舒純軍+廖紅艷

【摘要】本文討論了多方過程的定義，以及與準靜態(tài)過程的關系；然后推導了理想氣體多方過程方程；最后分析了在T-S圖中，理想氣體四個等值過程和一般的多方過程曲線的特點。與多方過程的P-V圖相比，T-S圖更加直觀地反應了多方過程中能量的變化規(guī)律，同時根據P-V圖也很容易計算出熱機效率和制冷系數。

【關鍵詞】多方過程 準靜態(tài)過程 T-S圖 多方指數

一、引言

多方過程在很多領域中都有十分重要的應用價值。比如在氣象學、熱工學中的過程基本上都是多方過程。但是對多方過程的定義，不同教材[1，2]和文獻[3，4]里并不完全相同。在大多數物理學教材中的定義是：如果在某一過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)參量 和 滿足：

常量 （1）

其中多方指數n為常數，此過程稱為多方過程。大多數教材都是在討論熱力學第一定律的應用（主要是應用于氣體，特別是理想氣體）時引出的多方過程，因而通常就把研究對象局限于氣態(tài)；其實，對于系統(tǒng)的其它聚集狀態(tài)，也同樣存在著多方過程。

有一些教材定義的多方過程為滿足（1）式，但將多方指數n局限于取1與 （絕熱指數，即定壓熱容量與定容熱容量之比）之間的數值，這樣準靜態(tài)的等壓過程和準靜態(tài)的等容過程都不是多方過程。另外一些教材，將“在過程中外界和系統(tǒng)之間有熱交換的過程”（甚至包括非靜態(tài)過程）都稱為多方過程。還有一些教材，將“系統(tǒng)的熱容量為常量的過程”稱為多方過程；事實上，等熱容量過程和多方過程是兩個不同的概念。

二、多方過程和準靜態(tài)過程

根據“ 常量”的定義，對于多方過程所經歷的任意一個中間狀態(tài)而言，其狀態(tài)參量P和V都有確定的值，是平衡態(tài)，因此多方過程必定是準靜態(tài)過程；但是準靜態(tài)過程中的狀態(tài)參量P和 V不一定都滿足關系式“ 常量”，因而準靜態(tài)過程不一定是多方過程。所以多方過程只是準靜態(tài)過程的特例。

但是無限小的準靜態(tài)過程又都是無限小的多方過程[5]。對于任意一個準靜態(tài)過程，都可以視為是許多個甚至無窮多個連貫的無限小的準靜態(tài)過程組成的；一個準靜態(tài)過程，即便不是多方過程，但也可以看成是許多個無限小的多方過程（其多方指數n是可以不相等的）組成的。所以準靜態(tài)過程又具有多方過程的某些屬性，可以利用多方過程的這些性質來研究討論這些準靜態(tài)過程的問題。

三、理想氣體多方過程的過程方程

對于多方過程，用狀態(tài)參量“ 常量”表示其過程方程，并用P-V狀態(tài)圖來描述是很常見的[1，5]；但是用狀態(tài)參量T，S，和T-S狀態(tài)圖來研究多方過程并不多見。下面以理想氣體為例，推導用狀態(tài)參量T，S來表示多方過程的過程方程。

假設系統(tǒng)為1mol的理想氣體，多方過程中的熱容量為Cm，如果系統(tǒng)的溫度升高dT，則系統(tǒng)吸收的熱量為 ，根據熵的微分形式[6] 可得

（2）

熱容量通常情況下都是溫度T的函數，當溫度變化不大時，可將理想氣體的熱容量當成是一個與溫度無關的常量，積分可得

（3）

其中T0和Sm0為系統(tǒng)初態(tài)的溫度和熵， 。（3）式就是所求的用溫度T和熵S表示的理想氣體多方過程的過程方程。

根據文獻資料[6]，理想氣體的多方指數n與摩爾熱容量Cm的關系如下：

（4）

絕熱指數γ表示定壓熱容與定容熱容之比。將（4）式代入（3）式，整理得

（5）

則在T-S圖中多方過程曲線的斜率為： （6）

四、理想氣體多方過程T-S圖的特點

理想氣體多方過程的T-S圖，如右圖所示，假設P點代表系統(tǒng)的初態(tài)，過P點的等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）將T-S圖分成4個區(qū)域。在區(qū)域①和③內的多方過程曲線的斜率為正，表示系統(tǒng)吸收熱量，溫度升高；而在區(qū)域②和④內的多方過程曲線的斜率為負，表示系統(tǒng)放出熱量時，溫度反而升高。

而區(qū)域①和③，又被等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）分成了三個區(qū)域，分別記為a，b，c?，F在以區(qū)域③為例加以討論：

⒈ 等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）都是具有指數規(guī)律的曲線，等容線的斜率為 ，比等壓線的斜率

大，參見表1，從T-S圖上也能直觀地看到這一點。這也可以從物理本質的角度加以分析，當理想氣體系統(tǒng)（1mol）從P點代表的初態(tài)出發(fā)，分別經過等壓過程和等容過程使其溫度T降低1K時，根據熱力學第一定律 得，等壓過程放出的熱量 （Cp，m），要比等容過程放出的熱量（Cv，m）多R，這些多放出的熱量來自外界對系統(tǒng)所作的功（系統(tǒng)體積減小， ），而內能的減少卻是相同的。曲線下面的面積就代表在該過程中理想氣體放出的熱量，由圖中也能看出等壓線下方的面積比等容線下方的面積大。

⒉ 等溫線（n=1）的斜率為 ，絕熱線（n=γ）的斜率為 ，參見表1，分別是平行于橫軸和縱軸的直線。

⒊ ，多方過程曲線介于等壓線（n-0）和等容線（n=±∞）之間，也即位于 區(qū)，當系統(tǒng)從 點代表的初態(tài)出發(fā)經多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ， ， ，此過程要比等容過程多放出一些熱量，這多放出的熱量來自外界對系統(tǒng)所作的功（系統(tǒng)體積減小），因而 ，dV<0。即系統(tǒng)放出的熱量，來自系統(tǒng)內能的減少和外界對系統(tǒng)所作的功，熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為正是相符的。

⒋ ，多方過程曲線介于等壓線（n=0）和等溫線（n=1）之間，即位于b區(qū)，與a區(qū)的分析討論類似。系統(tǒng)放出的熱量，來自內能的減少和外界對系統(tǒng)所作的功，外界對系統(tǒng)作的功比等壓過程更多，熱容量 ，曲線的斜率介于 。

⒌ ，多方過程曲線介于絕熱線（n=γ）和等容線（n=±∞）之間，即位于c區(qū)，當系統(tǒng)從P點代表的初態(tài)出發(fā)經多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ， ， ，該過程要比等容過程少放出一些熱量，但內能減少卻是相等的，少放出的這部分熱量用于系統(tǒng)對外界作功（系統(tǒng)體積增大），因而

， 。即系統(tǒng)減少的內能，用于系統(tǒng)放出的熱量，以及系統(tǒng)對外界作的功，熱容量 ，與曲線的斜率 （ ）為正是相符的。

在區(qū)域④內， ，多方過程曲線介于等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）之間。系統(tǒng)從P點代表的初態(tài)出發(fā)經多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ，而 ， ，即吸收熱量，內能減少，根據熱力學第一定律 ，因而

， 。即系統(tǒng)對外界作的功（系統(tǒng)體積膨脹），一部分來自系統(tǒng)內能的減少，另一部分來自系統(tǒng)吸收的熱量，因而熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為負是相符合的。

以上詳細討論了多方過程曲線位于區(qū)域③、④內的變化過程中能量轉變的特點，而在區(qū)域①、②內的過程與其變化方向恰好相反，此處不再一一描述。

以上即為理想氣體系統(tǒng)多方過程 圖的特點。相比于P-V狀態(tài)圖，T-S狀態(tài)圖更加直觀地表示了多方過程中能量變化的特點；另外，根據T-S圖也更為容易地計算出循環(huán)過程中熱量的變化，熱機的效率，以及制冷系數。

參考文獻：

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程？熱學[M].高等教育出版社，1999.

[2] 張三慧.大學物理學學（第二版），第二冊.北京：清華大學出版杜.1999.

[3] 嚴子浚.多方過程的基本特征[J].大學物理，1995.14（12）.

[4] 吳劍鋒.多方過程的TS方程及T-S曲線[J].大學物理，1996.15（10）.

[5] 高崇伊，朱琴.多方過程的定義及其和準靜態(tài)過程的關系[J].大學物理，2006.25（2）：13-15.

[6] 汪志誠.熱力學？統(tǒng)計物理（第五版）[M].北京：高等教育出版杜.2013.

重慶三峽學院第七屆教學骨干項目。

作者簡介：舒純軍（1974--），男，重慶萬州人，碩士，副教授，主要從事《大學物理》、《熱力學與統(tǒng)計物理學》等課程的教學和研究工作。