張海濤 孫蓓蓓 陳建棟 薛 飛

(1東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)(2南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 南昌 330031)

運(yùn)動(dòng)容器內(nèi)液體大幅非線性晃動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究

張海濤1,2孫蓓蓓1陳建棟1薛 飛1

(1東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)(2南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 南昌 330031)

為分析液體大幅晃動(dòng)的非線性效應(yīng),對(duì)矩形容器內(nèi)液體晃動(dòng)的拍振和共振現(xiàn)象進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究．通過振動(dòng)臺(tái)對(duì)充液容器施加橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì),觀察自由液面的運(yùn)動(dòng)形式,并采用壓力傳感器測(cè)量容器側(cè)壁某點(diǎn)處的液體壓力時(shí)間歷程．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,對(duì)于拍振晃動(dòng)的情況,能夠觀察到明顯的晃動(dòng)非線性特征;對(duì)于共振晃動(dòng)的情況,自由液面將很快表現(xiàn)為三維劇烈運(yùn)動(dòng)的形式,通用的非線性晃動(dòng)理論模型已經(jīng)失效．通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,討論了理論模型與真實(shí)晃動(dòng)之間的共性與差異．

液體晃動(dòng);非線性;實(shí)驗(yàn)研究;拍振;共振

液體晃動(dòng)是一類重要的工程實(shí)際問題,廣泛存在于航空航天、油氣存儲(chǔ)與運(yùn)輸?shù)裙I(yè)領(lǐng)域．最初關(guān)于液體晃動(dòng)的研究主要集中于小幅線性晃動(dòng)[1],目前已形成了較為成熟的理論．之后,學(xué)者們認(rèn)識(shí)到較為劇烈的晃動(dòng)一般都具有較強(qiáng)的非線性,而在共振或者不穩(wěn)定晃動(dòng)等情況下,大幅液體晃動(dòng)往往會(huì)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴(yán)重的影響,因此研究的重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)為非線性大幅晃動(dòng)．

實(shí)驗(yàn)是研究液體晃動(dòng)的重要手段之一．實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證解析和數(shù)值方法的準(zhǔn)確性,測(cè)量液體晃動(dòng)模型中的相關(guān)參數(shù)(如固有頻率、阻尼等),以及解決一些實(shí)際問題．通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和總結(jié),可以了解真實(shí)的液體晃動(dòng)特性以及外界因素變化對(duì)其造成的影響．為增加能量耗散并減小充液結(jié)構(gòu)受到的晃動(dòng)力,Jin等[2]對(duì)矩形容器內(nèi)安裝的水平帶孔擋板進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究．通過在實(shí)驗(yàn)中設(shè)定不同的外激勵(lì)頻率和幅值,詳細(xì)觀察了邊壁處的自由液面波動(dòng)以及晃動(dòng)的共振頻率,討論了擋板的晃動(dòng)抑制作用．李松等[3]針對(duì)水平圓柱形貯液容器,在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了不同充液比情況下的晃動(dòng)低階固有頻率,并觀察了其晃動(dòng)模態(tài),將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較．

由于在復(fù)雜形狀的容器中計(jì)算液體晃動(dòng)相對(duì)較為困難,因而可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量晃動(dòng)的固有頻率[3]以及阻尼比[4-5]等參數(shù)．目前,關(guān)于大幅非線性晃動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究并不多．當(dāng)外激勵(lì)頻率接近液體晃動(dòng)的奇數(shù)階固有頻率時(shí),液面運(yùn)動(dòng)處于拍振或共振狀態(tài),較小的激勵(lì)振幅即可引發(fā)大幅非線性晃動(dòng);而當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),液體晃動(dòng)相對(duì)平穩(wěn)．因此,液體晃動(dòng)的拍振和共振現(xiàn)象往往更具有實(shí)際研究?jī)r(jià)值．本文主要采用實(shí)驗(yàn)方法研究處于拍振和共振狀態(tài)的液體晃動(dòng),從自由液面運(yùn)動(dòng)形式、振動(dòng)周期以及液體壓力等方面探討大幅晃動(dòng)的非線性特征;同時(shí)還將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,討論理論數(shù)值模型與實(shí)際晃動(dòng)之間的異同點(diǎn)．

1 實(shí)驗(yàn)裝置和方法

實(shí)驗(yàn)裝置由充液容器、振動(dòng)臺(tái)、數(shù)據(jù)測(cè)量及采集設(shè)備等構(gòu)成．固定在振動(dòng)臺(tái)上的充液容器為有機(jī)玻璃制作的矩形水箱,長(zhǎng)和寬均為38.4 cm,高為39.2 cm,內(nèi)部裝載的液體是水．為安裝壓力傳感器,在容器的側(cè)壁開有直徑2.2 cm的孔,孔心與底面的距離為2 cm．振動(dòng)臺(tái)為TIRA-S51010型電動(dòng)振動(dòng)臺(tái),激勵(lì)頻率范圍為0～20 000 Hz,可施加的最大振動(dòng)位移為10 mm．測(cè)量?jī)x器為CYB301型壓力變送器,量程為5 kPa,測(cè)量誤差精度為0.5%．與壓力變送器相連的數(shù)據(jù)采集設(shè)備為KBM-33型信號(hào)隔離變送器,它可以將電流模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào),并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)傳輸?shù)接?jì)算機(jī)．實(shí)驗(yàn)裝置的連接示意圖和現(xiàn)場(chǎng)照片如圖1和圖2所示．

圖1 實(shí)驗(yàn)組裝圖

圖2 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)物裝置圖

按圖1實(shí)驗(yàn)設(shè)置圖連接各儀器設(shè)備,然后往容器內(nèi)注入深度為20 cm的水．根據(jù)線性晃動(dòng)理論,可知液體晃動(dòng)各階固有頻率的計(jì)算公式[6]為

(1)

式中,L和h分別為容器長(zhǎng)度和液體深度;n為晃動(dòng)的模態(tài)階數(shù)．

由液體晃動(dòng)理論[1]可知,容器橫向運(yùn)動(dòng)一般只會(huì)激發(fā)出晃動(dòng)的前幾階奇數(shù)模態(tài)．其中,第1階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)是影響液體晃動(dòng)的最主要因素,第3階固有頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)的影響程度有所減弱,第5、第7階模態(tài)則幾乎沒有影響．只有當(dāng)外激勵(lì)頻率接近晃動(dòng)第1階固有頻率時(shí),才能觀察到較為明顯的液體拍振現(xiàn)象．而液體共振的情況相對(duì)較多,第1和第3階共振時(shí)液體晃動(dòng)非常劇烈,可作為液體共振的典型例子．本文所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)主要針對(duì)拍振和第1，3階共振．

將模型參數(shù)代入式(1),計(jì)算得到液體晃動(dòng)的第1階和第3階固有頻率分別為f1=1.37 Hz,f3=2.47 Hz．設(shè)定振動(dòng)臺(tái)帶動(dòng)容器做橫向正弦簡(jiǎn)諧振動(dòng),通過振動(dòng)控制系統(tǒng)改變其激勵(lì)頻率和幅值,觀察晃動(dòng)過程中自由液面的運(yùn)動(dòng)情況,同時(shí)利用相關(guān)軟件記錄壓力傳感器所測(cè)量出的液體壓力時(shí)間歷程．

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

數(shù)值計(jì)算也是研究液體晃動(dòng)的重要方法．Abramson[1]開創(chuàng)的小幅線性晃動(dòng)理論是最為基礎(chǔ)的理論模型,運(yùn)用較為廣泛,但它不能反映液體晃動(dòng)的非線性特性．隨著非線性振動(dòng)學(xué)科的發(fā)展,學(xué)者們又建立了一些非線性液體晃動(dòng)模型,并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值研究．研究結(jié)果顯示,典型的晃動(dòng)非線性特性體現(xiàn)為液面質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的波峰幅值大于波谷幅值,而內(nèi)部液體壓力的情況則剛好相反,即波谷幅值大于波峰幅值;此外,有時(shí)還能觀察到頻率組合、倍頻響應(yīng)以及二次諧波等非線性現(xiàn)象[7-10]．

非線性勢(shì)流模型[11]是較為常見的非線性晃動(dòng)模型之一．該模型在液體勢(shì)流理論的假定下,將自由液面視為連續(xù)的運(yùn)動(dòng)邊界,同時(shí)考慮了非線性邊界條件．由于該模型是較為復(fù)雜的非線性模型,求解難度較大,目前多數(shù)學(xué)者的研究重點(diǎn)是采用有限元、有限差分等方法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬[6，8-9]．本文采用文獻(xiàn)[9]的方法計(jì)算非線性勢(shì)流模型拍振和共振的晃動(dòng)數(shù)值解,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,同時(shí)討論兩者的共性與差異．

2.1 晃動(dòng)的拍振

設(shè)定激勵(lì)頻率f=1.45 Hz(即1.06f1),激勵(lì)振幅A=2.5 mm,在實(shí)驗(yàn)中觀察到自由液面質(zhì)點(diǎn)的振幅呈現(xiàn)出規(guī)律性的周期變化,整體液面在運(yùn)動(dòng)過程中基本保持二維波形,如圖3所示．

圖3 第1階拍振的自由液面波形(f=1.45 Hz,A=2.5 mm)

圖4(a)為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳感器位置處的液體壓力時(shí)間歷程,圖4(b)為非線性勢(shì)流模型在相同激勵(lì)振幅和頻率條件下的計(jì)算結(jié)果．由圖4(a)可知,初期一段時(shí)間內(nèi)壓力變化較為平緩,其原因在于振動(dòng)臺(tái)需要經(jīng)過一段時(shí)間加速,才能使得振幅達(dá)到設(shè)定值;此外,由于受實(shí)際耗散阻尼的影響,拍只能在有限的一段時(shí)間內(nèi)表現(xiàn)出來,晃動(dòng)的最終狀態(tài)幾乎為簡(jiǎn)諧振動(dòng)．根據(jù)圖4的相關(guān)數(shù)據(jù)得到表1,通過分析得到如下結(jié)論:

1) 實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得的液體壓力變化范圍小于數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果,說明數(shù)值模型對(duì)于液體壓力的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況不太相符．該結(jié)論與Gao[12]的研究結(jié)果較為一致．究其原因,可能是由于摩擦以及液體黏滯阻尼等因素的影響,導(dǎo)致液體質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度及其變化率相對(duì)偏?。?/p>

2) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模型結(jié)果非常接近．若不考慮晃動(dòng)非線性因素的影響,根據(jù)線性晃動(dòng)理論,拍周期為

(2)

由此推斷,晃動(dòng)非線性效應(yīng)使得拍周期有所減?。?/p>

(a) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(b) 非線性模型計(jì)算結(jié)果

3) 雖然實(shí)驗(yàn)測(cè)得的液體壓力與數(shù)值結(jié)果相差較大,但兩者關(guān)于波峰與波谷的壓力幅值之比卻非常接近．若不考慮晃動(dòng)非線性因素的影響,液體壓力在波峰和波谷處的幅值是相同的．

以上相關(guān)分析說明,數(shù)值模型表現(xiàn)出的某些晃動(dòng)非線性特征,在實(shí)驗(yàn)中也可以被觀測(cè)到．這在一定程度上反映出非線性勢(shì)流模型的實(shí)際意義和價(jià)值．若要獲得更為準(zhǔn)確的液體壓力計(jì)算值,則需要對(duì)晃動(dòng)理論模型及其數(shù)值模型做進(jìn)一步的改進(jìn)．

表1 f=1.45 Hz,A=2.5 mm時(shí)數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

為探討激勵(lì)頻率的變化對(duì)液體晃動(dòng)的影響,改變激勵(lì)頻率f=1.43 Hz(即1.04f1),激勵(lì)振幅仍設(shè)定A=2.5 mm．由于激勵(lì)頻率更加接近晃動(dòng)第1階固有頻率,液體壓力的變化范圍有所擴(kuò)大．分析表2的實(shí)驗(yàn)值和數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知,拍周期以及峰谷幅值比實(shí)驗(yàn)值與非線性勢(shì)流模型的計(jì)算結(jié)果較為接近．

設(shè)定激勵(lì)頻率f=1.45 Hz,增大激勵(lì)振幅,設(shè)A=5 mm．在此情況下,非線性數(shù)值模型進(jìn)行了若干步迭代后變得不收斂,而實(shí)驗(yàn)顯示液體晃動(dòng)仍然是較為穩(wěn)定的．圖5為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳感器位置處的液體壓力時(shí)間歷程．與圖4(a)相比,拍的持續(xù)時(shí)間有所延長(zhǎng),拍周期也發(fā)生了變化,拍周期約為8.7 s．另一方面,激勵(lì)振幅的增大使得液體晃動(dòng)變得更為劇烈,內(nèi)部液體壓力的變化范圍也有所擴(kuò)大．圖5顯示液體壓力的最大波峰幅值為56 Pa,最大波谷幅值為94 Pa,峰谷幅值比接近3/5．

表2 f=1.43 Hz,A=2.5 mm數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖5 f=1.45 Hz,A=5 mm時(shí)傳感器位置處液體壓力時(shí)間歷程

2.2 晃動(dòng)的共振

當(dāng)激勵(lì)頻率近似于晃動(dòng)奇數(shù)階固有頻率時(shí),液體晃動(dòng)表現(xiàn)為共振狀態(tài),晃動(dòng)程度將會(huì)越來越劇烈．然而在實(shí)際中,該過程不可能無限持續(xù)下去．對(duì)于非線性勢(shì)流模型而言,如果對(duì)矩形充液容器施加單一方向激勵(lì),計(jì)算出的液體晃動(dòng)是二維的．在第1和第3階共振狀態(tài)下,數(shù)值結(jié)果顯示自由液面質(zhì)點(diǎn)的振幅以及容器底部液體壓力的幅值均不斷增大,進(jìn)行若干次迭代計(jì)算后,數(shù)值格式變得不收斂并出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤．

在第1階晃動(dòng)共振實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定激勵(lì)振幅A=2.5 mm,激勵(lì)頻率f=1.35 Hz(即0.99f1)．圖6顯示了自由液面運(yùn)動(dòng)的實(shí)際變化情況．第1階共振基本上可以分為2個(gè)階段:① 自由液面呈現(xiàn)為二維波形,其振幅不斷增大;② 當(dāng)自由液面撞擊到箱體頂部后,液體運(yùn)動(dòng)不再是二維晃動(dòng),而是表現(xiàn)為非常劇烈的三維晃動(dòng),并且伴隨著液面破碎以及液體飛濺等現(xiàn)象．實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,液面質(zhì)點(diǎn)振幅的增長(zhǎng)速度極快,二維波動(dòng)階段持續(xù)的時(shí)間較短．自由液面從靜止運(yùn)動(dòng)到撞擊容器頂部,僅耗時(shí)8 s左右．由此可見,對(duì)于液體晃動(dòng)第1階共振,非線性勢(shì)流模型只是在最初一段時(shí)間內(nèi)有效,液體晃動(dòng)的最終態(tài)是劇烈的三維運(yùn)動(dòng)．

(a) 小幅二維波面

(b) 大幅二維波面

(c) 劇烈三維晃動(dòng)

在第3階晃動(dòng)共振實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定激勵(lì)振幅A=2 mm,激勵(lì)頻率f=2.40 Hz(即0.97f3)．圖7為第3階共振液面運(yùn)動(dòng)圖．由圖可見,自由液面呈現(xiàn)出規(guī)律的波形,晃動(dòng)幅度較小,隨后液面質(zhì)點(diǎn)的振幅逐漸增大,到了一定的階段,整體液面呈現(xiàn)較為劇烈的三維運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．特別是在2塊邊壁的夾角處,出現(xiàn)了液體撞擊的飛濺現(xiàn)象．相比于第1階共振,第3階共振的二維波動(dòng)持續(xù)時(shí)間明顯偏長(zhǎng),振動(dòng)幅度也較為平緩,沒有出現(xiàn)液面觸及容器頂部的現(xiàn)象．圖8為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的傳感器位置處液體壓力時(shí)間歷程．當(dāng)自由液面進(jìn)入到復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后,液體壓力在一定范圍內(nèi)變化,并未表現(xiàn)出特定的規(guī)律性．

(a) 小幅二維波面

(b) 大幅二維波面

(c) 液體飛濺

仍設(shè)定振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)振幅A=2 mm,不斷調(diào)整激勵(lì)頻率．實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,當(dāng)激勵(lì)頻率位于2.38～2.54 Hz(即0.96f3～1.03f3)范圍內(nèi),液體運(yùn)動(dòng)最終都會(huì)表現(xiàn)為三維晃動(dòng)狀態(tài)．若設(shè)定激勵(lì)頻率f=2.54 Hz,液面運(yùn)動(dòng)過程可分為小幅波動(dòng)狀態(tài)、小幅三維晃動(dòng)狀態(tài)以及較為劇烈的三維晃動(dòng)狀態(tài)3個(gè)階段．在較為劇烈的晃動(dòng)狀態(tài)下,也沒有出現(xiàn)液體撞擊的飛濺現(xiàn)象,非線性程度已經(jīng)有所減弱．

圖8 f=2.40 Hz,A=2 mm傳感器處液體壓力時(shí)間歷程

3 結(jié)論

1) 當(dāng)激勵(lì)頻率接近第1階晃動(dòng)的固有頻率時(shí),一階模態(tài)的拍振晃動(dòng)具有明顯的非線性特征,主要體現(xiàn)在2個(gè)方面:① 拍周期有所減小,其值與激勵(lì)頻率和振幅均有關(guān);② 液體壓力在波谷處的幅值大于波峰處的幅值．拍周期的實(shí)驗(yàn)值與非線性勢(shì)流模型的計(jì)算值基本一致．由于受液體黏性等因素的影響,數(shù)值模型得到的液體壓力并不準(zhǔn)確,但其計(jì)算出的波谷與波峰的幅值比例與實(shí)驗(yàn)結(jié)果大致相同．

2) 當(dāng)激勵(lì)頻率近似于晃動(dòng)奇數(shù)階固有頻率時(shí),自由液面最終將表現(xiàn)為三維運(yùn)動(dòng)狀態(tài),通常還伴有較為劇烈的液體飛濺現(xiàn)象,非線性勢(shì)流理論模型已失效．

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Experimental study on large-amplitude nonlinear liquid sloshing in moving container

Zhang Haitao1,2Sun Beibei1Chen Jiandong1Xue Fei1

(1School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China) (2School of Mechatronics Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

To analyze nonlinear effect on large-amplitude liquid sloshing, resonance and beat sloshing phenomena in a rectangular container were experimentally studied. The fluid-filled container was oscillated under lateral harmonic excitation by a vibration generator system. The motions of free surface were observed; and the liquid pressure time histories of a fixed point on the side wall were measured using a pressure sensor. The experimental results show that under the beat condition, remarkable nonlinear characteristics in sloshing are observed, while under the resonance condition, the free surface will soon take the form of violent three-dimensional motions, and the general theoretical model for nonlinear sloshing fails. Similarities and differences between nonlinear theoretical model and real sloshing were discussed by comparing experimental results with numerical ones.

liquid sloshing; nonlinearity; experimental study; beat; resonance

第47卷第1期2017年1月 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol．47No．1Jan．2017DOI：10．3969/j．issn．1001-0505．2017．01．007

2016-07-04. 作者簡(jiǎn)介: 張海濤(1985—),男,博士;孫蓓蓓(聯(lián)系人),女,博士,教授,博士生導(dǎo)師,bbsun@seu.edu.cn.

江蘇省前瞻性聯(lián)合研究資助項(xiàng)目(BY2014127-01)．

張海濤,孫蓓蓓,陳建棟,等.運(yùn)動(dòng)容器內(nèi)液體大幅非線性晃動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(1):33-37.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.01.007.

O353.1

A

1001-0505(2017)01-0033-05