田 沛， 劉昭麟， 張立峰

(1.河北省發(fā)電過程仿真與優(yōu)化控制工程技術(shù)研究中心，河北 保定 071003;2.華北電力大學(xué) 自動化系，河北 保定 071003)

基于CS-GPSR的電容層析成像圖像重建算法*

田 沛1,2， 劉昭麟2， 張立峰2

(1.河北省發(fā)電過程仿真與優(yōu)化控制工程技術(shù)研究中心，河北 保定 071003;2.華北電力大學(xué) 自動化系，河北 保定 071003)

提出將基于壓縮感知(CS)理論的稀疏梯度投影(GPSR)算法應(yīng)用于電容層析成像(ECT)圖像重建過程中。采用離散Fourier變換(DFT)基將原始圖像灰度信號進(jìn)行稀疏化處理；將ECT靈敏度矩陣的各行按隨機順序進(jìn)行排列，得到ECT系統(tǒng)觀測矩陣，同時將測量電容向量的各行按相同順序進(jìn)行排列，得到觀測投影向量；使用GPSR算法進(jìn)行圖像重建。仿真實驗結(jié)果表明:基于CS理論的GPSR(CS-GPSR)算法重建圖像質(zhì)量明顯優(yōu)于LBP算法和Landweber迭代算法。本文所述算法可實現(xiàn)較高精度的圖像重建，為ECT圖像重建的研究提供了一種新的手段。

電容層析成像； 圖像重建； 壓縮感知稀疏梯度投影

0 引 言

電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)技術(shù)發(fā)展于20世紀(jì)80年代，它基于電容敏感機理對工業(yè)管道中多相流體進(jìn)行在線監(jiān)測，具有非輻射、非侵入、結(jié)構(gòu)簡單、安裝攜帶方便、成本低、響應(yīng)速度快等優(yōu)點，為化工、石油、電力、能源等現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中多相流體的在線測量提供了新的手段[1]。

典型16電極ECT系統(tǒng)成像過程為：數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)產(chǎn)生一定頻率的正弦電壓信號并將其傳送至傳感器陣列的激勵電極；電極陣列通過測量不同電極對之間的電容值獲得測量投影信號；圖像重建單元運用某種圖像重建算法將管道截面處介電常數(shù)分布圖像由測量投影信號重建出來。

目前ECT圖像重建算法可分為非迭代算法和迭代算法兩大類[2]。非迭代算法，如線性反投影算法，簡單快速，但重建圖像精度太低，無法滿足工業(yè)要求；迭代算法，如Landweber算法，重建圖像精度較高，但其收斂速度慢，影響成像的實時性。

2004年，Donoho D L和Candès E等人提出了壓縮感知(compressed sensing，CS)理論[3]，它突破了傳統(tǒng)采樣定理對信號帶寬的限制，通過極少量的采樣數(shù)據(jù)即可高精度地重建出原始信號，為信號采集技術(shù)帶來了革命性的突破。該理論提出：若信號在某個變換域內(nèi)是稀疏的或可壓縮的，便可以使用與稀疏基不相關(guān)的隨機觀測矩陣對原始信號進(jìn)行投影得到低維測量信號。通過求解最優(yōu)化問題就能將原始信號從低維測量信號中精確重建。目前，CS理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于壓縮成像、雷達(dá)、通信、醫(yī)療成像等諸多領(lǐng)域。

本文提出將基于CS理論的稀疏梯度投影算法(CS gradient projection for spare reconstruction,CS-GPSR)應(yīng)用于ECT圖像重建過程中,使得重建圖像更加接近于原始圖像。

1 CS原理簡介

CS的前提條件是信號具有稀疏性或者可壓縮性[4]，而實際信號往往并非稀疏信號。為了使其滿足CS理論，尋找一組合適的正交變換基，對信號進(jìn)行正交變換，使其成為稀疏信號或可壓縮信號。

(1)

式中Ψ為N×N維正交基，ΨN×N=[ψ1ψ2…ψN]；s為N×1維的系數(shù)向量。當(dāng)s僅有K?N個非零系數(shù)時，信號x在變換基Ψ上是稀疏的，稀疏度為K。

常用的稀疏基有：離散Fourier變換基(DFT)、離散余弦變換基(DCT)、離散正弦變換基(DST)、離散小波變換基(DWT)等。

CS的核心是線性測量過程，設(shè)計合適的觀測系統(tǒng)對原始信號x進(jìn)行線性觀測。通過對信號x進(jìn)行投影得到測量投影向量y，即

y=Φx=ΦΨs=Acss

(2)

式中 y為M×1維的觀測向量；Φ為M×N維的觀測矩陣，且M < N。令A(yù)CS=ΦΨ，稱ACS為CS矩陣。

對于給定的y從式(2)中求出x是一個線性規(guī)劃問題，由于觀測信號y維數(shù)M小于原始信號x維數(shù)N，使得方程(2)為欠定方程，通常無確定解。但通過使用K稀疏的先驗條件，方程(2)便有望求解。

由CS理論知，當(dāng)CS矩陣ACS滿足限制等距條件[5](restricted isometry property，RIP)時，便可運用多種CS重建算法將s的K個非零系數(shù)從M個測量值中準(zhǔn)確重建，同時保證重建過程收斂。RIP條件的等價條件是觀測矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關(guān)[6]。文獻(xiàn)[7]指出，當(dāng)使用高斯隨機矩陣作為觀測矩陣，任意正交基作為稀疏基時，觀測矩陣和稀疏基不相關(guān)，ACS可在較高概率下滿足RIP條件，從而使得欠定方程(2)得以求解。

利用信號稀疏或可壓縮的先驗條件，最直接的方法是采用最小L0范數(shù)模型求解CS信號重構(gòu)問題

xopt=Ψsopt

(3)

但由于L0范數(shù)具有非凸性，直接求解式(3)的數(shù)值計算極不穩(wěn)定而且是NP困難問題[8]，故各種替代模型及其對應(yīng)的CS重建算法相繼被提出[9]，典型算法如凸松弛(最小L1范數(shù))算法、貪婪算法、迭代閾值算法、最小全變差算法等。

2 基于CS理論的ECT圖像重建

離散Fourier變換(DFT)基對于二值圖像信號的稀疏效果較好，可用作ECT系統(tǒng)的稀疏基，對重建圖像灰度信號進(jìn)行稀疏化處理，即

g=ΨFFTs

(4)

式中g(shù)為N×1維重建圖像灰度向量；ΨFFT為N×N維快速Fourier變換(FFT)基；s為N×1維K項稀疏系數(shù)向量。

CS理論要求觀測系統(tǒng)對原始信號的觀測過程為線性過程，ECT系統(tǒng)線性模型如下[10]

λ=Sg

(5)

將式(4)代入式(5)中，得到基于CS理論的ECT系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

λ=Sg=SΨFFTs=AECTs

(6)

式中 λ為M×1維測量電容向量經(jīng)歸一化處理后的測量投影向量；S即為M×N維的ECT系統(tǒng)觀測矩陣；AECT為ECT系統(tǒng)CS矩陣；λ即為ECT采樣系統(tǒng)通過觀測矩陣S對原始圖像灰度信號g進(jìn)行觀測得到的觀測投影向量。

16電極ECT系統(tǒng)可以得到的獨立測量數(shù)M=16×15/2=120，為保證ECT系統(tǒng)成像精度，成像區(qū)域采用正方形網(wǎng)格剖分，像素數(shù)N=812。由CS理論可知，為使得重建圖像灰度向量g的N個像素灰度值可以由測量投影向量λ的M個獨立測量值精確重建，ECT系統(tǒng)CS矩陣AECT必須滿足RIP條件，即觀測矩陣S為高斯隨機矩陣。但由于ECT系統(tǒng)硬件條件和固有采樣方式的限制，實現(xiàn)測量數(shù)據(jù)的隨機觀測十分困難。為提高觀測矩陣S的隨機性，故本文將原觀測矩陣S的各行向量按高斯隨機順序重新排列得到新的隨機觀測矩陣Snew，使其具有一定的隨機性，將測量投影向量λ各行以相同的順序重新排列得到新的投影向量λnew。這樣，隨機觀測矩陣Snew和稀疏基ΨFFT具有不相關(guān)性，在一定概率下滿足RIP條件。

文獻(xiàn)[11]指出，當(dāng)觀測矩陣Snew和稀疏基ΨFFT不相關(guān)時，最小L1范數(shù)問題和最小L0范數(shù)問題具有相同的解。最小L1范數(shù)問題為凸優(yōu)化問題，可方便地轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解

gopt=ΨFFTsopt

(7)

在求解式(7)過程中，將約束凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的凸優(yōu)化問題，同時使用L1范數(shù)正則化模型[12]可有效克服ECT系統(tǒng)病態(tài)性

gopt=ΨFFTsopt

(8)

本文使用GPSR算法[13]對式(8)進(jìn)行求解，實現(xiàn)ECT系統(tǒng)圖像重建。

GPSR算法是用于CS信號重構(gòu)的一種經(jīng)典算法，通過把稀疏系數(shù)向量s分按正負(fù)元素分為兩部分(即s=u-v，其中u=(s)+=max(0,s)≥0，v=(-s)+≥0)，如式(9)的L1范數(shù)正則化模型可被轉(zhuǎn)化成為如式(10)的二次規(guī)劃問題

(9)

(10)

式中 1N=[1,1,…,1]T為N維元素全部為1的列向量，經(jīng)過推演，可變形為如式(11)的非負(fù)約束集上的二次規(guī)劃問題

s.t.z≥0

(11)

GPSR算法的迭代步驟如下：

初始化：選定初始值z(0)，選擇參數(shù)β∈(0,1)和μ∈(0,1/2)，令迭代步數(shù)i=0。

1)計算步長：按公式計算α0；

經(jīng)GPSR算法所重建出的圖像灰度值經(jīng)歸一化處理后g∈[0,1]，并非二值圖像。本文使用最優(yōu)閾值方法，基于式(12)，即考慮可能的閾值，計算選取誤差最小時的閾值作為最優(yōu)閾值，對圖像進(jìn)行二值處理

(12)

式中 gth為閾值處理后的圖像灰度值。

3 實驗結(jié)果與分析

本文以油氣兩相流為研究對象，設(shè)定了三種典型流型進(jìn)行仿真實驗，其中油和氣的相對介電常數(shù)分別為2.6和1，使用COMSOL3.5a有限元軟件獲得仿真測量電容值數(shù)據(jù)，使用Matlab軟件進(jìn)行ECT圖像重建，成像區(qū)域采用正方形網(wǎng)格剖分為812個像素。

仿真過程中，采用LBP算法、Landweber算法及本文提出的基于CS理論的GPSR算法分別進(jìn)行圖像重建，獲得初始重建圖像，如圖1所示；為了使重建圖像更好地接近于原始圖像，采用最優(yōu)閾值法對重建圖像進(jìn)行后處理，獲得二值圖像，如圖2所示。

圖1 初始重建圖像

圖2 后處理重建圖像

由圖1可見，相較于LBP算法和Landweber算法重建圖像，基于CS理論的GPSR算法能夠較高精度地對場域中的各種流型進(jìn)行重建。GPSR算法能夠較清楚地重建場域內(nèi)物體的位置信息和邊緣信息，重建圖像中，物體分布準(zhǔn)確、邊緣規(guī)則、區(qū)分度好、形狀保真度高；而LBP算法和Landweber算法重建圖像中，重建物體發(fā)生形變、偽跡明顯、不能清楚地區(qū)分。由流型3和流型4的重建圖像可以看出，對于較為復(fù)雜的流型，LBP算法重建圖像完全失真，Landweber算法重建圖像精度較低，而GPSR算法依然可以實現(xiàn)較高精度的圖像重建。由圖2可見，對三種算法重建圖像進(jìn)行最優(yōu)閾值處理之后，其重建圖像精確度均有明顯改善，可以看出GPSR算法重建圖像更加接近真實分布。

為定量評價重建圖像質(zhì)量，采用相對誤差(RE)和相關(guān)系數(shù)(CC)作為評價指標(biāo)，其定義分別為

(13)

(14)

表1 初始重建圖像相對誤差(RE)

表2 初始重建圖像相關(guān)系數(shù)(CC)

表3 后處理重建圖像相對誤差(RE)

表4 后處理重建圖像相關(guān)系數(shù)(CC)

分析表1～表4中三種算法重建圖像的性能指標(biāo)可知，對比LBP算法、Landweber算法和基于CS理論的GPSR算法重建圖像的各項指標(biāo)，GPSR算法重建圖像的相對誤差最小，而相關(guān)系數(shù)最大，說明GPSR算法重建效果優(yōu)于LBP算法和Landweber算法，重建圖像精度較高，與真實分布更加接近。通過使用最優(yōu)閾值法后處理，三種算法重建圖像精確度均有明顯改善，但GPSR算法重建圖像精度仍優(yōu)于LBP算法和Landweber算法。故將本文所論述的算法應(yīng)用于ECT圖像重建中，可獲得較高精度的重建圖像。

4 結(jié) 論

本文提出將基于CS理論的稀疏梯度投影(CS-GPSR)算法應(yīng)用于ECT圖像重建過程。由于CS理論可以在較少觀測數(shù)據(jù)的情況下精確重建原始信號，故應(yīng)用于ECT圖像重建中可以較好地解決ECT系統(tǒng)欠定性問題；同時GPSR算法可以對場域內(nèi)物體的位置信息和邊緣信息進(jìn)行有效地重建，故重建圖像精度較高。仿真結(jié)果表明:該算法成像精度高，適合應(yīng)用于ECT圖像重建過程中，為ECT圖像重建提供了一種新的途徑和手段。

[1] 高彥麗，章勇高，邵富群，等．電容層析成像技術(shù)中圖像重建算法的發(fā)展及研究[J]．傳感器與微系統(tǒng)，2007，26(10)：9-11,14．

[2] 王 挺，范文茹，郝魁紅，等．平面式電容傳感器陣列激勵模式研究[J]．傳感器與微系統(tǒng)，2012，31(9)：71-74．

[3] Donoho D L．Compressed sensing[J]．IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306．

[4] 石光明，劉丹華，高大化，等．壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J]．電子學(xué)報，2009，37(5)：1070-1081．

[5] Candès E．The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J]．Acadèmie des Sciences，2006，346(1)：589-592．

[6] Baraniuk R G．A lecture on compressive sensing[J]．IEEE Trans on Signal Processing Magazine，2007，24(4)：118-121．

[7] Baraniuk R，Davenport M，Devore R，et a1．A simple proof of the restricted isometry property for random matrices[J]．Constructive Approximation，2008，28(3)：253-263．

[8] Natarajan B K．Sparse approximate solutions to linear system-s[J]．SIAM Journal on Computing，1995，24(2)：227-234．

[9] 李 佳，張立峰，田 沛．基于Kalman濾波的ECT圖像重建算法[J]．傳感器與微系統(tǒng)，2015，34(8)：128-130．

[10] Dickin F J，Wang M.Electrical resistance tomography for process applications[J].Meas Sci Technol，1996，7(3)：247-260．

[11] Chen S S，Donoho D L，Saunders M A．Atomic decomposition by basis pursuit[J]．SIAM Review，2001，43(1)：129-159．

[12] 王丕濤，王化祥，孫犇淵．基于l1范數(shù)的電容層析成像圖像重建算法[J]．中國電機工程學(xué)報，2015，35(18)：4709-4714．

[13] Figueiredo M A T，Nowak R D，Wright S J．Gradient projection for sparse reconstruction：Applicationto compressed sensing and other inverse problem[J]．IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1(4)：586-597．

Image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography based on CS-GPSR*

TIAN Pei1,2, LIU Zhao-lin2, ZHANG Li-feng2

(1.Hebei Engineering Research Center of Simulation & Optimized Control for Power Generation，Baoding 071003，China; 2.Department of Automation,North China Electric Power University,Baoding 071003,China)

Gradient projection for spare reconstruction(GPSR)algorithm based on compressed sensing(CS) theory is applied to electrical capacitance tomography(ECT)image reconstruction. Use orthogonal basis of discrete Fourier transformation(DFT),the gray signals of original images can be transformed into sparse signals.Measurement matrix of ECT system is designed by rearranging the rows of the sensitivity matrix of ECT in a random order and the measurement projection vector is designed by rearranging the rows of the capacitance value vector in the same order.The GPSR algorithm is used for image reconstruction.The simulation results show that the quality of the reconstructed images are better than the corresponding images obtained by the LBP algorithm and the Landweber algorithm.The proposed algorithm can achieve higher precision of ECT image reconstruction and provide a new method for the research of ECT image reconstruction.

electrical capacitance tomography(ECT)； image reconstruction； compressed sensing gradient projection for spare reconstruction(CS-GPSR)

10.13873/J.1000—9787(2017)03—0136—04

2016—04—07

國家自然科學(xué)基金資助項目(51306058)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項項目(2014MS142)

TP 391

A

1000—9787(2017)03—0136—04

田 沛(1957-)，男，教授，主要從事現(xiàn)代傳感技術(shù)，多源信息融合和軟測量，數(shù)字圖象處理及機器視覺研究工作。

劉昭麟， 通訊作者，E-mail:liu_zhaolin1991@163.com。