析，結(jié)果表明，用一個3階多項式可以很好地描述柱形銅柱的應力、應變關(guān)系：

σ(ε)=2.458×109ε3-3.233×109ε2+
1.592×109ε+5.293×107.

(9)

擬合曲線的相關(guān)系數(shù)為0.992 4，標準差為4.1 MPa. 圖1清楚地表明了擬合曲線與上述7種不同規(guī)格銅柱的實驗數(shù)據(jù)符合得很好。應當指出的是，根據(jù)(5)式和(8)式計算所得的應力、應變值以及由此而來的應力、應變關(guān)系式(9)式，并不是材料真正的應力和應變關(guān)系，而是隱含了對摩擦力等影響因素進行了修正的等效應力和等效應變的關(guān)系式。

圖1 銅柱材料的塑性應力、應變曲線Fig.1 Plastic strain-stress curve of copper cylinders

(10)

式中的系數(shù)a0、a1、a2、a3可以根據(jù)以上分析計算獲得，但按照(10)式直接利用7種不同規(guī)格銅柱的多批次靜態(tài)校準數(shù)據(jù)(共百余組校準數(shù)據(jù))進行擬合，得到其中的系數(shù)應該是更可靠的。計算結(jié)果如下：a0=2.516×109,a1=-6.602×109,a2=7.659×109,a3=-3.528×109.

根據(jù)(10)式不難求得銅柱的壓力系數(shù)k=dp/dhc，符合

(11)

圖2是按照(10)式和(11)式繪出的統(tǒng)一的柱形銅柱特性曲線，圖2(a)和圖2(b)兩條曲線適用于各種不同規(guī)格的柱形銅柱。

圖2 統(tǒng)一的柱形銅柱工作特性曲線Fig.2 Unified characteristic curves of copper cylinders

1.2 柱形銅柱特性的計算分析和驗證

根據(jù)以上數(shù)學模型，給定基本參數(shù)d0、h0、S，并合理設(shè)定一系列銅柱受壓后的相對壓后高xi(i=1,2,…,m)，代入(10)式可得到一系列數(shù)據(jù)f(xi). 再代入某種銅柱的R值，可計算出pi,并根據(jù)xc求得壓后高值hci，從而可以得到各種銅柱的工作特性曲線。

圖3是7種不同規(guī)格銅柱的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的關(guān)系圖。圖3中的曲線和數(shù)據(jù)點都相當吻合，說明(10)式對銅柱分析具有很好的工程精度和廣泛的適用性。

圖3 7種柱形銅柱的工作特性計算結(jié)果Fig.3 Calculated results of seven different copper cylinders’ parameters

2 柱形銅柱靜態(tài)特性分析

利用(10)式和(11)式還可以分析銅柱多方面的工作特性，下面僅從銅柱壓力系數(shù)的特點和加工尺寸偏差對測壓精度的影響兩方面進行初步分析。

2.1 銅柱壓力系數(shù)的變化規(guī)律

按(11)式不難證明，k的最小值出現(xiàn)在xc=2a2/6a3=0.73附近。即在hc=0.73h0附近靈敏度最高(見圖2(b)曲線)。這一點與實際數(shù)據(jù)非常吻

合。由于銅柱的實際壓后高度在(0.45～0.9)h0范圍之內(nèi)，這說明銅柱的靈敏度在其量程內(nèi)呈兩端低、中間高的特點，所以任何柱形銅柱工作在其量程的中間偏上的壓力處是最佳的。

2.2 銅柱及活塞尺寸偏差對測壓精度的影響

銅柱及活塞的主要幾何尺寸如銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞直徑dp的加工誤差顯然對銅柱的測壓誤差是有影響的，然而過去由于缺乏適用的數(shù)學模型，一直無法定量分析其中的關(guān)系。而上述(10)式建立了這些參數(shù)及壓力之間的數(shù)學模型，為定量分析提供了基礎(chǔ)。表1是根據(jù)(10)式求得的當誤差源分別來自于銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞的直徑dp，輸出分別為壓力p和壓后高度hc時誤差傳遞的靈敏系數(shù)。表1中相對誤差傳遞的靈敏系數(shù)除了3個常系數(shù)(k2,k3,k4)之外，其他3個都與k1有關(guān)。分析可知k1隨相對壓后高度xc增大而急劇增大，說明原始高度h0的相對誤差對測壓的相對誤差影響隨著壓力減小而急劇增大。而k2、k3都是常數(shù)，所以d0、dp的誤差對測壓精度的影響是不隨壓力大小變化的。而k5、k6隨xc的變化相對較小。

表1 柱形銅柱幾何參數(shù)的誤差傳遞靈敏系數(shù)

由以上計算結(jié)果可知：第一，銅柱原始直徑d0公差的影響大于銅柱原始高度h0的公差；第二，同樣的尺寸公差對小尺寸銅柱的影響較大；第三，h0公差的影響隨xc的增大而增大，即對小壓力測量的影響大；d0公差的影響隨xc的增大而減小，即對小壓力測量的影響小。最后，由計算偏差與允許偏差之比可以看出，銅柱原始尺寸偏差是標定壓后高度偏差的主要成因，由此可以得出結(jié)論：提高銅柱加工精度可以明顯地提高銅柱測壓的精度。利用(10)式和(11)式還可以進行多方面的分析，本文限于篇幅不再贅述。

表2 銅柱加工誤差對壓后高度的影響

3 結(jié)論

1)本文從工程應用出發(fā)，建立了柱形銅柱的半經(jīng)驗數(shù)學模型，通過與大量實測數(shù)據(jù)的比較表明，該模型具有足夠高的工程計算精度，和對不同規(guī)格銅柱的廣泛適用性。

2)分析表明，銅柱壓后高度等于原始高度的73%時靈敏度最高，合理的工作量程應盡可能對稱地分布在這個壓后高值的兩側(cè)。

3)目前我國的銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測量不確定度的主要因素，通過提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測壓精度。

4)利用本文的數(shù)學模型還可以對柱形銅柱的優(yōu)化設(shè)計、合理生產(chǎn)及科學使用提供更多的幫助，相關(guān)的研究工作尚待繼續(xù)進行。

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Static Characteristics of Copper Cylinders for Chamber Pressure Measurement

WANG Fang1, GUO Zeng-gui2, ZHU Ming-wu1

(1.School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China;2.State-owned Factory 641, Jinzhou 121017, Liaoning, China)

Copper cylinders as a sensing element of crusher gauges are widely used for measuring the peak pressure in weapon chamber. In order to improve the measuring accuracy, a new mathematic model is proposed to investigate the static deformation of copper cylinders. The model parameters are estimated based on calibrated data.The calculated results are in good agreement with the experimental results. This model can be well applied to estimate the static deformation law of copper cylinders, and has wide applicability to different specifications of copper cylinders. According to the mathematical model, the variation of copper cylinder pressure sensitivity with deformation and the influence of machining dimension deviation on the accuracy of pressure measuring are calculated. When the height of copper cylinder after compression is 73% of its original one, the pressure sensitivity of the copper cylinder is the highest. The geometric dimension tolerances of copper cylinder and piston are the main factors which affect the pressure measurement uncertainty. The pressure measuring precision of copper cylinders can be improved by improving the machining precision obviously.

ordnance science and technology; chamber pressure measurement; copper cylinder; crusher gauge; static characteristic

2016-07-12

國防科技工業(yè)基礎(chǔ)科研計劃項目(2014年)

王芳(1966—)，女，博士研究生。E-mail: wangfang@mail.njust.edu.cn； 郭增貴(1931—)，男，研究員。E-mail: guosong816@sina.com

朱明武(1933—)，男，教授，博士生導師。E-mail: zhumw105@126.com

TJ012.1+6

A

1000-1093(2017)02-0412-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.02.028