陳志輝

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特 010022)

1 問題的提出

因第一次鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)戰(zhàn)敗，中國(guó)被迫開放了上海等五個(gè)口岸城市，大量商人和傳教士以這些通商口岸為據(jù)點(diǎn)，開展商業(yè)、宗教、科學(xué)和文化等活動(dòng)。與中國(guó)人和中國(guó)歷史文化的接觸日漸頻密，來華西人得以切切實(shí)實(shí)地了解中國(guó)本土的學(xué)術(shù)與文化，從而使得他們能夠?qū)χ袊?guó)文明與西方文明進(jìn)行更直接而深入的比較。與此同時(shí)，科學(xué)正在歐洲快速發(fā)展并取得新穎成果，因而科學(xué)知識(shí)中西比較也成為比較史學(xué)的重要議題。傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815～1887，1847年來華)，便是較早進(jìn)行中西科學(xué)比較的重要學(xué)者。1852年秋，偉烈亞力在《北華捷報(bào)》上連載了英文長(zhǎng)文《中國(guó)科學(xué)略記·算術(shù)及代數(shù)學(xué)》(JottingsontheScienceoftheChinese.Arithmetic，以下簡(jiǎn)稱《略記》)*此文并無統(tǒng)一的中文譯名。根據(jù)影響偉烈亞力甚深的《便士百科全書》“算術(shù)”條(Arithmetic)，狹義的arithmetic指算術(shù)，廣義的arithmetic則包括很大一部分代數(shù)學(xué)內(nèi)容[1]。從《略記》內(nèi)容可知，偉氏在標(biāo)題中所用的是廣義的arithmetic。，介紹了中國(guó)古代數(shù)學(xué)以及當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的進(jìn)展。文章隨即在西方引起了較大反響，前輩學(xué)者多有論及[2- 4]。

《略記》在《北華捷報(bào)》上共分9期連載，這9部分內(nèi)容按實(shí)際刊登時(shí)間大致如下：1)緒論、數(shù)學(xué)在中國(guó)的起緣、7世紀(jì)前的算書；2)7世紀(jì)到14世紀(jì)的算書；3)數(shù)碼與基本算術(shù)運(yùn)算，《九章算術(shù)》(上)；4)《九章算術(shù)》(下)；5)秦九韶(1208～1261)大衍術(shù)(上)；6)大衍術(shù)(下)；7)天元術(shù)、開方術(shù)；8)四元術(shù)、借根方，19世紀(jì)初古算之復(fù)興；9)當(dāng)時(shí)中國(guó)的數(shù)學(xué)研究、結(jié)語(yǔ)。*A. Wylie，“Jottings”，in The North China Herald，No. 108，111，112，113，116，117，119，120，121(August-November， 1852).被視為“中國(guó)代數(shù)學(xué)”的部分占據(jù)了第七和第八兩次連載，體量可觀。據(jù)偉氏在引言中稱，他撰寫此文有三個(gè)目的：1)對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)成就形成更加公平的觀點(diǎn)；2)引起人們對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的興趣；3)改正當(dāng)時(shí)出版物中一些錯(cuò)誤的描述[5]。*以下若無特殊說明，引用均據(jù)1897年重印本。為了達(dá)到這些目的，偉烈亞力在文章中對(duì)中西方的數(shù)學(xué)做了多方面的比較，該文也成為他中西比較科學(xué)史研究的最早實(shí)踐成果之一。筆者由此產(chǎn)生的疑問是，偉氏是如何進(jìn)行中西數(shù)學(xué)比較的，比較重點(diǎn)是什么？與此密切相關(guān)的是，這些深入比較的背后，他對(duì)中國(guó)和西方的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史知識(shí)的理解又從何而來，所依賴的具體文獻(xiàn)有哪些？*前輩學(xué)者對(duì)此問題的研究也有一些成果，如汪曉勤通過比較確定了，偉烈亞力是通過楊輝《詳解九章算法》、吳敬《九章算法比類大全》和程大位《算法統(tǒng)宗》等算書，獲知《九章算術(shù)》的大致內(nèi)容并作出介紹的([3]，14～16頁(yè))。解答這些問題，有助于我們進(jìn)一步理解偉烈亞力的比較數(shù)學(xué)史學(xué)實(shí)踐和思想。

1859年，偉烈亞力與李善蘭(1810～1882)合作翻譯并出版了英國(guó)代數(shù)學(xué)家棣么甘(Augustus De Morgan，1806～1871，今譯為德摩根)的《代數(shù)學(xué)》(ElementsofAlgebra)。正如本文將要描述的，在《代數(shù)學(xué)》的英文和中文序言中*并非所有版本的《代數(shù)學(xué)》均附有偉烈亞力的英文序言[6]，前輩學(xué)者對(duì)這一材料也較少使用。，偉烈亞力延續(xù)了其史學(xué)方法，對(duì)中國(guó)和印度、阿拉伯和西歐的代數(shù)學(xué)進(jìn)行了歷史比較。在偉烈亞力看來，代數(shù)學(xué)及其歷史是十分重要的，因而本文焦點(diǎn)集中在他關(guān)于代數(shù)學(xué)的比較史學(xué)上。汪曉勤已指出偉烈亞力所介紹的東西方數(shù)學(xué)史知識(shí)與德摩根的數(shù)學(xué)史著述，如英國(guó)實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)的《便士百科全書》數(shù)學(xué)詞條等密切相關(guān)[7]，但他尚未對(duì)《略記》和詞條進(jìn)行比對(duì)，因而對(duì)于這些書籍和文本如何具體地影響偉烈亞力的比較代數(shù)學(xué)史編撰的情況，尚可作進(jìn)一步展開。

2 “實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)”出版物：偉烈亞力的西方數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史知識(shí)來源

2.1 英國(guó)實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)的大眾教育理念、出版物與來華新教傳教士

實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)(Society for the Diffusion of Useful Knowledge，SDUK，1826～1846)，是在約翰·羅素(Lord John Russell，1792～1878)等一批教育改革家的支持下，由英國(guó)輝格黨政治家布魯厄姆(Lord Henry Brougham，1778～1868)創(chuàng)立于倫敦的一個(gè)團(tuán)體，旨在為廣大公眾——特別是貧窮低下階層提供實(shí)用知識(shí)教育。在教育被全面普及之前的時(shí)代，該學(xué)會(huì)通過其廉價(jià)的出版物，為一般民眾提供了自學(xué)的機(jī)會(huì)[8]。在偉烈亞力尚未來華的青年時(shí)代，正是該學(xué)會(huì)擁有廣泛影響力的鼎盛時(shí)期。

英國(guó)實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)(以下或簡(jiǎn)稱為“英國(guó)學(xué)會(huì)”)出版了多種實(shí)用知識(shí)叢書、年歷、地圖、期刊和人物傳記辭典等出版物，比較有影響力的有“趣味知識(shí)叢書”(The Library of Entertaining Knowledge)、《便士百科全書》(PennyCyclopaedia，以下簡(jiǎn)稱《全書》)、《便士雜志》(ThePennyMagazine)等。*更詳細(xì)的目錄見文獻(xiàn)[8]，242～243頁(yè)?！度珪芬云錀l目文章標(biāo)題的英文首字母為序編排，正編27卷、補(bǔ)編2卷、續(xù)補(bǔ)1卷，從1833年開始一直出版至1858年。為了編輯出版《全書》，學(xué)會(huì)在世界各地設(shè)有“地方委員會(huì)”，包括在中國(guó)的廣州。1833年，《全書》的廣州地方委員會(huì)委員為德庇時(shí)(John Francis Davis，1795～1890)；自1837到1841年，怡和洋行商人渣甸(William Jardine，1784～1843)任《全書》廣州地方委員會(huì)主席，傳教士裨治文(Elijah C. Bridgman，1801～1861)、郭實(shí)臘(Karl Gützlaff，1803～1851)和馬儒翰(John Robert Morrison，1814～1843)任秘書[9]。這些人當(dāng)中，馬儒翰是第一位入華的新教傳教士馬禮遜(Robert Morrison，1782～1834)之子，是英國(guó)倫敦會(huì)(London Missionary Society)成員；其他人也是與倫敦會(huì)有著密切關(guān)系的商人或傳教士。在此期間，與英國(guó)學(xué)會(huì)名稱完全相同的“在華實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)”(Society for the Diffusion of Useful Knowledge in China，1834～1839)由郭實(shí)臘等人在廣州創(chuàng)立，旨在以科學(xué)等實(shí)用知識(shí)影響當(dāng)時(shí)停滯不前、保守排外的中國(guó)。*關(guān)于此學(xué)會(huì)之成立，見文獻(xiàn)[10]。由此可見，早期來華的倫敦會(huì)傳教士及其收集和傳播知識(shí)的工作，與英國(guó)學(xué)會(huì)和《全書》編撰之間有著密切的聯(lián)系。*除了為《全書》提供有關(guān)中國(guó)的知識(shí)外，有學(xué)者認(rèn)為廣州的在華實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)還在鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)期間的信息收集上發(fā)揮了重要的作用[11]。

正因?yàn)橛?guó)學(xué)會(huì)在大眾當(dāng)中影響很大，且與倫敦會(huì)有著密切的聯(lián)系，以致到了1871年，在廣州和倫敦的兩個(gè)實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)雖已結(jié)束多時(shí)，稍晚的來華傳教士如艾約瑟(Joseph Edkins，1823～1905)、偉烈亞力等又再一次在中國(guó)成立了同名的學(xué)會(huì)，并仿效《便士雜志》，在中國(guó)發(fā)行《中西聞見錄》([2]，59頁(yè))。另一方面，偉烈亞力本人并沒有正式接受高等教育，在離開文法學(xué)校后即成為細(xì)木工學(xué)徒[12]，英國(guó)學(xué)會(huì)的出版物當(dāng)是他繼續(xù)學(xué)習(xí)的重要參考書之一。這一系列事實(shí)都顯示出，實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)出版物對(duì)偉烈亞力近代科學(xué)知識(shí)體系的形成有著重要的影響。

2.2 《略記》中對(duì)英國(guó)學(xué)會(huì)出版物的引用

偉烈亞力的近代科學(xué)知識(shí)來源更體現(xiàn)在《略記》對(duì)英國(guó)學(xué)會(huì)出版物的引用上?！堵杂洝分芯陀袃商幟鞔_地引用自《全書》：第一處為談及數(shù)字的位值制時(shí)，在正文中引用《全書》“算術(shù)”條(Arithmetic)和德庇時(shí)《中國(guó)人》(TheChinese)共同持有的中國(guó)人并無位值制書寫方法的論斷([5]，169頁(yè))。*巧合的是，《中國(guó)人》也是學(xué)會(huì)所出版的“趣味知識(shí)寶庫(kù)”叢書中的一種 [13]。第二處則是在比較四元術(shù)中的“物元”與歐洲“物術(shù)”時(shí)，以腳注形式引用《全書》“代數(shù)學(xué)”條(Algebra)([5]，186頁(yè)，詳見3.3小節(jié))。

圖1 《略記》中霍納法圖解([5]，185頁(yè))

《全書》中關(guān)于數(shù)學(xué)的條目是由德摩根所撰寫的。德摩根于1860年寄與《保險(xiǎn)雜志》(TheAssuranceMagazine)編輯的一通信函中明確指出，所有出現(xiàn)在英國(guó)學(xué)會(huì)出版物中的數(shù)學(xué)文章均出自他的手筆[14]。*感謝林力娜教授向筆者提示這則材料。前輩學(xué)者的研究也確認(rèn)了德摩根為《全書》撰寫數(shù)學(xué)和天文學(xué)條目超過10年([15]，205～206頁(yè))。在《略記》中還有兩次明確提及德摩根：一次以腳注形式引用他的《論數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與困難》(OntheStudyandDifficultiesofMathematics)([5]，183頁(yè))，此書最初也是由學(xué)會(huì)于1831年出版的[16]。另一次是在比較秦九韶開玲瓏乘方法與霍納法時(shí)，引用了德摩根的論斷，即霍納(William George Horner，1786～1837)“發(fā)現(xiàn)了為前人所忽視而又簡(jiǎn)單普適”的“任意高次方程解法”([5]，185頁(yè))。然而此引文并未標(biāo)明出處，筆者查得是出自《全書》“乘方與開方”條(Involution and Evolution)[17]。在比較秦九韶開方術(shù)與霍納法時(shí)，偉烈亞力展示了霍納法的圖解(圖1)。該圖解豎欄整齊，所求得的減根方程的每項(xiàng)系數(shù)后加上分號(hào)辨別，與“乘方與開方”條中第一例的圖解(圖2)布置極為相似，而沒有使用霍納1819年論文中[18]，各例圖解都具有的標(biāo)志性的連線(圖3)。*隨著數(shù)字位數(shù)的增多，《全書》“乘方與開方”條中各例圖解并不全如第一例那樣整齊，但所有圖解均沒有連線以顯示數(shù)字之間的聯(lián)系。事實(shí)上，在偉烈亞力所編撰的《數(shù)學(xué)啟蒙》中，“開諸乘方又捷法”節(jié)里的霍納法圖解，除了使用中文數(shù)字外，同樣是德摩根式的[19]。這也說明，不但偉烈亞力對(duì)霍納的優(yōu)先權(quán)評(píng)論來源于德摩根([7]，164～165頁(yè))，就連他對(duì)于霍納法的理解也是從德摩根所撰寫的《全書》詞條而習(xí)得的，而不是直接來自于霍納本人的論文。正是基于這樣的理解，偉烈亞力才能與中算中的增乘開方術(shù)做出對(duì)比(詳見3.1小節(jié))。

圖2 《全書》“乘方與開方”條霍納法圖解([17]，8頁(yè))

圖3 霍納1819年論文的圖解[18]

《略記》還有四次以腳注形式引用西方文獻(xiàn)，分別為衛(wèi)三畏(Samuel Wells Williams，1812～1884)《中國(guó)總論》(TheMiddleKingdom)、穆雷(Hugh Murray，1779～1846)的《中國(guó)的歷史與現(xiàn)狀綜述》(AnHistoricalandDescriptiveAccountofChina)、1817年11月號(hào)的《愛丁堡評(píng)論》雜志(TheEdinburghReview，orCriticalJournal)和納皮爾(John Napier，1550～1617)的《籌算》(Rabdologi)([5]，161、167、180、193頁(yè))。從引用數(shù)量上也可以看出，《略記》對(duì)學(xué)會(huì)出版物的引用占了很大的比例。

2.3 《代數(shù)學(xué)中文序》與《全書》中的西方代數(shù)學(xué)史內(nèi)容

偉烈亞力不但在《略記》中引用《全書》中的西方數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史，還在他與李善蘭合作翻譯的《代數(shù)學(xué)》的中文序言中引用了相關(guān)的內(nèi)容。該序稱：

〔代數(shù)學(xué)〕創(chuàng)自何國(guó)何人，莫可考已。當(dāng)中國(guó)六朝時(shí)，希臘有丟番都者傳其法，但用數(shù)不用記號(hào)。而天竺已先有之，且精于丟氏，能推一次、二次式，并有求一法，甚賅備，幾與秦九韶大衍術(shù)相埒。波斯、天方皆傳其法，而精不逮焉。及元時(shí)，以大利薄那洗學(xué)自天方，以傳于其國(guó)，歷三百年，習(xí)者寥寥。至明嘉靖、萬歷間，思鐵法利以其法傳于日耳曼，白勒得利傳于法蘭西，立可傳于英國(guó)，由是其學(xué)漸盛。初，天竺代未知數(shù)用五色名，波斯、天方則各用方言之“物”字。傳入歐羅巴也，以大利、英國(guó)仍用“物”字，故即名“物術(shù)”云。是時(shí)，惟未知數(shù)用字代，已知數(shù)皆用本數(shù)。至肥乙大始盡以字代，是為今代數(shù)術(shù)之始。厥后學(xué)者，精益求精，創(chuàng)為方程式，即借根方之相等法也。[20]

引文中所提到的丟番都即丟番圖(Diophantus，約3世紀(jì))，希臘化時(shí)期亞力山大里亞數(shù)學(xué)家；薄那洗即斐波那契(Leonardo Fibonacci，1175～1250)，曾向阿拉伯人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是極具影響的中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家；思鐵法利即施蒂費(fèi)爾(Michael Stifel，1487～1567)，白勒得利即佩爾捷(Jacques Peletier du Mans，1517～1582)，立可即雷科德(Robert Recorde，約1512～1558)，三人分別在16世紀(jì)的德國(guó)、法國(guó)和英國(guó)地區(qū)傳播和發(fā)展代數(shù)學(xué)；肥乙大即法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Fran?ois Viète，1540～1603)，他首先運(yùn)用符號(hào)代替已知量解決問題，近代代數(shù)學(xué)由此開端。

相當(dāng)重要的一點(diǎn)是，上面所引一段代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史的描述源于《全書》“代數(shù)學(xué)”條。在該詞條中，德摩根同樣按丟番圖、印度、波斯-阿拉伯到歐洲這一順序來勾勒代數(shù)學(xué)演進(jìn)的框架。因?yàn)閬G番圖問題(Diophantine)與印度代數(shù)的高度相似性，而后者“更為高明”，德摩根認(rèn)為要么是丟番圖從東方學(xué)習(xí)到了印度人的代數(shù)知識(shí)，要么是印度人在5世紀(jì)后對(duì)希臘代數(shù)學(xué)做出了很大的改進(jìn)。除了提供印度與阿拉伯地區(qū)代數(shù)學(xué)的一些歷史細(xì)節(jié)外，他還推薦了一些東方學(xué)家——如科爾布魯克*科爾布魯克(Henry Thomas Colebrooke，1765～1837)，英國(guó)梵文學(xué)家，曾翻譯印度代數(shù)學(xué)經(jīng)典《比賈加尼塔》(Bija Ganita或Vija-ganita)并為之撰寫長(zhǎng)篇序言。等人的相關(guān)工作。在簡(jiǎn)述13世紀(jì)以降以字(詞)代數(shù)的方法在歐洲各國(guó)的發(fā)展后，德摩根提出韋達(dá)所在的時(shí)代是代數(shù)學(xué)“現(xiàn)代形式開始的時(shí)間”[21]。從演進(jìn)的框架到定性的結(jié)論，序言中對(duì)代數(shù)學(xué)源流的“略述”，基本上是對(duì)“代數(shù)學(xué)”條相關(guān)內(nèi)容的翻譯和縮寫。基于《全書》所介紹的西方代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，偉烈亞力也得以與中國(guó)古算進(jìn)行比較，并把這些比較適時(shí)地穿插在中文序?qū)ξ鞣酱鷶?shù)學(xué)史的描述中。*這樣的比較也存在于《略記》和《代數(shù)學(xué)》英文序言當(dāng)中，而且更加詳細(xì)(詳見3.2小節(jié))。

3 偉烈亞力著述中對(duì)中國(guó)、印度和歐洲代數(shù)學(xué)的比較

3.1 增乘開方術(shù)與歐洲霍納法之比較

傳統(tǒng)中算把求數(shù)值方程正根的方法統(tǒng)稱為開方術(shù)，要求解的數(shù)值方程稱為開方式?！堵杂洝分械谝淮握摷伴_方，是在介紹《九章算術(shù)》少?gòu)V章的時(shí)候，偉烈亞力意譯少?gòu)V為evolution，并認(rèn)為少?gòu)V章中的開方方法與英格蘭的教科書所用方法相同([5]，172頁(yè))。更詳細(xì)的討論則是以秦九韶開方術(shù)為代表的宋元增乘開方術(shù)與霍納法的比較。

前文提及《略記》引用了《全書》“Involution and Evolution”條的“霍納法”——高次數(shù)值方程解法，因而《略記》把開方譯為evolution是十分妥貼的，但在翻譯增乘開方術(shù)這一術(shù)語(yǔ)的時(shí)候則出現(xiàn)了一些問題。在《略記》中，偉烈亞力是這樣介紹秦九韶的開方術(shù)的：

這些名目(按：指實(shí)、方、廉、隅等)排列好以后，未知數(shù)通過一個(gè)叫“玲瓏開方”(Harmoniously Alternating Evolution)的簡(jiǎn)單程序被求解出來，這一知識(shí)在歐洲還是相當(dāng)新穎的。從秦書大量例子中拿出一個(gè)，可以很好地說明。現(xiàn)在要開-x4+1534464x2-526727677600的根，或求x的值。([5]，184頁(yè))

偉烈亞力提及的這個(gè)解方程的例子源于《數(shù)書九章》“望敵圓營(yíng)”題：

……俱以約之，得五千二百六十七億二千七百五十七萬七千六百為定實(shí)；一百五十三億四千四百六十四為從上廉，一為定益隅，開玲瓏三乘方。[22]*汪曉勤首先揭示此方程的來源([3]，18頁(yè))。

這里描述的是一個(gè)開方式，偉氏把這段文字轉(zhuǎn)化為近代代數(shù)學(xué)語(yǔ)言“開-x4+1534464x2-526727677600的根，或求x的值”*注意常數(shù)項(xiàng)的十萬位數(shù)字從“5”被誤寫為“6”外，但所列算圖不誤。，并稱解方程的方法為“玲瓏開方”，但這不是準(zhǔn)確的傳統(tǒng)中算的說法。檢秦九韶原書，“玲瓏”一詞一共只出現(xiàn)6處，且其中4處均以“開玲瓏某乘方”的形式表述*除前揭引文外，還分別有：“以一為益隅，開玲瓏翻法三乘方”(卷5)；“以一為益隅，開玲瓏三乘方”(卷6)；“以北里乘上廉為實(shí)，開玲瓏九乘方”(卷8)([22]，493、505、523頁(yè))。，一處為類似的“開某乘玲瓏方”*“一為定益隅，開連枝三乘玲瓏方，得營(yíng)徑”([22]，530頁(yè))。，還有一處則是對(duì)“玲瓏方”或“玲瓏乘方”的定義性表述：

草曰：以一為從隅；以……一十五里為從七廉；以……七十二為從五廉；以……八百六十四系負(fù)差，所乘者為益三廉；……以……得三萬四千九百九十二為實(shí)，各置實(shí)、廉、隅，玲瓏空耦位。([22]，524～525頁(yè))

由此可知“玲瓏開方”實(shí)際上并不是一種開方的程序，“玲瓏(乘)方”相當(dāng)于高次方程中奇次冪系數(shù)均為零的一種特殊情況，而“開玲瓏某(乘)方”則是指求這種特殊方程的根[23]。其中“玲瓏”所指的是開方式中偶數(shù)位為空，猶如結(jié)構(gòu)巧妙、玲瓏通透的鏤空之物。偉烈亞力將之譯為“有規(guī)律地交錯(cuò)”(Harmoniously Alternating)，也是可以接受的，但是在偉烈亞力所表述的代數(shù)式中，我們已看不到“玲瓏”的形象。而在《數(shù)書九章》當(dāng)中，無論是求解玲瓏乘方式還是其他開方式，秦九韶所采用的方法均為“增乘開方法”，即在估出根的第一位數(shù)字后，利用隨乘隨加的方式，求出減根方程中各項(xiàng)的系數(shù)，其特點(diǎn)正是乘法和加法運(yùn)算交錯(cuò)運(yùn)用?；蛟S正因如此，偉烈亞力誤認(rèn)為“有規(guī)律地交錯(cuò)”所修飾的是開方或解方程的過程，而不是開方式或者方程本身。

在比較了霍納法與所謂“玲瓏開方”后，偉烈亞力提到：

盡管秦是我們發(fā)現(xiàn)的完整發(fā)展出解決復(fù)雜方程的第一人，但也應(yīng)該注意到，他的一位同時(shí)代作者楊輝在他對(duì)《九章》的分析中，雖然沒有算例，但給出了極為相似的開平方根和立方根的規(guī)則，被稱為“增乘方”(Accumulating Involution)，此法引自賈憲。([5]，186頁(yè))

這里的“增乘方”當(dāng)是對(duì)《詳解九章算法·纂類》中“增乘〔開立〕方法”[24]沿用，并被偉烈亞力誤讀為“增/乘方/法”。而另一方面，因?yàn)椤伴_方”(Evolution)的定義依賴于“乘方”(Involution)，《全書》把這兩個(gè)在操作上互逆的概念置于同一詞條，并在該詞條中介紹了霍納法，偉烈亞力或是受此影響而混淆了“乘方”和等價(jià)于霍納法的增乘開方法。

然而，盡管偉烈亞力對(duì)玲瓏開方式或增乘開方法字面含義的理解有偏差，卻對(duì)隱藏其中的復(fù)雜的方法內(nèi)涵有著準(zhǔn)確的判斷，并給出了所謂“玲瓏開方”的圖解(圖4)。以下的推測(cè)或許可以解釋這個(gè)矛盾：偉烈亞力是通過與霍納法圖解的比較進(jìn)而理解增乘開方術(shù)的；但他所展示的中式開方圖解明顯不是來自《數(shù)書九章》，而很可能是來源于《四元釋例》中的“開方釋例”(圖5)。

圖4 偉烈亞力對(duì)“玲瓏開方”的圖解([5]，184頁(yè))

圖5 易之瀚“開方釋例”中的開方術(shù)圖解([27]，19a～b頁(yè))

《四元釋例》最初是易之瀚為羅士琳(1789～1853)《四元玉鑒細(xì)草》(1837)而作，主要以《四元玉鑒》中的問題為例，詳細(xì)解釋開方術(shù)、天元術(shù)和四元術(shù)等數(shù)學(xué)方法所要注意的規(guī)則。易之瀚把該書分為“開方釋例”、“天元釋例”、“四元釋例”，附于羅士琳《四元玉鑒細(xì)草》后刊行。到了1839年，羅士琳改刊《四元玉鑒細(xì)草》，又為附于后的《四元釋例》添加了“補(bǔ)增諸例”，流傳廣泛[25]。

《略記》中明確提到“羅茗香近年在揚(yáng)州出版的《四元玉鑒》全書細(xì)草(minute illustrations)及三卷釋例(three volumes of rules)”([5]，190頁(yè))*實(shí)際上羅士琳的《四元玉鑒細(xì)草》為三卷，《四元釋例》為一卷。，顯示出偉烈亞力在寫作《略記》時(shí)曾看過羅士琳的《四元釋例》。1882年，牛津大學(xué)博德利圖書館購(gòu)入原屬于偉烈亞力的中文古書[26]。筆者在這批古書中發(fā)現(xiàn)，1839年版《四元釋例》的三個(gè)半葉的天頭上有若干條鉛筆筆記。筆記包含了一些代數(shù)式和演算步驟，以印度-阿拉伯?dāng)?shù)字和拉丁字母形式表示，是對(duì)該葉正文籌式和演草轉(zhuǎn)寫的嘗試([27]，6b、7b、8a頁(yè))。筆者認(rèn)為，這些筆記在偉烈亞力購(gòu)入此書前就存在的可能性相當(dāng)?shù)?，加上筆記的筆跡和偉氏本人簽名的筆跡也有相似之處，它們應(yīng)該是屬于偉氏本人的。

易之瀚和偉烈亞力的開方法圖解的特點(diǎn)，是把計(jì)算減根方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)的所有加法程序都布置在同一個(gè)縱欄里。這種形式的圖解最先由李銳《開方說》中創(chuàng)造[28]，易之瀚在“開方釋例”中加以沿用。*李儼曾指出易氏《釋例》中的部分內(nèi)容“系點(diǎn)竄李銳《開方說》”[29]。通過對(duì)比釋例中的增乘開方法圖解“乘方與開方”條中的霍納法圖解，偉烈亞力可以很容易地看出兩者的相似之處，因而對(duì)“玲瓏開方”和“增乘方”等術(shù)語(yǔ)的理解偏差并不影響他對(duì)增乘開方術(shù)內(nèi)涵的理解。

3.2 天元術(shù)與印度和歐洲代數(shù)學(xué)之比較

天元術(shù)的實(shí)質(zhì)，是根據(jù)題意立天元一(未知數(shù))并列出兩個(gè)等價(jià)的天元式(含未知數(shù)的多項(xiàng)式)，然后使兩個(gè)天元式相減構(gòu)造出一個(gè)開方式的解題方法([23]，128頁(yè))。偉烈亞力認(rèn)為，13世紀(jì)印有“立天元一”(Setting up the Celestial Monad)的算書代表了“數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支”，并“可以合理地被稱為中國(guó)代數(shù)學(xué)”；“天元一”中用的“一”(unity或monad)用以表示一個(gè)未知數(shù)；這種表示法“與位值理論的延伸運(yùn)用相結(jié)合”，可以表示未知數(shù)的連續(xù)次冪([5]，181～182頁(yè))。

在這里，偉烈亞力把“立天元一”中的“一”譯為monad或其同義詞unity，并認(rèn)為它相當(dāng)于西方代數(shù)學(xué)中的未知數(shù)x，表明他對(duì)“立天元一”中之“一”為“借一算”的深刻理解。這一理解很可能就是來源于《四元釋例》中“天元借一，其兆實(shí)肇于劉徽《九章》‘少?gòu)V’所謂‘借一步之’”([27]，2a頁(yè))的判斷。

對(duì)于天元式的表達(dá)方法，《略記》是這樣描述的：

〔天元〕一有一個(gè)“元”字寫在旁邊，以區(qū)分它在算式(column)中的位置。緊接在“元”下面的是自然數(shù)的位置，以漢字“太”標(biāo)示，意指這是“太極”或無窮極限之位。緊接在“元”上面的是平方項(xiàng)；再接著上面是立方項(xiàng)；再上面是四次方項(xiàng)，如此向上類推?！趯?shí)際操作中，用“太”字就省略“元”字；或者用“元”字就省略“太”字。值得注意的是，歐洲最受尊敬的權(quán)威鄭重其事地?cái)嘌裕袊?guó)人不懂位值制的重要意義，我們發(fā)現(xiàn)在此正正相反，他們把這一原理加以推演，到達(dá)西方未曾達(dá)到的精益求精的程度。([5]，182～183頁(yè))

這里也有兩點(diǎn)能顯示出偉氏對(duì)天元術(shù)的理解與《四元釋例》之間的關(guān)聯(lián)。第一，偉烈亞力把天元術(shù)與位值理論相聯(lián)系。他并沒有詳細(xì)說明他何以有這樣的判斷，而《四元釋例》“天元釋例”中的第二則，正是十進(jìn)定位法則([27]，58b頁(yè))。另一方面，在宋代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上，李善蘭曾為偉烈亞力提供過幫助[30]。李善蘭在《四元解》中，也針對(duì)《四元玉鑒》首四問撰寫了數(shù)條“算例”。他首先指出“凡算式皆自左而右，步而左為十、百、千、萬，步而右為分、厘、毫、絲……”；在算例的第三條則明晰各元次冪所代表的位置——即他所說的“算格”及其排列[31]。因而認(rèn)識(shí)位值在李善蘭看來十分重要，以致他后來更認(rèn)為中國(guó)的四元術(shù)/天元術(shù)與西方代數(shù)學(xué)的區(qū)別只是“四元?jiǎng)e以位次，代數(shù)以別以記號(hào)，法雖殊，理無異也”[32]。偉烈亞力受其影響，在此特別提出“位值理論”，我們也就不難理解了。

第二，偉烈亞力對(duì)天元式表達(dá)和運(yùn)算的描述與《四元釋例》相類似。在上述引文后，偉烈亞力解釋道，如果將一個(gè)天元式“乘以〔天元〕一，則算式中的每一項(xiàng)(term)上移一層；如果乘以〔天元〕一的平方，則上移兩層；如果是立方，則三層，如此類推”([5]，182～183頁(yè))。這一描述有“天元釋例”的影子：

凡逐層布算之法，以虛數(shù)為天元，旁記元字；真數(shù)為太極，旁記太字。元上必太，太下必元。故有元字不記太字，有太字不記元字。元下一層則元自乘數(shù)，又下一層則元再乘數(shù)。每下一層則增一乘。

……

凡乘法，亦齊其左右兩行，對(duì)列互乘。以左行下方一層起自下而上徧乘右行，為乘第一次。又于左行轉(zhuǎn)上一層亦徧乘右行，為乘第二次，所得較第一次所得遞進(jìn)一層。……([27]，60a頁(yè))

顯然，偉烈亞力運(yùn)用了“層”(stage)這一術(shù)語(yǔ)，這與羅士琳、易之瀚，以及李善蘭《四元解》算例中的用法都是一致的。*如“凡除法，若僅有天元或僅有三元者則可以天元除。以除天元一層得太一層；以除太一層得太上一層”([31]，969頁(yè))。對(duì)于天元式的乘法運(yùn)算本身，也恰恰是對(duì)“天元釋例”中天元式與天元式相乘的一般情況的理解和翻譯，偉氏認(rèn)為實(shí)際的操作是天元式中的每一項(xiàng)上移(釋例中的“遞進(jìn)”)若干層。對(duì)于他所舉出的特殊情況，更為合理的操作似乎正如郭書春所言：“天元式的表示采取位置值制，故乘除數(shù)為天元冪的乘除法，只要上下移動(dòng)‘元’字或‘太’字即可”([23]，131頁(yè))。

總的來說，偉烈亞力和李善蘭二人對(duì)天元式的描述有不少一致性，這背后蘊(yùn)藏著他們對(duì)相關(guān)問題已有的交流與互動(dòng)，《四元釋例》極可能是他們?cè)诮涣鬟^程中的重要參考書籍。

《略記》中只涉及天元術(shù)表示法與歐洲代數(shù)方程的比較，在《代數(shù)學(xué)》的英文序言中，偉烈亞力更進(jìn)一步，把天元術(shù)與古代印度代數(shù)進(jìn)行比較：

《比賈加尼塔》(原注：據(jù)科爾布魯克譯本第219頁(yè)。)的一個(gè)注釋本，是寫于1463年一部印度代數(shù)學(xué)著作，﹝我選出﹞當(dāng)中的一個(gè)表達(dá)式，與古代中國(guó)與現(xiàn)代歐洲的方法是等價(jià)的，這將使我們對(duì)其各自表達(dá)方式的特點(diǎn)有一些概念。

印度：

中國(guó)：

| 1

歐洲：

x4+6x3+5x2-12x+4

在印度的表示中，術(shù)語(yǔ)yavv等是一些詞的首字母，即ya代表yvat-tvat“數(shù)量”，是未知量的符號(hào)，vv代表4次方，gh代表立方，v代表平方，而ru代表rúpa“絕對(duì)數(shù)字”(absolute number)?！麄€(gè)天元式乘或除以〔天元一的〕多少次方，就上下移動(dòng)“太”字多少層。[33]

正如偉烈亞力自己所引用的，他給出的例子來自于婆什迦羅第二(Bhskara II)《比賈加尼塔》科爾布魯克譯本，其實(shí)是第五章第145條中的一個(gè)算式，系數(shù)也完全相同[34]；對(duì)術(shù)語(yǔ)的解釋則來自于科氏的注釋([34]，139頁(yè))?！度珪贰按鷶?shù)學(xué)”條已向讀者提示參閱科氏譯本，可以推斷偉烈亞力也是根據(jù)這一提示而閱讀科氏譯著，進(jìn)而展開對(duì)印度、中國(guó)和歐洲代數(shù)學(xué)的比較。

3.3 四元術(shù)與歐洲近代代數(shù)學(xué)之比較

四元術(shù)是從天元術(shù)發(fā)展而來的多元聯(lián)立高次方程組代數(shù)學(xué)解法，包括四元術(shù)表示法和四元消法兩部分內(nèi)容([23]，131頁(yè))。《略記》沒有涉及四元消法，但描述了偉烈亞力所理解的四元術(shù)表示法：

朱世杰約于1303年出版其《四元玉鑒》；在書中，他運(yùn)用了“一”來代替未知量和已知量，比起其同時(shí)代的學(xué)者大大向前推進(jìn)。四個(gè)“一”分別用天、地、人和物來表示。前三個(gè)一般用以(但并非必須)表示已知量，而最后一個(gè)“物”(偉烈亞力原注：“波斯人和阿拉伯人運(yùn)用他們各自語(yǔ)言中表示‘物’的單詞表示未知數(shù)，而出于同一目的，意大利人用cosa一詞：由此代數(shù)學(xué)在意大利被稱為RegoladelaCosa，在英格蘭就被稱為CossikeArt?！薄侗闶堪倏迫珪罚硪?，325頁(yè)。這一巧合令人稱奇。)表示未知量。這里，我們?cè)僖淮伪仨毘姓J(rèn)中國(guó)人的優(yōu)先性，因?yàn)橹钡巾f達(dá)所生活的16世紀(jì)以前的歐洲，任意的數(shù)字代表符號(hào)并未被用來表示任意數(shù)，而只是表示所求的量。……

由此，簡(jiǎn)單四元式或a+b+c+x被寫成以下形式：

上式的平方，或a2+2ab+2ac+2ax+b2+2bc+2bx+c2+2cx+x2，如下：

一個(gè)小小的練習(xí)就足以使任何一個(gè)人很好地熟悉此算法中的一些術(shù)語(yǔ)。左邊的是地元一或b，被移動(dòng)到距離“太”有兩層的那個(gè)1為b2；旁邊一列，最上的2占據(jù)在與物元一的位置，代表地元與物元的兩倍乘積，即2bx；……([5]，186～187頁(yè))

這里的兩個(gè)四元式示例是正確的，源于《四元玉鑒》“四元自乘演段之圖”后解說文字中的兩個(gè)四元籌式，偉烈亞力只是把籌式數(shù)字轉(zhuǎn)寫為印度-阿拉伯?dāng)?shù)字。在清代較早的宛委別藏本和何刻本《四元玉鑒》中*關(guān)于《四元玉鑒》的版本，參見文獻(xiàn)[25]，33～40頁(yè)。，這兩個(gè)四元籌式都是不正確的[35- 36]，后來羅士琳在《四元玉鑒細(xì)草》中首次做出校正，但并沒有詳細(xì)的解釋校正的依據(jù)[37]。而在《四元釋例》“四元釋例”一章中，第一例恰恰就是解釋前一籌式自乘后如何得出后籌式，即天、地、人、物四元自乘及兩兩相乘后如何定位([27]，68a～69a頁(yè))。由此，我們不難推想偉烈亞力仍是通過“四元釋例”的這部分內(nèi)容，然后加以翻譯、介紹的。

偉烈亞力不把天、地、人、物四元解釋為四個(gè)未知量，而解釋為一個(gè)未知量、三個(gè)已知量，推論出中國(guó)人先于韋達(dá)用字母表示常數(shù)；同時(shí)，他又把物元而不是天元解釋為主要的未知量x，并暗示其與“物術(shù)”之間的聯(lián)系。這一結(jié)論并不正確。其原因在于“四元自乘演段之圖”后有文字說明“立勾三股四弦五黃方二”，合并后得第一個(gè)籌式；之后所有涉及四元的7個(gè)問題則均分別以天元一、地元一、人元一代勾、股、弦，而以物元一為“開數(shù)”即題目所問之?dāng)?shù)——盡管勾、股、弦在題目中均為未知([25]，59，63～64，143～144頁(yè))?；蛟S是偉烈亞力的先入為主的觀念，屬于直角三角形三邊的勾、股、弦常以a、b和c代表，于是物元一便以x代表，因而出現(xiàn)了上述并不正確的比較和結(jié)論。這也說明偉烈亞力對(duì)于四元術(shù)還沒有全面理解，而且直到1859年《代數(shù)學(xué)》出版時(shí)，他的這一理解并無太大改變：仍然認(rèn)為天元一、地元一和人元一所代表的是已知量，僅物元一代表未知量，但不再提及與歐洲“物術(shù)”之間的聯(lián)系([33]，ii～iv頁(yè))。

4 偉烈亞力的比較數(shù)學(xué)史觀及其來源

4.1 德摩根的數(shù)學(xué)史觀

由前面的論述可知，偉烈亞力對(duì)宋元代數(shù)學(xué)的理解和描述，在很大程度上受到《四元釋例》的影響。相對(duì)地，他對(duì)于西方代數(shù)學(xué)史的發(fā)展脈絡(luò)的理解則明顯來源于德摩根。關(guān)于德摩根的數(shù)學(xué)史觀，理查德茲有以下評(píng)論：

19世紀(jì)上半葉，德摩根處于其影響力的最高點(diǎn)之時(shí)，歷史研究在英國(guó)正盛行?！履Ω趥ゴ笳问芳矣楷F(xiàn)的時(shí)代，他們通過援引英國(guó)的歷史而合理化并贊頌英國(guó)的現(xiàn)在。在德摩根的數(shù)學(xué)史觀中，他體現(xiàn)了同樣的進(jìn)步精神?！鯙榱餍械淖髌犯挥跉v史的假想與闡釋，這證明了他堅(jiān)信：數(shù)學(xué)常常能通過其歷史而被人作出最好的理解。[38]

也就是說，德摩根受到英國(guó)當(dāng)時(shí)盛行的“歷史的輝格解釋”(the Whig interpretation of history)，即贊揚(yáng)新教徒和輝格黨人成功的革命、強(qiáng)調(diào)歷史上那些導(dǎo)致進(jìn)步的原則的史學(xué)傾向[39- 40]。德摩根和偉烈亞力都共同引用過科爾布魯克所翻譯的《比賈加尼塔》，事實(shí)上，這一譯本收于科氏《婆羅摩笈多和婆什迦羅梵文文獻(xiàn)中的代數(shù)，以及算術(shù)與測(cè)量》(Algebra，withArithmeticandMensuration，fromtheSanscritofBrahmeguptaandBhscara)當(dāng)中。在這部著作的開頭，科氏有一篇《論述》，關(guān)于為何要撰寫代數(shù)學(xué)史這個(gè)問題，《論述》是這樣說的：

科學(xué)的歷史，如果它想要有政治史和宏大敘事那樣蕩人心魄的吸引力，它也不能完全拒斥趣味性和知識(shí)性。值得贊美的好奇心促使人們探尋知識(shí)的來源；而對(duì)這一過程的回顧，為相同或相近領(lǐng)域的研究的向前發(fā)展提供指示?！?/p>

在數(shù)學(xué)科學(xué)的歷史上，一個(gè)問題問之有年：代數(shù)分析的發(fā)明歸功于誰(shuí)？是在什么人群、什么地域當(dāng)中被發(fā)明出來？由誰(shuí)來改進(jìn)和發(fā)展？或者說，由誰(shuí)的工作讓它成形和成一體系？而最后，這一知識(shí)的傳播從什么地區(qū)開始的呢？無疑，人們對(duì)為現(xiàn)代歐洲所立即接受知識(shí)來源抱有興趣，盡管傳播的渠道仍是一大問題。我們比較確定，阿拉伯人是我們這一研究的間接或直接的導(dǎo)師。但是阿拉伯人幾乎不自詡他們發(fā)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)。總的來說，在他們的科學(xué)文化極盛的短暫時(shí)期，他們不是發(fā)明者而是學(xué)者。而代數(shù)分析的最早的萌芽可以在希臘人中找到，雖然不能準(zhǔn)確定年，但還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)古于阿拉伯文明最早興起的時(shí)代；而這一科學(xué)以一個(gè)更為高級(jí)的狀態(tài)在印度人當(dāng)中維持，早于阿拉伯人向近代歐洲傳播的最早時(shí)代。[41]

顯然，這樣的一種數(shù)學(xué)史研究過程，是對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“尋根”之旅?？茽柌剪斂送ㄟ^對(duì)梵文數(shù)學(xué)典籍的翻譯和研究，希臘—印度—阿拉伯—?dú)W洲這樣一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)流傳譜系得以清晰地描繪，這一研究成果成為德摩根理解近代代數(shù)學(xué)的思想資源之一，固定在他為《全書》所撰寫的詞條當(dāng)中，成為近代代數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分。可以說，科爾布魯克影響了德摩根，又間接地影響了偉烈亞力。當(dāng)科氏的這一譜系在19世紀(jì)初的英國(guó)形成之時(shí)，對(duì)這些文明歷史上的數(shù)學(xué)知識(shí)之間比較研究也在同時(shí)進(jìn)行。但是選擇什么來比較？在輝格史學(xué)的框架下，那些與近代數(shù)學(xué)相一致的部分就自然被首先選擇出來。如前所述，偉烈亞力在《略記》當(dāng)中對(duì)中西代數(shù)學(xué)中相一致的部分描繪相當(dāng)準(zhǔn)確而精彩；而那些因外表相似而產(chǎn)生的錯(cuò)誤比較，也與他受輝格史學(xué)影響，特別強(qiáng)調(diào)中西代數(shù)學(xué)知識(shí)的相似部分，有著密切關(guān)聯(lián)。

4.2 偉烈亞力的比較數(shù)學(xué)史研究在知識(shí)和宗教上的實(shí)用取向

輝格史觀的另一表現(xiàn)特征是對(duì)當(dāng)下的極大重視。無論是科爾布魯克還是德摩根，都抱有數(shù)學(xué)史應(yīng)為當(dāng)前數(shù)學(xué)研究服務(wù)的實(shí)用取向。因而，德摩根在實(shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)出版物中的數(shù)學(xué)史知識(shí)也成為實(shí)用知識(shí)之一種。具體到深受其影響的偉烈亞力身上，后者的比較數(shù)學(xué)史編撰則兼具知識(shí)實(shí)用和宗教實(shí)用兩重意義。

通過比較中西代數(shù)學(xué)，偉烈亞力認(rèn)為，明清之際耶穌會(huì)傳教士把歐洲的舊代數(shù)法“借根方”傳入中國(guó)時(shí)，“西國(guó)于此術(shù)尚未深焉，殆不及天元、四元”，而到了19世紀(jì)中葉歐洲人“能如此精絕者”，乃是“好學(xué)之效”([20]，序2a頁(yè))。其言下之意，就是說中國(guó)人一向有研究這些學(xué)問的傳統(tǒng)，但耶穌會(huì)士不能把更高級(jí)的科學(xué)知識(shí)帶給中國(guó)人，但以他為代表的新教傳教士通過翻譯近代科學(xué)著作，就能引起他們的興趣，幫助他們發(fā)展新科學(xué)。偉烈亞力在《代數(shù)學(xué)》英文序中寫道：

許多本國(guó)學(xué)者對(duì)天元〔術(shù)〕的使用駕輕就熟，這足以證明他們有把握更精深的數(shù)學(xué)分支的天賦才能；同時(shí)他們近來的一些工作很清楚地顯示，因?yàn)槿狈`活的觀念，他們?cè)诰薮蟮恼系K下苦干。現(xiàn)在的這本譯作擔(dān)負(fù)著一個(gè)期望：通過讓他們掌握一種簡(jiǎn)單的方法，使他們可以發(fā)展出他們的數(shù)學(xué)理念，從而把他們從困難中解放出來；由于他們被迫采用的方法有所不足，這些理念常常不是十分完美地被陳述出來?！?/p>

一本比德摩根著作要簡(jiǎn)單的書無疑已被選擇〔出版〕*指?jìng)チ襾喠λ帉懙摹稊?shù)學(xué)啟蒙》，即文獻(xiàn)[19]。……；但是，本國(guó)學(xué)者們顯示出意欲探究原理并演繹結(jié)果的傾向，據(jù)此，有這一特點(diǎn)的一部作品，可能比許多僅有形式規(guī)則的書，更切實(shí)地有助于向這門科學(xué)的最高級(jí)研究邁進(jìn)；……([33]，iv頁(yè))

正是通過對(duì)歷史上的數(shù)學(xué)與古代和當(dāng)下的歐洲數(shù)學(xué)做出比較，偉烈亞力一方面承認(rèn)了中國(guó)人的數(shù)學(xué)天賦和傳統(tǒng)，另一方面也指出當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)研究的困境，而《代數(shù)學(xué)》的翻譯能夠幫助中國(guó)數(shù)學(xué)研究走出這一困境。這就是他的比較數(shù)學(xué)史在知識(shí)進(jìn)步上的實(shí)用意義。偉氏之所以選擇翻譯德摩根的作品，除了德摩根是著名數(shù)學(xué)家外，還有中國(guó)學(xué)者“意欲探究原理并演繹結(jié)果的傾向”這一重要原因。這是偉烈亞力在輝格式的解釋框架下，以其比較數(shù)學(xué)史觀考察從中國(guó)代數(shù)學(xué)史后，總結(jié)出來的數(shù)學(xué)研究傳統(tǒng)。因而偉烈亞力向中國(guó)引入歐洲近代的代數(shù)學(xué)，與其對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)史的理解是密切相關(guān)的。

實(shí)用的知識(shí)同時(shí)可以轉(zhuǎn)化為新教傳教士們?cè)谌A開展傳教事業(yè)的有利資源。與偉烈亞力同為倫敦會(huì)傳教士的艾約瑟重申了明末清初耶穌會(huì)士所傳播的是過時(shí)的科學(xué)知識(shí)，認(rèn)為“科學(xué)的極大增長(zhǎng)”優(yōu)勝于“中國(guó)學(xué)問中錯(cuò)誤的科學(xué)”，使得基督教徒及其支持者“占有了一個(gè)最有利的位置”，“以更少的困難來說服中國(guó)人放棄其傳統(tǒng)觀念”來應(yīng)對(duì)儒家的攻擊。[42]作為倫敦會(huì)的傳教士，偉烈亞力除了通過描述歷史贊頌現(xiàn)在，他還通過描述數(shù)學(xué)史贊頌上帝。在《略記》的最后，他寫道：

難道我們不希望，如果〔中國(guó)人〕能得到正確的引導(dǎo)，致使他們尋求科學(xué)真理的、別無二致的探尋精神，同樣能教導(dǎo)他們，使他們有所準(zhǔn)備，在一個(gè)更高、更重要的知識(shí)領(lǐng)域進(jìn)行研究嗎？——甚至使他們了解自身，以及他們的存在與上帝之間的關(guān)系——上帝之名他們依然保留，但其知識(shí)已經(jīng)失傳。([5]，194頁(yè))

而在《代數(shù)學(xué)》中文序中，偉烈亞力更明確地指出：

抑余自歐洲航海七萬里來中土者，實(shí)愛中土之人，欲令明耶穌教，以救厥靈焉。夫帝子降世，舍生救民，乃教中至要之道，《圣經(jīng)》言之甚詳。而余顧汲汲譯此書者，蓋上帝賜人以智能，當(dāng)用之務(wù)盡，以大顯于世。故凡耶穌之徒，恒殫其心思，以考上帝精微之理。已知者，即以告人；未知者，益講求之。斯不負(fù)賦畀之恩。若有智能而不用，或用之而不盡，即為自暴自棄，咎實(shí)大焉。此書之譯，所以助人盡其智能，讀此書者，見己心之靈妙，因以感上帝之恩，而思有以報(bào)之。是余之深望也夫。([20]，序2b～3a頁(yè))

韓琦首先注意到這兩段文字，并從中揭示出偉烈亞力一如明清之際的耶穌會(huì)士，以強(qiáng)調(diào)和傳播科學(xué)為手段，實(shí)現(xiàn)他們?cè)谥袊?guó)傳播福音的宗教理想([2]，67頁(yè))。耶穌會(huì)士與偉氏雖然都以科學(xué)作為傳教手段，但他們對(duì)中國(guó)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀的關(guān)注點(diǎn)是不同的。利瑪竇關(guān)注中國(guó)所無：批評(píng)中國(guó)人“沒有邏輯規(guī)則的概念”，“沒有人會(huì)愿意費(fèi)勁去鉆研數(shù)學(xué)或醫(yī)學(xué)”[44]；又認(rèn)為歐洲“格物窮理之法視諸列邦為獨(dú)備”[45]，當(dāng)中最基礎(chǔ)的幾何學(xué)更是中國(guó)所缺乏的，因而翻譯了《幾何原本》。偉烈亞力則關(guān)注中國(guó)與歐洲所共有：認(rèn)為當(dāng)時(shí)歐洲代數(shù)學(xué)所取得的成績(jī)乃由上帝所賜的“智能”所致，通過書寫可與歐洲比肩的中國(guó)數(shù)學(xué)史，他就證明了中國(guó)人同樣是受上帝眷顧而被賜與智能的人([30]，ii頁(yè))，同樣是能發(fā)展出相關(guān)“抽象科學(xué)”*關(guān)于偉烈亞力對(duì)“抽象”一詞的理解和運(yùn)用以及其數(shù)學(xué)史學(xué)含義，見Karine Chemla，“Abstraction as a value in the historiography of mathematics in ancient Greece and China∶A Historical approach to comparative history of mathematics”， forthcoming.的人群。由此，他可以更好地向中國(guó)士人介紹歐洲近代科學(xué)，進(jìn)而讓他們皈依上帝。這是其比較數(shù)學(xué)史在宗教傳播上的實(shí)用意義。

5 余 論

通過以上的分析，我們現(xiàn)在已經(jīng)可以基本明確，英國(guó)德摩根《便士百科全書》數(shù)學(xué)詞條，是偉烈亞力比較數(shù)學(xué)史學(xué)的重要來源。同時(shí)，在撰寫《略記》時(shí)，特別是進(jìn)行代數(shù)學(xué)中西比較的過程中，偉烈亞力很可能在李善蘭的幫助下，主要參考易之瀚和羅士琳的《四元釋例》，形成了對(duì)中國(guó)古算的一些洞見。

《略記》的產(chǎn)生與偉烈亞力隨后一系列數(shù)學(xué)翻譯出版活動(dòng)密切關(guān)聯(lián)。事實(shí)上有一些代數(shù)學(xué)名詞的翻譯，如上文提到的“開方”(evolution)和“乘方”(involution)等，首先就是《略記》在描述中算史時(shí)在《全書》中找到對(duì)應(yīng)的英譯，然后在《代數(shù)學(xué)》的翻譯中直接使用。*關(guān)于《代數(shù)學(xué)》中數(shù)學(xué)名詞的翻譯，參見文獻(xiàn)[43]。另外，關(guān)于未知數(shù)次冪的表示方式，《代數(shù)學(xué)》并未使用拉丁字母上標(biāo)印度- 阿拉伯?dāng)?shù)字的方式，如x3在譯本中表示成“天三”，而后者正是李善蘭《四元解》“算格”中天元位次的表達(dá)方式。

至此，我們還可以引申出另一個(gè)問題：偉烈亞力是在1847年來華前就已經(jīng)學(xué)習(xí)代數(shù)、微積分等近代數(shù)學(xué)知識(shí)，還是來華以后，為了進(jìn)行中西數(shù)學(xué)史的比較才學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)？筆者傾向于后者。從上可知，偉烈亞力的近代數(shù)學(xué)知識(shí)首先來源于《全書》，而《全書》作為一部30卷本的洋洋巨著，他并無必要也無可能記住《全書》中所有的數(shù)學(xué)詞條。更大的可能是，《全書》或其他的西方百科全書，是當(dāng)時(shí)來華傳教士的案頭工具書，他們能根據(jù)需要迅速地從中獲取相關(guān)知識(shí)。*感謝林力娜教授向筆者提示這一十分合理的猜測(cè)。當(dāng)然，偉烈亞力在來華以前也曾努力自學(xué)關(guān)于中國(guó)的知識(shí)[46]([12]，1～3頁(yè))，我們也可以很合理地推測(cè)，他主要是以《全書》以及其他學(xué)會(huì)出版物作為入門的門徑。

理查德·約認(rèn)為，百科全書傳統(tǒng)是中世紀(jì)后期以降的知識(shí)傳統(tǒng)：百科全書包羅上帝的真理，當(dāng)中對(duì)自然界的揭示，正是伽利略所稱的除《圣經(jīng)》外“上帝的第二本書”[47]。因?yàn)閷?shí)用知識(shí)傳播學(xué)會(huì)的影響，偉力亞烈從這“第二本書”中獲得當(dāng)時(shí)最新的數(shù)學(xué)知識(shí)，而同時(shí)又通過比較研究，把中國(guó)古代數(shù)學(xué)納入到這本“書”里面。在這種知識(shí)傳統(tǒng)的引領(lǐng)下，偉烈亞力與中國(guó)學(xué)者合作，產(chǎn)生了眾多影響深遠(yuǎn)的工作。

致謝本文部分內(nèi)容曾分別于2015年6月1日巴黎七大古代世界的數(shù)學(xué)科學(xué)(Mathematical Sciences in the Ancient World)項(xiàng)目討論會(huì)和同年9月11日內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)史大衍論壇上報(bào)告，林力娜(Karine Chemla)、Agathe Keller和郭世榮教授等給予了有益的意見和建議。在論文構(gòu)思和撰寫的過程中，筆者曾與林力娜教授多次討論，獲益良多。牛津大學(xué)博德利圖書館中文部主管何大偉(David Helliwell)先生在我查閱資料的過程中提供了很大幫助。潘澍原博士幫助斟酌用詞和表述。在此向諸位師友謹(jǐn)致謝忱。

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24 楊輝. 詳解九章算法[M]. 影印清“宜稼堂叢書”本//郭書春. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷. 第一分冊(cè). 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 1023.

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30 Edkins J. The Value of Mr. Wylie’sChineseResearches[C]//Wylie A.ChineseResearches. Shanghai, 1897. i.

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32 李善蘭. 代微積拾級(jí)序[A]//[美]羅密士. 代微積拾級(jí)[M]. 偉烈亞力, 李善蘭, 譯. 上海: 墨海書館, 1859. 1a.

33 Wylie A. English preface of the translation of De Morgan’sAlgebra[M]//[英]棣么甘. 代數(shù)學(xué)[M]. 偉烈亞力, 李善蘭, 譯. 上海: 墨海書館, 1859. ii～iii.

34 Brahmegupta and Bhscara.Algebra,withArithmeticandMensuration,fromtheSanscritofBrahmeguptaetBhscara. Colebrooke, Henry T. tran. London: Jonh Murray, 1817. 219.

35 朱世杰. 新編四元玉鑒[M]//宛委別藏. 第69冊(cè). 南京: 江蘇古籍出版社, 1988. 4.

36 朱世杰. 新編四元玉鑒[M]. 清何元錫刻本. 1818～1822. 圖2b.

37 羅士琳. 四元玉鑒細(xì)草[M]. 清“觀我生室匯稿”本. 1839. 圖2b.

38 Richards J L. De Morgan, the History of Mathematics, and the Foundations of Algebra[J].Isis, 1987, 78(1): 17.

39 Butterfield H. Preface[M]//TheWhiginterpretationofhistory. London: G. Bell and sons, reprint. 1959. v.

40 劉兵. 克麗奧眼中的科學(xué): 科學(xué)編史學(xué)初論[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 2009. 36～51.

41 Colebrooke H T. Dissertation[M]//Algebra,withArithmeticandMensuration,fromtheSanscritofBrahmeguptaandBhscara. London: Jonh Murray, 1817. i.

42 Edkins J. The future attitude of China towards Christianity[J].TheChineseRecorder, 1886, 17(11): 413.

43 趙栓林, 郭世榮. 《代數(shù)學(xué)》和《代數(shù)術(shù)》中的術(shù)語(yǔ)翻譯規(guī)則[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版), 2007, 36(6): 687～693.

44 利瑪竇, 金尼閣. 利瑪竇中國(guó)札記[M]. 何高濟(jì), 王遵仲, 李申, 譯. 北京: 中華書局, 1983. 31, 34.

45 利瑪竇. 幾何原本序[C]//郭書春. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷. 第五分冊(cè). 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 1151.

46 Cordier H. Life and Labours of Alexander Wylie[C]//Wylie A.ChineseResearches. Shanghai, 1897. 8～10.

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