潘澍原

(中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190；中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

儀器是科學(xué)活動的必要工具，也是物質(zhì)文化的獨特部分。文藝復(fù)興時期，科學(xué)儀器成為歐洲社會生活中的活躍角色。明季耶穌會士利瑪竇(Matteo Ricci，1552～1610)等輩梯航東來，西學(xué)隨之輸入，三棱鏡、自鳴鐘、天球儀、地球儀、日晷等西洋儀器即在最先展示與介紹之列([1]，89～90，98，109～110頁)，并以新奇的外觀和功能獲得士宦權(quán)貴的關(guān)注與青睞。*科學(xué)儀器亦因此成為耶穌會士交結(jié)通關(guān)的重要手段，特別是萬歷二十八年末利瑪竇等入京貢獻，在數(shù)量有限的上貢方物中就有“自鳴鐘”“玻璃鏡及玻璃瓶”“映五彩玻璃石”“沙刻漏”等多種儀器([2]，20頁)，而調(diào)試自鳴鐘的需求則是他們獲許留居的關(guān)鍵因素([1]，296頁)。嗣后不少士人進一步認識到西來諸器的實際功用，遂與耶穌會士合作譯介其制作、用法、原理等知識，*有關(guān)案例研究，參見文獻[3- 7]。高遠測量儀器就是其中之一。

所謂高遠測量，*“高遠測量”取自康熙時期宮廷稿本《測量高遠儀器用法》書名，鑒于明清之際西方數(shù)學(xué)知識譯介的連續(xù)性，筆者襲用此語。該書承韓琦先生誨示得知，特此致謝。關(guān)于該書，參見文獻[8]，158頁；[9]，24頁；[10]，150頁及同頁腳注①；[11]，267～270頁；[12]，95～105頁。即高程(含高、深)、遠距(含遠、廣、斜)等直線長度的測量(linear surveying)。其就中國古算而言即“句股”“重差”等測望之術(shù)，[13]在西方則是大地測量學(xué)(land surveyinggeodesy)和制圖學(xué)的基本內(nèi)容。西方高遠測量知識源起甚早，希臘—羅馬時期已具備某些基本方法，其后承傳前緒并領(lǐng)受阿拉伯影響而進一步發(fā)展，成為中世紀中期學(xué)者圣維克多的休(Hugh of Saint-Victor，約1096～1141)所設(shè)實用幾何中高程度量(altimetria)和平面度量(planimetria)的主要部分，*實用幾何以測算現(xiàn)實對象幾何度量的操作程序與儀器用法為主要內(nèi)容，其知識傳統(tǒng)萌發(fā)于羅馬時代土地測量員(agrimensor)的工作實踐，休則正式創(chuàng)設(shè)實用幾何學(xué)，以明確區(qū)分于抽象化的理論幾何學(xué)，并將其劃分為高程度量、平面度量、宇宙度量(cosmimetria)三類，參見文獻[14- 17]。關(guān)于歐洲中世紀中期高遠測量知識所受阿拉伯影響的案例研究，參見文獻[18]，363～366頁。及至文藝復(fù)興時期日趨完善。除少許必要的幾何理論之外，這一知識主要就是運用儀器實施測量的具體方法和實際操作，其步驟詳明，推算簡單，因而易于掌握，正合乎晚明社會之需。*西方水準測量、碎部測量等其他測量知識明季亦有傳入，參見文獻[11]，254～257頁。

關(guān)于明季西方高遠測量儀器的引介及其反響，既有研究多集中于“矩度”，對該器的形制、用法、淵源、流播等皆有探討。*李儼、沈康身、吳文俊曾簡述明季西學(xué)著作中的高遠測量知識及其儀器，參見文獻[13]，12～14頁；[19]，40～41頁；[20]，27～28頁。馮立昇較早對明季傳入的高遠測量知識展開具體考察，涉及相關(guān)儀器，白欣在此基礎(chǔ)上作出進一步梳理，參見文獻[11]，244～260頁；[21]，21～24，44～47頁。關(guān)于矩度，馮錦榮考述其形制特征、西方背景及相關(guān)知識在清代的流播與研討；黃一農(nóng)揭示其作為火炮測準技術(shù)的關(guān)鍵儀器在明季兵書中的引介；姚妙峰就其引介的相似文本、具體來源、測量用法、本土接納等方面展開更為細致的考察，參見文獻[22]，185～188頁；[23]，356～370頁；[24]，738～745，759～761頁；[25]；[3]，37～40頁；[26]。然而此類儀器并非“矩度”一種，其相互之間亦存在緊密關(guān)聯(lián)。本文將首先梳理這些儀器在西方的發(fā)展脈絡(luò)，再逐一考察它們在明季西學(xué)著作中的呈現(xiàn)，并結(jié)合具體來源分析它們的引介方式，以期對學(xué)界的現(xiàn)有認知稍作補正；在此基礎(chǔ)上，著重探析《測量全義》所載“小象限”的儀器屬性、制作原理和西方淵源，進而討論其可能的傳播與影響，及其被本土知識接納并相與融合的具體方式。

1 西方高遠測量儀器的主要類別及其源流

1.1 西方高遠測量儀器的兩大類別

按照所需量取對象和相應(yīng)推算方法，西方高遠測量儀器大要可分為兩類。

一類儀器用以量取角度，而以平面三角形解法作相應(yīng)推算。測量高遠時，先令儀器與目標參望相準，而就所成視線和所知、所求線段構(gòu)造平面三角形，再量取形內(nèi)角度，結(jié)合已知邊長，即可利用三角函數(shù)線段長度*迄至17世紀前期,三角函數(shù)普遍采用與設(shè)定半徑長度相應(yīng)的諸線段長度表示。推算所求邊長：或于直角三角形內(nèi)采用正、余弦或正、余切等適當線段，或于一般三角形內(nèi)應(yīng)用對邊與對角正弦成定比的正弦定理。

此類儀器以象限儀(quadrant，拉丁名quadrans，一名四分儀)為典型。它原本用作天體地平高度(角)的觀測，亦即地平垂面的角度測量，后來則發(fā)展出更多功能，分化為數(shù)種類型，在天文、計時、航海、測量等領(lǐng)域均有應(yīng)用。[27- 28]其形制設(shè)計可追溯至希臘化時期天文學(xué)名家托勒密(Ptolemy，約100～約170)的描述，具體實物則在中世紀由阿拉伯人自星盤發(fā)展而來——取星盤四分之一并放大尺度，以便標示更為清晰而細密的弧度劃分，傳入歐洲后見諸斐波那契(Fibonacci，即Leonardo of Pisa，約1170～1240以后)等人的著作(圖1)，*斐波那契最先在歐洲紹述象限儀，其儀器形制見文獻[29]，204～206頁。并隨三角測量(triangulation)方法的普及成為歐洲大地測量所用的主要儀器(圖2)([30]，77～83，165～168頁)。其弧心或安窺衡(alidade，sighting rule)，或系權(quán)線(plumb-line)，窺衡或儀身直邊之上相應(yīng)設(shè)置兩個窺表(sight，亦稱照準器)。使用時，或儀身不動，轉(zhuǎn)動窺衡以準望并讀數(shù)；或轉(zhuǎn)動器身，用其直邊準望而以權(quán)線讀數(shù)。象限儀可直接量取銳角或校正直角，至于鈍角則需通過其余角間接處理，為便于操作，形制增倍的半圓儀和全圓儀也在文藝復(fù)興時期陸續(xù)出現(xiàn)。

圖1 斐波那契向歐洲介紹的象限儀圖示([29]，204頁)

圖2 西方著作所示用象限儀測量高遠([31], De Dimetiendi…，fol.33v)

另一類儀器的直接量取對象或間接處理對象為長度，并以長度比例關(guān)系作相應(yīng)推算。測量高遠時，亦以之參望目標，而就所成視線和所知、所求線段構(gòu)造平面直角三角形，同時構(gòu)造相似的小三角形，再量取小形之上的某邊長度(實際長度或比例長度，詳后)，結(jié)合兩形已知邊長，即可通過相似比例推算所求邊長。

由定長直桿做成的表(staff，拉丁名baculus)是此類儀器的代表。作為西方最為古老而簡易的測量儀器，表起初用于豎立地面成影以確定時日，故也稱影表(shadow staffgnomon)。希臘—羅馬時期，表已普遍用作高遠測量([30]，38～39頁；[32]，24～26頁)，其后一直作為基本儀器承繼沿用。依據(jù)同一時刻物體高度與其日影長度的確定比值，已知表高，量取表影、物影，即推得物高。進而以表端、物端參望，構(gòu)造相似三角形的對邊比例關(guān)系，其視線如光線，目與表、物之間距亦如表影、物影，由此可在豎直平面內(nèi)知遠求高、知高求遠；高、遠俱不知時，則用兩次測量以距差推求。至于地平測遠，亦構(gòu)造相似三角形為法，唯需以四表參望。

圖3 西方著作所示用平面鏡測高與用矩尺測高([33]，fol.15v；[34]，40頁)

平面鏡(拉丁名speculum)和矩尺(拉丁名normagnomon)亦屬此類。兩者原非測量高遠的專門儀器，而是借作此用的簡易工具(圖3)。利用前者的光學(xué)特性和后者的幾何特征參望目標，容易在豎直平面內(nèi)構(gòu)造出適合求解的相似直角三角形。*平面鏡測量用法及其收載著作參見文獻[30]，284～285，315～316頁；矩尺測量用法及其收載著作參見同書289，310～311頁。

1.2 分度測量儀器：一類基于長度比例關(guān)系推算的高遠測量儀器

以上所舉第二類高遠測量儀器表、矩尺、平面鏡等，形制均較為簡單，其本身僅能構(gòu)造相似形，如目與表、人與鏡、矩邊射地點與矩角垂地點等相距長度，則需由尺、繩等另行量取。同屬此類的分度測量儀器則操作便宜，它的出現(xiàn)正是表的測量功用漸續(xù)演進的結(jié)果。為直接量取表影長度或表目間距，乃引入與豎表垂直連接的橫表，由此構(gòu)成組合表(staff combination)。在其初始形式中，兩表固定相接，表端至交接點長度恒定，測量者必須攜之前后移動直至特定位置，方能使兩表表端與目標點參望相準。就此缺陷，又演生出兩種等價的改進方式：

a. 活動調(diào)節(jié)一表位置，至兩表表端與目標點相準，記取另一表的伸出長度；

b. 一表表端連接斜桿，旋轉(zhuǎn)至某處與目標點相準，記取另一表的被截長度。

如此，可在任意位置將實際高遠等所求線段以相同比例轉(zhuǎn)換到尺度較小的儀器之上，轉(zhuǎn)換后的相應(yīng)長度亦可由儀器本身直接量取讀數(shù)([30]，39，63頁)。為進一步簡化計算，又將橫、豎兩表實際長度作每分相等的均勻劃分并刻畫標度和相應(yīng)數(shù)值，由此成為量取分度亦即比例長度的高遠測量儀器，上述兩種改進亦逐步形成此類儀器的兩種典型代表，即十字桿(cross-staff)與幾何矩(geometric square)。

(1)十字桿：縱橫游移讀取分度

十字桿，亦稱雅各布桿(Jacob’s staff，拉丁名baculus Jacobi)或測量桿(拉丁名baculus mensorius)，其主體一般由一支較長的主干(main staff)和一支較短的衡桿(crosspiecevane)垂直交接組成，短衡沿主干方向前后游移，通過衡桿上固定或移動的窺表準望，即可由主干的角度標度量取物體自身或兩物之間的距度(即視角距，angle of sight)，亦或量取物體的地平高度，或由主干的分度標度測算物體的高遠距離(如圖4測量廣度)。其最初樣式系由法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家熱爾松(Levi ben Gerson，1288～1344)發(fā)明，經(jīng)若翰王山即著名德裔天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家雷吉奧蒙塔努斯(Regiomontanus，本名Johannes Müller von K?nigsberg，1436～1476)的簡化，*關(guān)于若翰王山的科學(xué)史跡，參見文獻[35-36]。除天文學(xué)、數(shù)學(xué)的豐碩成果外，王山氏在科學(xué)儀器的發(fā)明、制作方面也十分活躍。他在匈牙利王國期間曾創(chuàng)制一種黃赤轉(zhuǎn)換儀(torquetum)，制作托勒密尺(regula Ptolemaei)即三角儀(triquetum)并論述其高遠測量用法，后更在當時歐洲的金屬加工與儀器制作中心之一紐倫堡設(shè)立專門作坊，制造十字桿、三角儀、渾天儀、日晷、星盤等，而這些儀器對其天文觀測和歷法編制助益良多，參見文獻[36]，98～100，135～140頁；[5]，17～19頁。又，其人漢名以往學(xué)者作“玉山若干(若干玉山)”“玉山王干”([37]；[38]，154～155頁)。2015年4月韓琦先生向筆者指出，“regiomontanus”內(nèi)含“國王”與“山”之意，“玉山”當是“王山”之訛；筆者據(jù)此核查《崇禎歷書》原刻本，其《月離歷指》所及三處分作“王山玉幹”“玉(王)山玉幹”“若翰王山”([39]，卷3，24b頁，27b頁；同書卷4，28b頁)，《西洋新法歷書》本亦同，先生所見甚是，而“若翰”即Johannes之音譯。又查得《古今圖書集成》所收《月離歷指》相應(yīng)三處訛作“玉山王幹”“玉山王幹”“若幹玉山”([40]，歷象匯編·歷法典，卷57，30冊28b，29a頁；卷58，30冊34b頁)，前輩訛誤或最初由此引出。廣泛運用于天文、航海、大地等各類測量活動，成為文藝復(fù)興時期歐洲最為流行的科學(xué)儀器之一([30]，83～87，194～206頁；[41])。

圖4 西方著作所示十字桿及用其測廣([33]，fol.7v， 8v)

(2)幾何矩：旋轉(zhuǎn)游動讀取分度

幾何矩*該譯名承用自馮錦榮，參見文獻[22]，187頁；[25]，151頁。拉丁名quadratum geometricum，意為幾何的方矩，“方矩”是其外形，而“幾何的”在此具體指其用作測量。*quadratum與英文square同義，可專指正方形，亦可指矩尺(carpenter’s square)、三角板(set square)等以矩邊為特征的圖形，該儀器外形雖呈正方，但核心部分是兩邊標示分度的矩尺形。geometricum直譯“幾何的”，在此名中則用其原義“土地測量的”，安國風(fēng)曾指出這一具體意涵，參見文獻[42]，298頁。它初由阿拉伯學(xué)者創(chuàng)制，不久即引進歐洲，收入早期實用幾何著作，*歐洲最早述及幾何矩的著作系《無名氏幾何學(xué)》(Geometria incerti auctoris)([43]，330頁)。該篇早先被歸入熱貝爾(Gerbert d’Aurillac, 約946～1003)名下，后續(xù)研究表明其著作年代應(yīng)稍早于熱氏。奧地利天文學(xué)家普爾巴赫(Georg Peurbach，1423～1461)加以改進并撰作專書解說[44](圖5)以后逐漸流行([30]，75～77頁)，*普爾巴赫將幾何矩用作天文角度的精確觀測，其角度值通過分度測量和正弦表間接獲得，參見文獻[30]，77，150～151頁；[36]，26～27頁。普氏天文學(xué)研究出眾，對相關(guān)儀器亦述論甚多，參見文獻[36]，17～30頁；[45]。值得指出的是，普氏的黃赤交角觀測記錄曾載入《崇禎歷書》，譯名作“褒爾罷”，參見文獻[38]，179頁。普氏亦是前揭若翰王山的親密師友，他們接續(xù)完成的《托勒密至大論概要》(Epytoma…in Almagestum Ptolomei,1496)是文藝復(fù)興時期最重要的《至大論》譯本，利瑪竇曾攜其書入華并作校算筆記，譯撰《乾坤體義》之際甚或參考及此，后《崇禎歷書》介紹的某些托勒密理論也可能據(jù)該書編寫，所稱“王寶翰”者當即二人其一，參見文獻[46]，26～27頁間插圖；[47]，363～367頁；[48]，104，137頁；[49]，311～312頁。學(xué)者著述多有推介，如意大利著名數(shù)學(xué)家、機械學(xué)家塔塔利亞(Niccolò Tartaglia，1499～1557)就曾在《新科學(xué)》(NovaScientia，1537)中詳述其略作改造的儀器形制及多種測量用法。[50]*關(guān)于塔塔利亞的具體述論及該書后續(xù)版本的相關(guān)增補，參見文獻[51]，23- 29頁。吳文俊曾據(jù)文獻[52]認為幾何矩系塔塔利亞為炮兵發(fā)射炮彈而設(shè)計([20]，27，28頁)，然該器并非塔氏原創(chuàng)。

幾何矩主體為一正方形框或板，以一角為樞紐(pivot)，兩對邊作相同分度的均勻劃分及其細分，經(jīng)典分法以12分或24分、60分等較為多見，后期則有10分及100至1000小分等十進分法；再從兩邊各分點向樞紐牽引一段放射狀直線，由此形成兩條標示分度的垂直等長直邊，稱作直影(right shadow，拉丁名umbra rectaumbra extensa)和倒影(contrary shadow，拉丁名umbra versaumbra conversaumbra deiecta)，意即豎表(直表)與橫表(倒表)之影。與象限儀類似，幾何矩也有使用窺衡或權(quán)線的兩種類型([30]，75～76頁)，測量時以窺衡或樞紐鄰邊之上的窺表與目標點參望相準，窺衡或權(quán)線所指直、倒影分度比全表分度即實際高遠相比。如測量塔頂高度(圖6)，塔高(FG)與前距(GH)之比，即全表(12分度)與所得直影(3分度)之比；而塔高與后距(IH)之比，則為所得倒影(10分度)與全表(12分度)之比。*此例選自文獻[53]，24- 25頁。

圖5 普爾巴赫設(shè)計的幾何矩圖示([44]，封面)

圖6 以幾何矩測量塔高([53]，24頁)

(3)影矩：同于幾何矩的儀器組件

作為幾何矩的核心部分，由直影和倒影兩邊構(gòu)成的縱橫等長且均勻標示分度的矩尺形即所謂的影矩(shadow square)*該名馮錦榮曾譯作“日影正方形”“日影測定正方形”([22]，187頁；[54]，183～184頁；[23]，356頁；[25]，155頁)。因該儀器組件呈矩尺形，今據(jù)以改譯為“影矩”，亦與“幾何矩”的譯法保持一致。，在歐洲實用幾何傳統(tǒng)上也被稱為測高標尺(scala altimetra)*該名可見文獻[53]，3頁；[55]，93～94頁邊注；下文所示星盤實物(圖7)。該名與圣維克多的休所設(shè)實用數(shù)學(xué)分類的關(guān)聯(lián)承Jens H?yrup教授指示，筆者由此進一步展開考察，受益尤多，特此致謝。。在幾何矩出現(xiàn)以前，影矩已作為測量高遠的功能組件附載于其他儀器之上，幾何矩則是由其實體化而成的獨立儀器([30]，68～70，75頁)。

影矩最初當系波斯數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家花拉子米(al-Khwārizmī，約780～約850年)在星盤儀母(mater)背面引入，*目前已知最早述及星盤影矩構(gòu)造和用法的阿拉伯著作及其現(xiàn)代譯注，參見文獻[56]，特別是139，141～145，165～166，170～171頁。其中，涉及影矩構(gòu)造的文本是否為花拉子米所作尚無確論。舊說認為首述影矩者系阿拉伯天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家巴塔尼(al-Battānī，約858～929)，參見文獻[30]，68頁。后傳至歐洲，*最早述及以星盤影矩測量高遠的歐洲文獻亦即前揭《無名氏幾何學(xué)》([43]，317～322頁)，文藝復(fù)興時期的經(jīng)典樣式是分別刻畫于儀背下部兩象限中對稱相接的兩個影矩(圖7)，下邊橫者為直影，兩邊豎者為倒影。西式星盤的影矩分法亦如后來的幾何矩多用12分或其倍數(shù)，而阿拉伯傳統(tǒng)的東式星盤的影矩則往往同時設(shè)置12分度與7分度兩種(圖8)。*關(guān)于東式星盤與西式新盤的構(gòu)造特征，參見文獻[57]，19～20頁。另外，也有局限于某象限內(nèi)的單影矩(圖9、圖10)或擴展至全象限的四影矩(圖11)，圣維克多的休還曾描述下部和右上象限三個影矩的樣式(圖12)([14]，194，197頁)。源自星盤的象限儀也往往在弧內(nèi)設(shè)置影矩(圖1、圖13)，而幾何矩流行后也有在其內(nèi)設(shè)置象限弧亦即影矩在象限弧外的相反形制(圖14)出現(xiàn)([30]，79，152，167～168頁)，這種角度與分度測量兼用的組合儀器，亦稱作幾何象限儀(geometric quadrant，拉丁名quadrans geometricus)([28]，42頁)。*文獻[28]將“幾何象限儀”與“幾何矩”視為同一儀器的不同名稱，馮錦榮曾對此予以沿用([22]，187頁；[25]，140～141頁)。筆者傾向于認為任何象限儀都必須包含四分之一圓弧，幾何象限儀只是在普通象限儀或內(nèi)或外加置影矩而已，幾何矩則是影矩的獨立儀器形態(tài)，兩者仍有一定區(qū)別，如費恩(Oronce Finè, 1494～1555)同一部著作內(nèi)既有獨立儀器形態(tài)的幾何矩，也有弧內(nèi)附設(shè)影矩的幾何象限儀(圖13)([33]，fol.3r，6r)。又，安大玉曾將“矩度”(即幾何矩，詳后)對應(yīng)于西方的“四分儀”“幾何測量用の象限儀”“幾何象限儀”“幾何學(xué)的象限儀”([58]，312頁；[59]，138～140，146～147頁)，乃是將quadratum誤認作quadrantum(quadrans的屬格形式)所致，與上述兩名及其區(qū)分無關(guān)。附設(shè)影矩組件的星盤和象限儀同樣具備基于長度比例關(guān)系推算的高遠測量功能，而不必再另行制備和攜帶幾何矩，因而在文藝復(fù)興時期廣泛使用(圖15、圖16)。此外，影矩還以各種樣式設(shè)置于16～17世紀出現(xiàn)的多種新型測量儀器之上，足見其流行普及情勢([30]，180～194頁；[28]，43～45頁)。*該星盤約1500年意大利制，牛津大學(xué)科學(xué)史物館藏，藏品號35146。其影矩內(nèi)標刻名稱Scala Altimetra。圖像截取自：http:www.mhs.ox.ac.ukastrolabecatalogueimageReportAstrolabe_ID=246.html*該星盤伊斯蘭歷996年(15878)波斯制，牛津大學(xué)科學(xué)史物館藏，藏品號52399。圖像截取自：http:www.mhs.ox.ac.ukastrolabecataloguebackReportAstrolabe_ID=170.html*該星盤1558年薩拉戈薩(Zaragosa)制，牛津大學(xué)科學(xué)史物館藏，藏品號48892。圖像截取自：http:www.mhs.ox.ac.ukastrolabecatalogueimageReportAstrolabe_ID=233.html*該星盤約9世紀晚期敘利亞制，牛津大學(xué)科學(xué)史物館藏，藏品號47632。圖像截取自：http:www.mhs.ox.ac.ukastrolabecatalogueimageReportAstrolabe_ID=131.html*該星盤約1600年巴黎制，牛津大學(xué)科學(xué)史物館藏，藏品號35082。圖像截取自：http:www.mhs.ox.ac.ukastrolabecatalogueimageReportAstrolabe_ID=245.html

圖7 西式星盤儀背下部24分度雙影矩②

圖8 東式星盤儀背下部左12分度右7分度雙影矩③

圖9 西式星盤儀背左上象限單影矩④

圖10 東式星盤儀背左下象限單影矩⑤

圖11 西式星盤儀背全象限四影矩⑥

圖12 圣維克多的休設(shè)計的 星盤的三影矩([14]，197頁)

圖13 西方著作所示內(nèi)設(shè)影矩的幾何象限儀([33]，fol.6r)

圖14 西方著作所示外設(shè)影矩的幾何象限儀([53]，3頁)

圖15 西方著作所示用星盤影矩測高處物高([60]，fol.75)

圖16 西方著作所示用象限儀影矩測高([53]，41頁)

2 明季西方高遠測量儀器的引介

西方高遠測量儀器及其使用方法、原理等知識在明季的引進與介紹，*本段僅按時序簡述相關(guān)史跡，具體考證參見筆者博士學(xué)位論文([12]，41～45頁)，詳細闡論另文發(fā)表。始于耶穌會入華早期。萬歷十七年(1589)利瑪竇出離肇慶遷居韶州之初，就曾向韶州同知劉承范等人演示“測地”“測山川河?！敝?，并用其測算光孝寺到皇岡山山頂?shù)木嚯x([61]，5頁)。為宣揚西學(xué)的知識優(yōu)勢以促進傳教，利瑪竇等耶穌會士每每介紹高遠測量儀器，引起中國士人的濃厚興趣，相關(guān)著述陸續(xù)問世。其一是李之藻(1565～1630)就其從利氏所學(xué)“通憲平儀”即星盤(planispheric astrolabe)原理、用法演撰的《渾蓋通憲圖說》(1607)，該書末節(jié)“句股測望圖說”([62]，下卷，42a～50a頁)即簡述利用包括星盤組件影矩在內(nèi)的多種儀器的高遠測量方法([58]，311～312頁；[59]，235～236頁)。其二是利瑪竇、徐光啟(1562～1633)合作譯撰的《測量法義》(約1610)[63]，這部西方測量專論對基于長度比例關(guān)系推算高遠的儀器、方法和原理均有闡述，所附《測量異同》則以“舊篇”與“今譯”“對題臚列，推求異同”([64]，1a頁)。*其后李之藻編纂實用算術(shù)著作《同文算指》(1614)，亦將《測量法義》《測量異同》的內(nèi)容稍加簡易而命作“測量三率法”([65]，1a～11b頁)收入，參見文獻[66]，10～11頁。《渾蓋通憲圖說》測量部分和《測量法義》的解法、用例多相近同([26]，8～10，68～69頁)，最初可能皆是據(jù)利瑪竇在羅馬學(xué)院(Collegium Romanum)研修期間(1572～1577)習(xí)得的知識分別編譯成稿，*安國風(fēng)(Peter M. Engelfriet)首先提出這種推斷，認為后者編自利氏攜至中國的課程筆記的可能性最大，參見文獻[42]，297頁。關(guān)于此推斷的進一步論證，參見文獻[12]，44頁。后期修訂時又或就利氏業(yè)師丁先生即耶穌會數(shù)學(xué)家克拉維烏斯(Christoph Clavius，1538～1612)所著《實用幾何》(GeometriaePracticae，1604)卷3“使用幾何矩的直線測量(Earundem linearum rectarum dimensionem per Quadratum Geometricum exequens)”([55]，92～173頁)有所參考。*因論題方法對應(yīng)明確，學(xué)界一般將丁氏《實用幾何》直接視為《測量法義》和《渾蓋通憲圖說》測量部分的底本，參見文獻[67]；[59]，138～140頁；[68]，44頁。新近研究表明，丁著論題多無具體算例，矩度形制相較《測量法義》亦有重要細節(jié)差異，參見文獻[26]，11～13頁。其三，崇禎初年明廷開局修歷之際，耶穌會士羅雅谷(Giacomo Rho，1593～1638)、湯若望(Johann Adam Schall von Bell，1592～1630)與徐光啟、李之藻等人譯撰的《測量全義》(1630～1631)對西方實用幾何知識作出全面介紹，*《測量全義》屬《崇禎歷書》法原部，崇禎三年(1630)九月譯成2卷，“系臣光啟、臣之藻同陪臣羅雅谷譯撰”；四年(1631)八月10卷編完進呈([69]，346～349，385～386頁)。該書各卷分述“測直線三角形”“測線”“測面”“測體”“測曲線三角形”“測球上大圈”“測星”“儀器圖說”等([70]，測量全義敘目，6a～b頁)，正是當時歐洲實用幾何知識分類的體現(xiàn)。是書原刻本目前僅知兩部殘卷存世，藏法國國家圖書館和韓國首爾大學(xué)奎章閣。本文所涉該書內(nèi)容，一般引用順治二年(1665)《西洋新法歷書》之重修本即文獻[70]，僅第三卷儀器相關(guān)內(nèi)容引用《崇禎歷書》之原刻本即文獻[71]。其第2卷“測線上”摘譯自意大利數(shù)學(xué)家、制圖學(xué)家瑪金尼(Giovanni Antonio Magini，1555～1617)的《論用象限儀與幾何矩的測量方法》(DeDimetiendiRationeperQuadrantem， &GeometricumQuadratum)前3卷，*白尚恕曾考證《測量全義》第1卷和第2卷主要摘譯自“《平面三角測量》(De Plani Triangulis, 1604)”“前部第四、五章”和“后部前三卷”([72]，143，147頁)。今查原書即文獻[31]，內(nèi)含《論平面三角》(De Planis Triangulis)一卷與《論用象限儀與幾何矩的測量方法》(De Dimetiendi Ratione per Quadrantem, & Geometricum Quadratum)五卷兩種，即白氏所謂前、后部分，今用二者原名。兼述以平面三角形解法和長度比例關(guān)系推算為基礎(chǔ)的高遠測量知識，第3卷“測線下”則以數(shù)題增補，并附說儀器制作和使用。

以下分別就前揭各類各種西方高遠測量儀器，列敘明季西學(xué)著述的相應(yīng)介紹與論說。

(1)象限儀*明季西學(xué)著作介紹的天文測量儀器星盤和碎部測量儀器全圓儀亦有角度量取功能([62]，上卷，2b，4a頁；[73]，2b頁；[71]，34b頁)，自然也可用于高遠測量，但原書既未說明，今亦不予列論。

象限儀自耶穌會士入華早期便有攜入、制作和展示([1]，161，244，246頁)，但直至崇禎年間譯撰《測量全義》時才得以圖文解說的形式展開詳細紹述，用以測量高遠者則在該書第3卷。*該書第10卷所述“新法測高儀”六式中的“象限懸儀”“象限立運儀”“象限大儀”([70]，卷10，29a，31a，31b頁)均為天文觀測所用，系自第谷(Tycho Brahe，1546～1601)著作譯撰，參見文獻[72]，158～159頁；[54]，183～187頁；[5]，126～127頁。又，最先對象限儀及其天體地平高度測量功能予以粗略圖文介紹的漢文著作是1593年在菲律賓出版的《辯正教真?zhèn)鲗嶄洝?，參見文獻[25]，138～139頁。其“造象限儀法”依次解說儀身和窺衡制作，其中指明象限弧上標度自兩端“皆可起算，互用之”，而窺衡亦可作兩支，“同心同線，可定可移”([71]，6a～7b頁)，透露出譯撰者注重實際操作便利的用意。“用象限法”則給出該儀利用窺衡與權(quán)線讀數(shù)的操作指南，而就其儀身位置分別稱作“定儀”與“游儀”，并解釋兩者“其理同也”([71]，7b～9a頁)(圖17)。這一兼顧兩類的用法說明十分重要，因為在豎直平面內(nèi)窺望高深時，定、游模式可任作選擇；但若沿地平或斜坡安置儀器，權(quán)線無法指示標度，而只能使用窺衡。事實上，《測量法義》第2卷所有論題統(tǒng)一采用窺衡定儀的方式敘述象限儀的高遠測量方法及具體步驟(如圖18)。

圖17 《測量全義》所示高遠測量象限儀利用窺衡和權(quán)線讀數(shù)([71]，7b，8a，8b頁)

圖18 《測量全義》所示以窺衡象限儀平面測遠(左)和望高測遠(右)([70]，卷2，1a頁，17b頁)

(2)表及平面鏡、矩尺

《渾蓋通憲圖說》《測量法義》皆設(shè)立表因遠測高、因高測遠、因遠測極遠諸題，實與前揭丁先生《實用幾何》卷3用表測量的部分論題相應(yīng)([59]，140頁；[26]，68頁)。這些內(nèi)容顯然與中國傳統(tǒng)立表測望的儀器、方法、理論等極為近似，*吳文俊曾就此認為明季西學(xué)著作相關(guān)論題的解法乃至所用儀器系利瑪竇襲取自中國傳統(tǒng)算術(shù)([20]，27～28頁)，丁氏《實用幾何》等西方著作所述諸題足證其論未允。然吳氏觀點實際蘊含古代世界知識交流的問題意識，即當時西方高遠測量知識本身在此前歷史上曾否受到中國古算同類知識特別是“重差”的影響，而后者又如何輾轉(zhuǎn)西傳等等，仍待深入討論，參見文獻[18]。李之藻、徐光啟在譯介時徑以“表”名其器，乃是合乎情理的自然之舉。而通過兩相比較，徐氏亦在《測量異同》中指明用表測量的傳統(tǒng)中法與新譯西法相同([64]，1b，2b，4a頁)。

平面鏡和矩尺亦為《渾蓋通憲圖說》《測量法義》所載述，前者用以測高，后者用以測遠([62]，下卷，46a，49b～50a頁；[63]，17a～b，20b頁)(圖19)，較丁氏著述所論不同情形([55]，160～163，153～154頁)(圖20)為簡?！稖y量全義》第3卷“增題二”“矩尺測量法”則有測高、測遠、測深三種([71]，3b～4a頁)(圖21)。

圖19 《渾蓋通憲圖說》《測量法義》所示用用矩尺測遠和平面鏡測高([62]，下卷，46a頁；[63]，20b頁)

圖20 丁氏《實用幾何》所示用單、雙平面鏡測高與用矩尺測遠、測高([55]，160,162，154頁)

圖21 《測量全義》所示用矩尺測高、測遠、測深([71]，3a，3b，4a頁)

(3)“古弧矢儀”與橫豎游移“方木表”：十字桿及其測量高遠的簡易形制

明季引入的西方高遠測量儀器以直接量取分度者為最大一端。*中國古代觀測天體位置的渾儀即是分度測量儀器，其直接量取對象是各圈環(huán)分度即均分設(shè)定圓周所得的比例長度，以其測天的實質(zhì)是同心圓周上對應(yīng)弧長的同比例放大，參見文獻[74]；[75]，95～104頁。其中，十字桿的介紹見于《測量全義》第10卷“儀器圖說”，計有“古弧矢儀”“弧矢新儀”“弩儀”三種([70]，卷10，13a～19b，34b～37a，37a～b頁)，所言形制、用法甚詳。*此三種不同樣式十字桿的簡要分析，參見文獻[5]，116～120頁。本文僅對與高遠測量有關(guān)的“古弧矢儀”稍作述論，三儀的形制特點、技術(shù)細節(jié)及其西方背景和具體來源將另文探討，此不贅論。其“古弧矢儀”(圖22)作法曰：

儀有七物，干一，衡一，管一，窺表四。……衡之長，當干之長二十分之九?！膳c衡各先為一管，……干管置下，衡管置上，各以其一端縱橫相切，镕金合之。干管之上端加窺表一，橫之兩端各定置一窺表，別作一游表加于衡，可離可合，轉(zhuǎn)移用之。兩管之旁各作螺柱，每移管至其所欲至，則旋螺而止之。([70]，卷10，14a～b頁)

從中可見此儀長干、短衡垂直交接且可活動調(diào)節(jié)等諸特征，正與十字桿相合。其后“分法”，所稱“橫之一面二百平分之，用元度以加于干之同方面，四百平分之”([70]，卷10，14b頁)，即以相同分度均分干與衡。又后“用法”，起首即謂“此儀之用有二，一以測日月星之高度、距度，歷學(xué)所用；一以測高深廣遠，地學(xué)所用”，而注稱“測地法，略見第三卷增題”([70]，卷10，15b頁)。*同篇又稱“此儀于地學(xué)中，用測高深廣遠，為徑捷法”([70]，卷10，18b頁)。查考同書第3卷“增題四”“量高遠深”所用之器(圖23)：

用方木表，承以鼎足之跗，垂權(quán)取直。表端以下一尺或五寸，用一十或一百平分之，下作方孔，長寸許、廣三分，貫以橫表，游移無定，亦以十或百平分之，縱橫作直角。

欲以測高，則“丙上立表，橫表游移，令丁、戊、乙為直線”，得“丁己若干分與己戊一百分若丁庚與乙庚”([71]，5a頁)。依此判斷，其橫表乃是橫向左右游移，相當于古弧矢儀的主干，而保持固定的豎表則如其短衡。此器又可“用重表”作前后兩次測量以“無高求遠”(圖24，西方著作同類論題如圖25)，而在“高上測高，用重表再測”即高低兩次測量的情形中，則需“定表橫用，游表直用”([71]，5b頁)。這種可活動調(diào)節(jié)的橫豎組合表，依據(jù)兩表表身之上均勻標示的分度進行比例測算，可視為十字桿用作高遠測量的一種簡易形制。

圖22 《測量全義》所示古弧矢儀([70]，卷10，13a頁)

圖23 《測量全義》所示橫豎游移組合表及其測高([71]，5a頁)

圖24 《測量全義》所示用橫豎游移組合表重表無高求遠([71]，5b頁)

圖25 西方著作所示用十字桿兩次測量推求樓高([76]，fol.30v.)

(4)“矩度”：幾何矩

幾何矩是明季西學(xué)著作紹述最多的高遠測量儀器，《測量法義》《測量全義》兩部測量專書先后皆有詳論，而名曰“矩度”。此名早在萬歷三十一年(1603)徐光啟向上海知縣劉一爌呈送簡明技術(shù)報告《量算河工及測驗地勢法》時即已行用，*該文原載《農(nóng)政全書》，題名“玄扈先生量算河工及測驗地勢法”，題下注“萬歷癸卯送上海劉邑候”([77]，18a頁)。王重民最早注意此篇，將之收入徐氏文集，并強調(diào)其研究價值，參見文獻[69]，57～62頁；[78]。“上海劉邑候”即劉一爌，任上曾建龍華港閘，徐氏該篇或為此作，參見文獻[69]，62頁；[79]。篇中如“用矩度對準人足或記處，看在直景何度何分，用地平測遠法算得河面闊處”([77]，19a頁；[69]，58頁)等內(nèi)容與《測量法義》論題多有相關(guān)，當是萬歷二十八年(1600)徐氏在南京初會利瑪竇之際所獲，*馮立昇首先指出該篇包含矩度及其測量方法等西方知識來源，后馮錦榮推斷徐光啟約自南京結(jié)識利瑪竇起習(xí)得“西方普通測量學(xué)”要旨，姚妙峰指明篇中某些方法與《測量法義》論題的關(guān)聯(lián)，但前兩者將篇中多數(shù)方法歸于中國傳統(tǒng)測量，后者亦將“重矩、重表勾股量高法”與《測量異同》第6題所述舊法對應(yīng)，恐非允當，參見文獻[11]，211～213，235頁；[23]，356頁；[24]，738～739頁；[26]，21頁?！熬囟取敝g應(yīng)出自其手筆。

《測量法義》首節(jié)“造器”(圖26)正式介紹幾何矩的制作方法：

用堅木版或銅版，作甲乙丙丁直角方形。以甲角為矩極，作甲丙對角線。次依乙丙、丙丁兩邊各作相近兩平行線。次以乙丙、丙丁兩邊各任若干平分之，從甲向各分各作虛直線，而兩邊之各外兩平行線間則作實線，如上圖，即外兩線間為宗矩極之十二平分度也；其各內(nèi)兩平行線間，則于三、六、九度亦作實線，以便別識。([63]，1b～2a頁)

所謂“矩極”即樞紐，“外兩平行線”間實線即直影、倒影標度。又有設(shè)“通光竅”之窺表，用以“審定度分”之權(quán)線([63]，2a頁)。次節(jié)“論景”，論說直、倒二影的來源，*介紹西方圭表測影的《表度說》對直影、倒影的基本原理亦有詳細解說([80]，12a～15a頁)。又，《測量全義》“圭表儀”稱直影為“正景”([70]，卷10，48b頁)。并指明矩度“傍通光耳之分度邊為直景，而對通光耳之分度邊為倒景”([63]，5b～6a頁)。這些述論與丁先生《實用幾何》“幾何矩的構(gòu)造(Quadrati Geometrici constructio)”([55]，93～96頁)(圖27)一節(jié)內(nèi)容大致相同，唯兩處存在細節(jié)差異*此兩處差異均系姚妙峰首先指出，參見文獻[26]，12頁。：丁氏已將影邊改作10分，*“ANTE PONO autem diuisioni consuetae in 12.vel 720.vel 1200.partes diuisionem nostram in partes 10. vel 100. vel 1000. aequales, propterea quod, si instrumentum propter paruitatem sectum sit tantummodo in 10.”([55]，94頁)而《測量法義》則仍用傳統(tǒng)的12分；丁書圖示形制兼有權(quán)線和窺衡，即所謂“垂懸矩與固定矩”(quadratum pendulum， ac stabile)([55]，94頁)，而《測量法義》僅介紹前者，也就將儀器使用范圍限制在垂直平面內(nèi)。

圖26 《測量法義》所示矩度([63]，1b頁)

圖27 丁氏《實用幾何》所示幾何矩([55]，93頁)

《測量全義》在主要介紹使用象限儀的高遠測量方法以外，也述及幾何矩用法，所論“用矩度者，以器上小形，當所測大形也”([70]，卷2，4b頁)，可謂其測量原理的精要概括。第3卷“造矩度法”稱“角止作心，加窺衡、加權(quán)線任用”，一體說明兩種儀器類型，而“定儀于立邊書高深，平邊書遠；游儀于表旁邊書遠，對邊書高深”，即分說兩者的直、倒二影位置，蓋以“遠”為直影，“高深”為倒影。為兼顧地平遠距測量，書中著重介紹窺衡式矩度(圖28)，其“各邊作一百分，每對邊分以直線相聯(lián)成網(wǎng)目形”([71]，9a～b頁)。這一非典型形制亦在西方淵源有自，如西爾維奧·貝利(Silvio Belli，約1520～約1579)的幾何矩設(shè)計[81](圖29)就與之近同。*貝利的幾何矩主體正方板各邊分作30分，對邊每5分度相連成網(wǎng)狀，參見文獻[30]，154頁。

圖28 《測量全義》所示窺衡矩度([71]，9a頁)

圖29 貝利的固定幾何矩設(shè)計([81]，5頁)

(5)“方儀”與“矩度”約法：星盤與象限儀上的影矩

由于使用便利，作為儀器組件的影矩也在明季引介入華?！稖喩w通憲圖說》專論星盤，述及雙影矩形制和用法，上卷“總圖說”的“儀之陰”即儀背部分謂中央“下截方儀以句股測遠近高深”([62]，上卷，3b頁)，下卷“句股弦度圖說”更詳說其制(圖30)：

法：取儀背地平線下半規(guī)為半方形，兩角對樞心各作一斜線曰弦，以為句、股相交之限，在下者曰句，在側(cè)者曰股。以望高若深為大股率，取儀小股準之，以望遠若近為大句率，取儀小句準之，皆據(jù)瞡筩以定其度。凡二股、二弦、一句，其句勻分二十四度，其兩股各勻分十二度，而每度之中又各勻為十二分，每停共一百四十四分。如不能細分，則刻作三分或五分、七分，舉其大略亦可，但每畫皆宗樞極。凡有所測，以筩對影，而審察其度云。([62]，下卷，24a～b頁)

比照該書底本丁氏《論星盤》(Astrolabium)的相應(yīng)部分，其半方形的“方儀”即影矩(scala altimetra)，而“瞡筩”即可于盤心旋轉(zhuǎn)、指示讀數(shù)的窺衡 (mediclinium)。[82]橫在下端的直影與豎于兩側(cè)的倒影則分別以傳統(tǒng)算學(xué)的句、股命之，其書李氏自序所謂“間亦出其鄙谫會通一二，以尊中歷”([62]，渾蓋通憲圖說自序，4b頁)的編撰旨趣由此可見一斑。*李之藻將《測量法義》的矩度介紹收入《同文算指》之際，在沿用譯名“直景”“倒景”的同時，也將其另稱作“句景”“股景”([65]，2a頁)，參見文獻[26]，26頁。中國古代算學(xué)直角三角形直角邊命名方式有兩種，或橫者為句，縱者為股，或短者為句，長者為股，李氏所用為前者。至于象限儀上的影矩樣式，則包含在《測量全義》第3卷“造矩度法”中，其“約法”(圖31)謂“象限弧之內(nèi)空作矩度，其窺衡指線上分即矩度邊之分，是指線當權(quán)線也，為用殊大”([71]，9b頁)，即在象限儀弧邊之內(nèi)另作影矩與儀同心，并借其窺衡為用，作為矩度的簡約形式。

圖30 《渾蓋通憲圖說》所示平儀儀背下部方儀([62]，下卷，24b頁)

3 圓邊幾何矩：“小象限”及其西方淵源

前揭《測量全義》第3卷所附的儀器制作與使用解說，白尚恕認為“可能是參考有關(guān)論著自行編寫的”([72]，148頁)，但未給出具體來源?！霸煜笙迌x法”“造矩度法”所示明確，已見前述，而“造小象限法”具體何指，則有待考證。

3.1 “小象限”：形制、用法與屬性

圖32 《測量全義》所示 “小象限”([71]，10b頁)

就名稱而言，“小象限”應(yīng)與象限儀有關(guān)。《測量全義》“造象限儀法”題注曰：“篇中或省曰象限，或曰儀”([71]，6a頁)。依此，“小象限”當是“小象限儀”的省稱，似是一種體型較小的象限儀。然而，書中對該儀器(圖32)的具體描述卻非如此：

正方版一角為心，作象限之弧，弧外兩邊二平分之，又三平分之，至四、至五、六、七、八、九、十各平分，用界尺從心至各分為界，弧上作疏密線，線以內(nèi)書各分。其弧外余板去之。加權(quán)線，與矩度同用。

用法 以表向物如前，遇權(quán)線截弧表之旁，則高多遠少；截表之對邊，則高少遠多。如截表旁為二分，則遠一高二；截五分，則遠一高五。反之，則高一遠二、高一遠五。說見二卷矩度法中。

又法：以甲乙邊當一百，依前法，分乙戊弧為一百不平分。若權(quán)線至己，則股一百句五十也；至辛，則股一百句一十也。轉(zhuǎn)用之，權(quán)線至庚，則甲丁股一百句五十也。([71]，10b～11a頁)*引文第2段內(nèi)“高一遠五”，原作“遠一高五”，顯誤，今據(jù)意校正。

該儀器在正方板上作象限弧，且“弧外余板去之”，實與象限儀外形一致，但又“與矩度同用”。以上考察表明，象限儀與矩度一量角度、一量分度，功能差異十分顯著?！靶∠笙蕖毕笙藁∩纤鳌笆杳芫€”即“不平分”的標度，乃是相對于象限儀象限弧上的均分弧度標度而言，故非量取角度之用，而所謂“遠一高二”“股一百句一十”等，顯然是據(jù)所測分度推得的實際高遠比例，由此判斷，該器當屬于矩度即幾何矩。

3.2 從矩邊向弧邊投射：“小象限”的制作方式

“小象限”既是幾何矩之一種，其弧邊非均分標度如何表示原矩邊之上的分度？同一象限弧之上又如何區(qū)分“弧表之旁”與“表之對邊”？考察其具體作法“用界尺從心至各分為界，弧上作疏密線”，并結(jié)合圖示尋繹，可知所謂“疏密線”是弧心與弧外原有兩直邊諸均勻分點的連線在象限弧之上的相應(yīng)痕跡，也就是說，“小象限”的標度實際是弧外直邊分點在弧邊的投射(projection)，弧外直邊均勻分布的分度標度由此對應(yīng)轉(zhuǎn)換為弧邊疏密不一的分度標度。因此，雖然該器器身僅保留象限弧，卻可由權(quán)線所指弧邊標度“與矩度同用”，而所謂“弧表之旁”與“表之對邊”即對應(yīng)于窺表旁邊的直影和窺表對邊的倒影的兩條半象限弧。

“小象限”的構(gòu)造方式自有其西方背景。象限儀與幾何矩皆具一直角，窺望、讀數(shù)等使用方式一致，自然生發(fā)出合二者為一體的設(shè)計取向，前揭?guī)缀蜗笙迌x即其典型。但幾何象限儀只是將兩種儀器的外形予以簡單組合，而“小象限”則是以象限儀的形態(tài)實現(xiàn)幾何矩的功能，其中的設(shè)計思想與技術(shù)關(guān)鍵就在于均分點投射的方法。事實上，中世紀阿拉伯學(xué)者在星盤之上引入影矩后不久，就已使用該法加以改進：或無限延長直邊并按原有分度續(xù)作劃分和標示，再以其各分點向弧邊投射(圖33)，如此可以直接讀取足夠大的直影分度而毋須通過倒影分度換算；或在象限弧內(nèi)、影矩外作斜線，再以直影、倒影各分點投射其上(圖34)，如此可以放大兩影邊起始部分以便作出清晰的細分標度而獲得更為準確的讀數(shù)([30]，69～70，72～73頁)。比照上述兩種方式，即可看出“小象限”從矩邊直、倒二影向弧邊投射的技術(shù)與設(shè)計傳統(tǒng)所在。

圖33 影矩分度投射一([30]，69頁，F(xiàn)igure 27)

圖34 影矩分度投射二([30]，73頁，F(xiàn)igure 29)

3.3 阿皮安及其發(fā)明的象限儀：“小象限”的歐洲來源

“小象限”的形制可以追溯到德意志天文學(xué)家、制圖學(xué)家阿皮安(Peter Apian，1495 ～ 1552)的設(shè)計發(fā)明與相關(guān)著作。阿氏活躍于文藝復(fù)興盛期，長期在因戈爾施塔特(Ingolstadt)任數(shù)學(xué)教授，論著頗豐，其《宇宙學(xué)之書》(CosmographicusLiber，1524)[83]為一時經(jīng)典，經(jīng)修訂、轉(zhuǎn)譯后更在歐洲廣泛流傳。[84]正是在該書中，阿氏將近代制圖學(xué)奠基于數(shù)學(xué)理論與測量實踐之上([30]，110頁)。*1533年，荷蘭探險家、制圖學(xué)家、數(shù)學(xué)家弗里修斯(Gemma Frisius, 1508～1555)在安特衛(wèi)普第2次為阿皮安出版《宇宙學(xué)之書》時，將自著Libellus de locorum describendorum ratione附后，其中首次提出通用的三角測量方法，成為此后歐洲大地測量的理論先聲，參見文獻[30]，110頁；[85]。他在天文、測量儀器上也有諸多創(chuàng)新與改進工作，“小象限”即與其中一種象限儀有關(guān)?！栋⑵ぐ蔡煳南笙迌x：最近發(fā)明而現(xiàn)在首次發(fā)行》(QuadransApianiAstronomicusetIamRecensInventusetNuncPrimumEditus， 1532)6章[86]是介紹該器的專書，其增補本《儀器之書》(InstrumentBuch，1533)8卷[87]則以德文刊行。書中所示象限儀正面(圖35)畫有功能不一的諸多組件，最外層為均勻標示0 ～ 90遞增弧度數(shù)值的象限弧(FG)，而相鄰的另一象限弧(HI)自兩端至中心雙向標示0 ～ 100遞增數(shù)值，與窺表相近、相遠的兩端還分別書有“VMBRA·RECTA”“VMBRA·VERSA”字樣([86]，fol.A3r；[87]，fol.A3r)，對應(yīng)解說又稱其用作高遠測量([86]，fol.A3v，Propositio Tertia)，由此可知此弧即影矩，依其外形可稱作圓邊影矩(circular shadow square)([30]，166頁)。這種變體形式的影矩也正是此象限儀設(shè)計的重要創(chuàng)新之處，阿皮安在書中專辟一卷具體介紹其各類測量方法(圖36)([86]，fol.D1v～E3r；[87]，

圖35 阿皮安的象限儀([86]，fol.A3r)

圖36 用阿皮安象限儀之圓邊影矩測高(前直影75分度，后倒影40分度)([86]，fol.D2r)

fol.E3r～G2v)。今以“小象限”與之比觀，兩者形態(tài)、功能一致，故阿皮安發(fā)明的設(shè)有圓邊影矩的象限儀，應(yīng)即《測量全義》中“小象限”的最初原型。唯后者雖仍以“象限”名之，但器身之上并無一般象限儀的弧度標度，而只設(shè)圓邊影矩，因而成為形如象限儀而用如幾何矩的獨立儀器，比于圓邊影矩，可稱作圓邊幾何矩。

值得指出的是，阿皮安慣于在儀器設(shè)計中使用投射方式。如《宇宙學(xué)之書》中用于天體觀測的十字桿的角度標度，系象限弧弧度均分點沿半徑線向主干直邊投射而成([83]，fol.30～32)(圖37)，這種從圓邊向直邊的投射正與“小象限”相反，前述《測量全義》古弧矢儀主干“以度分分之”“一法”([70]，卷10，14b～15a頁)(圖38)即與之類似。*但所用兩者所用投射方式不盡相同，尚有一定差別。

圖37 阿皮安《宇宙學(xué)之書》所示天體觀測用十字桿主干角度標度投射方式([83]，fol.32)

圖38 《測量法義》所示古弧矢儀主干“度分”分法([70]，卷10，13b頁)

阿皮安設(shè)計的影矩形制曾有相當?shù)挠绊?，如意大利科學(xué)巨匠伽利略(Galileo Galilei，1564 ～ 1642)所作比例規(guī)(geometric and military compass)，其兩規(guī)腳之間的象限弧(圖39)上亦采用這種圓邊影矩。*伽利略對其比例規(guī)象限弧上圓邊影矩的描述與用法介紹見《幾何與軍事用規(guī)的操作方法》(Le operazioni del compasso geometrico et militare)“Diversi Modi per Misvrar con La Vista”部分([88]，fol.23v～34r)。比例規(guī)器形圖示未載該書意大利文初版(1606)，而首見于拉丁文初版(1612)，圖39截取自意大利文再版(1649)([89]，附圖頁)。又，Stillman Drake曾認為此設(shè)計是將塔塔利亞的幾何矩改方為圓的結(jié)果，參見文獻[52]，107～108頁。伽利略的比例規(guī)著作與阿皮安的《儀器之書》均曾入藏北堂(編號1655，3886)[90]，《測量全義》的“譯撰”者羅雅谷與“同訂”者湯若望([71]，題名頁)分別系意大利和德意志人，應(yīng)當熟悉前兩者的著作，圓邊影矩應(yīng)是經(jīng)由其手采譯、撰述，成為《測量全義》所引介的高遠測量知識的一部分。*伽俐略所作比例規(guī)使用時象限弧弧背向下，而此象限弧圖示弧背向上，故標度數(shù)字皆倒置。

圖39 伽利略比例規(guī)的象限弧([89]，附圖頁)①

3.4 百分度與整比值：“小象限”的兩種標度方式

前引“小象限”的描述中，存在兩種不同的弧邊標度。其一如“又法”所言，“以甲乙邊當一百，依前法，分乙戊弧為一百不平分”，即將原弧外兩直邊均分為100分，再將分點投射于弧邊，所得圓邊影矩的直影、倒影標度呈兩邊對稱、中間密而兩端疏的非均勻分布，數(shù)值自兩端0遞增至中心100。這一標度方式與前述阿皮安象限儀和伽利略比例規(guī)的圓邊影矩設(shè)計完全一致，乃是依原矩邊直、倒二影100分分度轉(zhuǎn)換而得。

至于另一種標度方式，則須首先將“弧外兩邊二平分之，又三平分之，至四、至五、六、七、八、九、十各平分”，但象限弧上的標度具體如何，《測量全義》言之未詳，相應(yīng)“用法”則稱：“如截表旁為二分，則遠一高二；截五分，則遠一高五?！睋?jù)此推斷，弧邊標度“二分”“五分”應(yīng)與原直影邊二分之一點和五分之一點相對應(yīng)，而此種標度的完整制作過程應(yīng)當是：對弧外原有兩直邊作2等分、3等分至10等分，將其中首個等分點即1/2、1/3…1/10各點次第取出，再將它們及兩直邊交點(起始點)投射于象限弧上。所得標度同樣呈對稱分布，但中間疏而兩端密，數(shù)值自中心1向兩端遞增至10(10處并非端點)。這種標度便于直接讀取高程與遠距之比(倒影反之)，但由于整比標度之間的部分無法或不便讀取，精確性則遠遜于前者。我們亦可在當時的歐洲儀器上看到這種設(shè)計的實際應(yīng)用，如一具1676年英國制象限儀正面，就有自中心向兩端由疏漸密分布標度的象限弧(圖40，雙箭頭弧線所示)，并標寫數(shù)字1、2、3、4、5、10等，1～5各標度之間尚有1/4、1/2與3/4細分標度；*英國國家海事博物館(The National Maritime Museum)藏，藏品號NAV1036。參見文獻[91]。而一具1614年德國制星盤，其儀背影矩直影除原有的12分以外，上方也刻有數(shù)值1 ～ 6的整比標度(圖41)。*俄國冬宮隱士廬博物館(The State Hermitage Museum)藏，收藏號ЭРТх-1262。該星盤為彼得大帝(Tsar Peter I, 1672～1725)幼年習(xí)用之物，參見文獻[92]。兩種標度方式的特點可總結(jié)如下(表1)。

表1“小象限”象限弧的兩種標度方式

標度方式標度數(shù)值內(nèi)涵標度數(shù)值范圍標度數(shù)值遞增方向等隔標度分布特征附注百分度原直、倒影分度值雙向0～100從兩端向中間遞增兩端舒中間密0為兩端標度整比值表與直、倒影比值雙向1～10從中間向兩端遞增中間疏兩端密10非兩端標度

4.1 《度測》：陳藎謨的高遠測量專論

《度測》三卷，約成于崇禎十三年(1640)，今有抄本傳世([95]，40～41頁)。*除李儼原藏抄本即文獻[96]外，另一抄本藏臺灣“國家圖書館”，參見文獻[97]，17頁。在自敘中，陳藎謨首述古代算學(xué)源流，并特別強調(diào)《周髀算經(jīng)》的經(jīng)典地位；次謂明代算學(xué)日漸衰微，儒士罔聞而難知，繼而稱：

泰西來賓，斯學(xué)始備，大方家多傳之，徐玄扈先生有《測量法義》《句股義》。是《周髀》者，句股之經(jīng)；《法義》者，句股之疏傳也。……謨爰撰茲編，首詮算經(jīng)，次臚諸法，合古今而淺言之，出以己意，發(fā)凡繪圖，庶幾《周髀》大彰，《法義》彌著，以便有志經(jīng)濟之習(xí)之者。([96]，291～292頁)

推崇《周髀算經(jīng)》的同時，陳氏亦充分肯定《測量法義》的價值，將這一西學(xué)著作為前者的重要解說，希冀以西方數(shù)學(xué)羽翼傳統(tǒng)算術(shù)，而裨益實學(xué)，經(jīng)濟時世。*應(yīng)予特別指出的是，這種認知態(tài)度和學(xué)術(shù)策略與此后的“西學(xué)中源”尚有相當?shù)牟顒e。是故全書三卷，上卷疏解《周髀》首章，“使學(xué)者溯矩度之本，其來有自，以證泰西立法之可據(jù)”([96]，330頁)，并闡述矩度形制及相關(guān)原理和算法；中、下兩卷則在《周髀》“用矩之道”即“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”([98]，10a頁)的框架下，加入“弦矩以見廣”([96]，387～409頁)，討論各類矩度測量方法([26]，28～32頁)。

陳藎謨對中西學(xué)術(shù)平衡、會通的態(tài)度，時人多有推重，如清初歷算大家梅文鼎(1633 ～ 1721)作為其晚輩曾有詩贊曰：“耆儒推槜李，能兼兩法并，《象林》存古占，西測詳縱衡”，并注稱“槜李陳獻可先生年過八十，著述甚富，余惟見《象林》《度算》二書及所制矩度器，皆精核無倫?！盵99]可見陳氏德望素隆，其所著書與所制器并行于世，頗具聲譽。

4.2 “菴矩度”：結(jié)合矩度和“小象限”的獨特設(shè)計

圖42 陳藎謨對《測量法義》所載矩度形制的改造([96]，333頁)

事實上，《崇禎歷書》的主體部分至崇禎七年末(1635初)已陸續(xù)刊出([95]，33～34，36～37頁)，而這些書籍或其知識內(nèi)容完全可能借由教會、家族、師友等人脈網(wǎng)絡(luò)，以傳閱、抄錄等方式為留心西學(xué)的士人及時接觸和掌握。如崇禎十一年(1638)二月前，薄玨(活躍于崇禎間)、魏學(xué)濂(1608～1644后)等就已在毗接秀水的同府嘉善縣閱讀、研習(xí)《崇禎歷書》中的核心天文歷法理論，并撮抄、匯集、演撰成相關(guān)著作。[101]陳藎謨也很有可能在崇禎十三年之前通過其師友如黃道周、方以智(1611～1671)等人獲讀包括《測量全義》在內(nèi)的《崇禎歷書》或其部分內(nèi)容，從而將“小象限”的形制與功能融入到他對“泰西矩度”增改之中。

4.3 雙向詮釋：陳藎謨對“小象限”的接納方式

矩之內(nèi)體，毀方而為圓，信圓之周則成句；矩之外體，破圓而為方，展方之匝則成股，肖大圓、大方四象之一也。趙君卿曰：“體方則度景正，形圓則審實難。蓋方者有常，而圓者多變，故當制法而理之?！苯翊司囟?，蓋盡方圓之法矣。([96]，334頁)

此中言及的方圓之辨，乃是中國古代算學(xué)傳統(tǒng)的經(jīng)典話題，而《周髀算經(jīng)》首章商高答周公問則是其重要淵源之一。如前所論，《度測》全篇實以彰明《周髀》古義為宗旨，此番詮釋就是一例。其首句化用自趙君卿注“數(shù)之法出于圓方”之說，所謂：

圓徑一而周三，方徑一而匝四。伸圓之周而為句，展方之匝而為股，共結(jié)一角，邪適弦五，此圓、方、邪徑相通之率，故曰數(shù)之法出于圓方。([98]，1a頁)

如此一來，矩度內(nèi)外的圓方之形與作為測望基礎(chǔ)的勾股之論就得以相互聯(lián)系。次句則明引趙注，意欲說明將影矩標度引線至象限弧的作用——按陳氏之意，方圓各邊分點之間的投射與相連似與“方者有常，而圓者多變，故當制法而理之”若合符契。但所謂“制法而理之”，是以方理圓，本應(yīng)有圓曲在先，而后以方應(yīng)之，陳氏在矩邊內(nèi)增添圓弧的作法恰與此相反。更重要的是，這段趙注本是為《周髀》原文“方數(shù)為典，以方出圓”而作，其下接續(xù)言道：

理之法者，半周、半徑相乘，則得方矣。又可周、徑相乘，四而一。又可徑自乘，三之，四而一。又可周自乘，十二而一。故圓出于方。([98]，10b頁)*注意此中“半周、半徑相乘，則得方矣”之“方”當解作圓形之積，而非方形?？肌毒耪滤阈g(shù)》“圓田術(shù)”，“半周、半徑相乘，得積步”下劉徽注曰“按：半周為從，半徑為廣，故廣、從相乘為積步也”([102]，20頁)，即圓半周、半徑各當方形長、寬以入于方田術(shù)之意，因稱其積為“方”。承林力娜(Karine Chemla)教授就此為筆者指明解惑，特此致謝。

所言均是圓形面積算法。是故趙注的“制法而理之”，意在為“形圓”者“審實”，即推求圓積，陳氏所釋意涵顯然與之相遠。

5 余 論

總結(jié)以上考察可知，西方高遠測量儀器的主要類型均已在明季引介入華(表2)，既有幾何矩、象限儀等專門儀器，也有平面鏡、矩尺等簡單用具；既有表這樣的古老用具，也有圓邊影矩這樣的新近發(fā)明。其中一項顯著差異是，配合平面三角形解法推算的角度量取儀器只有象限儀，而基于長度比例關(guān)系推算的儀器則種類豐富，兼有樣式變化，直接讀取比例長度的分度測量儀器則是其主體，并在最先引介之列。后者雖器形新異而引人注目，其原理卻契合中國古代測望學(xué)說依賴比例計算的知識傳統(tǒng)，易為受眾接受和研習(xí)。事實上，隨著三角學(xué)知識的傳播，西方17世紀開始的大地測量活動越來越趨向于使用象限儀作角度測量，幾何矩及作為儀器功能組件的影矩則日益失其流行之勢([30]，154頁)。然而同一時期明季高遠測量儀器的引介卻仍以后者為重點，至于象限儀則要等到清康熙年間用以實施全國大地測繪[103- 104]并將相關(guān)知識系統(tǒng)編纂入《數(shù)理精蘊》之后，才逐漸獲得實質(zhì)性的接受。這一現(xiàn)象充分表露出來華耶穌會士在引介西方知識時有意適應(yīng)乃至迎合中國本土傳統(tǒng)的精心考量與積極努力。

表2 明季引介的西方高遠測量儀器(或儀器功能組件)

《測量全義》第3卷介紹“小象限”，雖形如象限儀，卻用如幾何矩，以所測分度推算實際高遠距離。它通過投射方式將幾何矩的矩邊標度轉(zhuǎn)換至象限儀的弧邊之上，成為幾何矩的一種變體，而很可能源自阿皮安設(shè)計發(fā)明的象限儀上設(shè)置的圓邊影矩或類似設(shè)計。當時歐洲正處于新知新見不斷涌現(xiàn)的科學(xué)革命時期，來華的耶穌會士們在以經(jīng)典理論為總體框架輸入西學(xué)的同時，也往往努力將歐洲最新發(fā)展的知識零星地予以介紹，“小象限”就是這類介紹的一個典型案例。

明季傳入的西洋儀器亦引起中國士人的關(guān)注與興趣，掌玩其器、研習(xí)其說成為知識界的一時風(fēng)尚。崇禎末年，嘉興儒士陳藎謨設(shè)計的內(nèi)含象限弧且弧線標度與矩邊標度對應(yīng)相連的矩度樣式，很可能直接受到《測量全義》“小象限”的啟發(fā)。另一方面，他積極推闡中國傳統(tǒng)算學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》的注釋文句，賦予自己的矩度樣式以合乎經(jīng)典古義的解釋。我們可以由此審視明季輸入的西學(xué)知識對晚明學(xué)者的實質(zhì)影響，以及他們在舊有學(xué)術(shù)傳統(tǒng)中接納這些新知的態(tài)度、策略與具體方式。

致謝本文系據(jù)筆者博士學(xué)位論文部分章節(jié)增訂而成。論文撰寫和修改過程中，業(yè)師韓琦先生給予悉心指導(dǎo)和具體意見，Jens H?yrup教授、林力娜(Karine Chemla)研究員各就相關(guān)疑難問題作出解答，周維強副研究員、孫承晟副研究員提出諸多中肯建議，謹此并致謝忱。

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