“統(tǒng)計(jì)與概率”，我們勢在必得

伍銀平

統(tǒng)計(jì)與概率在中考的選擇題、填空題和解答題中都有可能出現(xiàn)，主要考查統(tǒng)計(jì)、概率的概念和一些簡單的計(jì)算.

例1（2016·鹽城）下列調(diào)查中，最適宜采用普查方式的是（ ）.

A.對我國初中學(xué)生視力狀況的調(diào)查

B.對量子科學(xué)通信衛(wèi)星上某種零部件的調(diào)查

C.對一批節(jié)能燈管使用壽命的調(diào)查

D.對“最強(qiáng)大腦”節(jié)目收視率的調(diào)查

【分析】調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析.普查結(jié)果準(zhǔn)確，所以在要求精確、難度相對不大、實(shí)驗(yàn)無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式，當(dāng)考察的對象很多或考察會(huì)給被調(diào)查對象帶來損傷破壞，以及調(diào)查經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都非常有限時(shí)，普查就受到限制，這時(shí)就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查.

解：對初中學(xué)生視力狀況的調(diào)查，人數(shù)太多，調(diào)查的工作量大，適合抽樣調(diào)查，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對量子科學(xué)通信衛(wèi)星上某種零部件的調(diào)查，關(guān)系到量子科學(xué)通信衛(wèi)星的運(yùn)行安全，必須全面調(diào)查，故B選項(xiàng)正確；對一批節(jié)能燈管使用壽命的調(diào)查具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對“最強(qiáng)大腦”節(jié)目收視率的調(diào)查，人數(shù)較多，不便測量，應(yīng)當(dāng)采用抽樣調(diào)查，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故本題應(yīng)選B.

【點(diǎn)評】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考察的對象的特征靈活選用.一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查；對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查，往往選用普查.

例2（2016·福州）下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布：

年齡（歲）頻數(shù)1 3 5 1 4 1 5 1 5 x 1 6 1 0 -x

對于不同的x，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（ ）.

A.平均數(shù)、中位數(shù) B.眾數(shù)、中位數(shù)

C.平均數(shù)、方差 D.中位數(shù)、方差

【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.

解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10-x=10，則總?cè)藬?shù)為：5+15+ 10=30，故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為：（14+14）=14歲，即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，故選B.

【點(diǎn)評】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計(jì)量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出樣本總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

例3（2016·巴中）下列說法正確的是（ ）.

A.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，5點(diǎn)朝上是必然事件

B.審查書稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用抽樣調(diào)查法

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩(wěn)定

D.擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為

【分析】由隨機(jī)事件和必然事件的定義得出A錯(cuò)誤；由統(tǒng)計(jì)的調(diào)查方法得出B錯(cuò)誤；由方差的性質(zhì)得出C正確；由概率的計(jì)算得出D錯(cuò)誤.

解：擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，5點(diǎn)朝上不是必然事件，是隨機(jī)事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；審查書稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用全面調(diào)查法，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩(wěn)定，選項(xiàng)C正確；擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為，不是，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了求概率的方法、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、方差的性質(zhì)以及隨機(jī)事件與必然事件.熟記方法和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

例4（2016·廣州）某個(gè)密碼鎖的密碼由三個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是0～9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，只有當(dāng)三個(gè)數(shù)字與所設(shè)定的密碼及順序完全相同時(shí)，才能將鎖打開.如果僅忘記了所設(shè)密碼的最后那個(gè)數(shù)字，那么一次就能打開該鎖的概率是（ ）

【分析】最后一個(gè)數(shù)字可能是0～9中任一個(gè)，總共有十種情況，其中開鎖只有一種情況，利用等可能事件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

解：∵共有10個(gè)數(shù)字，∴一共有10種等可能的選擇，∵一次能打開鎖的只有1種情況，∴一次能打開該鎖的概率為.故選A.

【點(diǎn)評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

例5（2016·臺(tái)灣）甲箱內(nèi)有4顆球，顏色分別為紅、黃、綠、藍(lán)；乙箱內(nèi)有3顆球，顏色分別為紅、黃、黑.小賴打算同時(shí)從甲、乙兩個(gè)箱子中各抽出一顆球，若同一箱中每球被抽出的機(jī)會(huì)相等，則小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率為（ ）.

【分析】畫出樹狀圖，得出共有12種等可能的結(jié)果，顏色相同的有2種情形，即可得出結(jié)果.

解：樹狀圖如圖所示：

共有12種等可能的結(jié)果，顏色相同的有2種情形，故小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率.故選B.

【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合于兩步或兩步以上完成的事件.注意概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

例6（2016·北京）調(diào)查作業(yè)：了解你所住小區(qū)家庭5月份用氣量情況.

小天、小東和小蕓三位同學(xué)住在同一小區(qū)，該小區(qū)共有300戶家庭，每戶家庭人數(shù)在2-5之間，這300戶家庭的平均人數(shù)為3.4.

小天、小東、小蕓各自對該小區(qū)家庭5月份用氣量情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，繪制的統(tǒng)計(jì)表分別為表1、表2和表3.

表1 小天抽樣調(diào)查小區(qū)4戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表（單位：m3）

表2 小東抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表（單位：m3）

表3 小蕓抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表（單位：m3）

根據(jù)以上材料回答問題：

小天、小東和小蕓三人中，哪一位同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況，并簡要說明其他兩位同學(xué)抽樣調(diào)查的不足之處.

【分析】這是一道解答題，它涉及抽樣調(diào)查、分析數(shù)據(jù)以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的觀念來解決問題的能力.

解：小天調(diào)查的樣本容量較少；小東抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)中，家庭人數(shù)的平均值為（2×3+3× 11+4）÷15=2.87，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了平均人數(shù)3.4，所以他的數(shù)據(jù)抽樣有明顯問題；小蕓抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)中，家庭人數(shù)的平均值為（2×2+3×7+4×4+ 5×2）÷15=3.4，說明小蕓的抽樣數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，因此小蕓的抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況.

【點(diǎn)評】統(tǒng)計(jì)思想與統(tǒng)計(jì)觀念是解決這類問題的關(guān)鍵，而平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)等知識是解決這類問題的基礎(chǔ).

例7（2016·蘇州）在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字-1、0、2，它們除了數(shù)字不同外，其他都完全相同.

（1）隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出標(biāo)有數(shù)字2的小球的概率為________；

（2）小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，請用樹狀圖或表格列出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)（包括邊界）的概率.

【分析】本題已明確是求等可能事件的概率，因此，可用等可能事件的概率公式進(jìn)行求解.

解：（1）從布袋中摸出一個(gè)小球，小球標(biāo)有的數(shù)字可能出現(xiàn)的結(jié)果有3種，即-1、0、2，并且它們出現(xiàn)的可能性相等.恰好為標(biāo)有數(shù)字2的小球（記為事件A）的結(jié)果有1種，所以P（A）=

（2）小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可用下列樹狀圖表示：

由樹狀圖可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)的結(jié)果有9種，即（-1，-1）、（-1，0）、（-1，2）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，-1）、（2，0）、（2，2），并且它們出現(xiàn)的可能性相等.點(diǎn)M恰好落在正方形網(wǎng)格內(nèi)（包括邊界）的結(jié)果有6種，即（-1，-1）、（-1，0）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，0），所以P（M）=

【點(diǎn)評】概率求解題，關(guān)鍵是要把它設(shè)置成等可能下的概率事件，然后用枚舉的方法，可用樹狀圖，有時(shí)也可用表格把所有等可能事件的結(jié)果表示出來，并找出符合題目要求的情況，最后運(yùn)用等可能概率的計(jì)算公式求出結(jié)果.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）