匡婷++葛雙林

二項(xiàng)分布是對只有兩個互斥結(jié)果且成功概率恒定的隨機(jī)事件規(guī)律性描述的一種概率分布，也是超幾何分布的極端情況. 本文從二項(xiàng)分布的定義入手，對二項(xiàng)分布的常見題型進(jìn)行盤點(diǎn)，并對二項(xiàng)分布與其他分布易混淆處展開辨析，以期能幫助同學(xué)們深入地認(rèn)識和理解二項(xiàng)分布.

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用的常見題型

在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件[A]發(fā)生的次數(shù)為[k]，在每次試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生的概率為[p]，那么在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]恰好發(fā)生[k]次的概率[P（X=k）][=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）]. 此時稱隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布，記作[X]～[B（n，p）]，并稱[p]為成功概率.

1. [n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生[k]次的概率

例1 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件[A]至少發(fā)生一次的概率為[6364]，則事件[A]恰好發(fā)生一次的概率為（ ）

A. [14] B. [34] C. [964] D. [2764]

解析 設(shè)事件[A]在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為[x]，由題意得，[1-C33（1-x）3=6364]，則[x=34]. 則事件[A]恰好發(fā)生一次的概率為[C13×34×（1-34）2=964].

點(diǎn)評 二項(xiàng)分布的前提是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“至多”“至少”問題和在排列組合中一樣，一般都需分類處理，若正面的情況較多，可考慮逆向思維法.

2. 二項(xiàng)分布的期望與方差

例2 已知隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布[B（n，p）]，若[E（X）=30]，[D（X）=20]，則[p=] .

解析 由題意得，[E（X）=np=30，]且[D（X）=][np（1-p）][=20]，解得，[p=13]. 故應(yīng)填[13].

點(diǎn)評 若離散型概率分布被定位為二項(xiàng)分布，就可以直接利用公式[E（X）=np， D（X）=np（1-p）]求得.

3. 二項(xiàng)分布的分布列

例3 為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個數(shù)分別占總數(shù)的[12，13，16].現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè)，記[ξ]為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求[ξ]的分布列.

解析 記第[i]名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件[Di，i=1，2，3].

由題意得，[D1]，[D2]，[D3]相互獨(dú)立，且[P（Di）=12+16=23].

所以[ξ]～[B（3，23）]，即[P（X=k）=Ck3（23）k（1-23）3-k]，[k=0，1，2，3].

故[ξ]的分布列是

[[ξ] 0 1 2 3 [p] [127] [29] [49] [827] ]

點(diǎn)評 本例中，表面上試驗(yàn)有三種結(jié)果，仔細(xì)想想：若記選擇基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程為事件[Di]的話，[Di]要么發(fā)生，不發(fā)生就是選擇民生工程，其實(shí)只有兩個結(jié)果，則[ξ]服從二項(xiàng)分布. 一般來說，判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，主要看以下幾點(diǎn)：（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；（3）每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；（4）隨機(jī)變量是這[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).

4. 兩點(diǎn)分布

例4 若隨機(jī)變量[X]服從兩點(diǎn)分布，且[P（X=0）=0.8，][P（X=1）=0.2，]令[ξ=3X-2]，則[P（ξ=-2）=] .

解析 當(dāng)[ξ=-2]時，[X=0]，則概率為0.8.

點(diǎn)評 兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一個特例，是當(dāng)[n=1]時的二項(xiàng)分布，其中[PX=1]是成功概率.

不“明顯”的二項(xiàng)分布

例5 某中學(xué)在運(yùn)動會期間舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的. 已知小明每次投籃投中的概率都是[13]. 求小明在4次投籃后的總得分[ξ]的數(shù)學(xué)期望.

解析 由題意得，[ξ]的可能取值為0，2，4，6，8.

則[P（ξ=0）=234=1681]；

[P（ξ=2）=C14×13×233=3281]；

[P（ξ=4）=C24×132×232=827]；

[P（ξ=6）=C34×133×23=881]；

[P（ξ=8）=134=181].

所以[ξ]的分布列為：

[[ξ] [0] [2] [4] [6] [8] [p] [1681] [3281] [827] [881] [181] ]

則[Eξ=83].

點(diǎn)評 本題還可以設(shè)投籃命中的次數(shù)為[η]，即先研究4次投籃命中的次數(shù)，符合二項(xiàng)分布的定義，即[η]～[B（4，13）]，則[E（η）=4×13=43.]又得分[ξ=2η]，由公式[E（aη+b）=aEη+b]可求出[Eξ=2Eη=83]. 這樣做可以大大減少運(yùn)算量.

被“錯認(rèn)”的二項(xiàng)分布

例6 甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為[3∶2]，比賽時均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為（ ）

A. [C23353×25] B. [C23352×23]

C. [C34353×25] D. [C34233×13]

解析 甲打完4局勝，則要求第四局是甲勝，前三局中甲勝2次，應(yīng)選擇A.

點(diǎn)評 在研究二項(xiàng)分布求概率時，除注意事件的獨(dú)立性之外，還要注意恰有[k]次發(fā)生與有指定哪幾次發(fā)生的區(qū)別. 本題很容易被誤認(rèn)為二項(xiàng)分布，導(dǎo)致錯選C.

不能不說的“二項(xiàng)分布與超幾何分布”

例7 某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查某社區(qū)人們的幸福度. 現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）：

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).

（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸?！? 求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?

（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記[ξ]表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求[ξ]的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析 （1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75.

（2）設(shè)[Ai]表示所取3人中有[i]個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件[A]，

則[P（A）=P（A0）+P（A1）=C312C316+C14C212C316=121140].

（3）[ξ]的可能取值為0，1，2，3.

[P（ξ=0）=（34）3=2764]； [P（ξ=1）=C13×14×（34）2=2764]；

[P（ξ=2）=C23（14）2×34=964]； [P（ξ=3）=（14）3=164].

所以[ξ]的分布列為

[[ξ] [0] [1] [2] [3] [P] [2764] [2764] [964] [164] ]

故[Eξ][=0×2764+1×2764+2×964+3×164=0.75].

點(diǎn)評 二項(xiàng)分布與超幾何分布是很容易弄混淆的兩種分布，一般來說超幾何分布和二項(xiàng)分布有如下區(qū)別：（1）“不放回”抽取是超幾何分布，而“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)）是二項(xiàng)分布. （2）對于超幾何分布，需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要. 若特意強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)很大或者有“將頻率當(dāng)作概率”這樣的描述，則是二項(xiàng)分布.