□徐加華

（新泰市第一中學(xué)，山東新泰 271200）

教材分析

關(guān)于教材教參中例題習(xí)題的疑問及修改建議
——以人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1常用邏輯用語為例

□徐加華

（新泰市第一中學(xué)，山東新泰 271200）

高中數(shù)學(xué)教材和教參中的例題習(xí)題解答過程不順暢、條件欠嚴謹、答案不準確，讓人產(chǎn)生很多疑問.教材和教參中的例題習(xí)題在編寫時要注意結(jié)合課程標準以及考試大綱的要求來進行設(shè)計，題目要符合學(xué)生當前的認識水平和教師的教學(xué)需求，務(wù)必保持教材前后的銜接性和連續(xù)性，題目的解答過程要流暢，做到典型性、示范性和邏輯性要強，不存在似是而非的問題.

教材；嚴謹性；問題；疑惑；建議

高中數(shù)學(xué)教材和教參中的例題和習(xí)題凝聚了眾多教育教學(xué)研究專家的心血，具有很強的嚴謹性、基礎(chǔ)性、典型性、示范性和導(dǎo)向性，它們是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和根本，也是命題者的立足點和出發(fā)點.嚴謹性是對例題習(xí)題提出的最起碼的一個要求.我們在常用邏輯用語的教學(xué)中遇到幾個問題，現(xiàn)列舉出來，指出其中的疑惑，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議，與大家分享交流.

問題一 解答過程不通順

例1證明：若x2+y2=0,則x=y=0[1]7.

為了便于說明問題，現(xiàn)將教材的原分析及解答摘抄如下.

分析：將“若x2+y2=0,則x=y=0”視為原命題.要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若x,y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的.

證明：若x，y中至少有一個不為0，不妨設(shè) x≠0，則 x2＞0，所 以 x2+y2＞0，因 此x2+y2≠0.所以x=y=0.這表明原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

疑惑既然證逆否命題成立，即證“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”為真命題，證明的過程當中加“所以x=y=0”不知何意？

建議證明過程應(yīng)去掉“所以x=y=0”，這樣表述就準確通順了.于是修改后的證明過程為：若 x,y中至少有一個不為0，不妨設(shè)x≠0，則x2＞0,所以x2+y2＞0,因此x2+y2≠0.這表明原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

問題二 條件欠嚴謹

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行[1]10.

教參給的答案：該命題中的p是q的充分條件[2]11.

疑惑在普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)教材必修2中，兩條直線的位置關(guān)系為：平行、重合和相交.那么本題兩條直線有沒有重合的可能呢？如果重合，那么教參的答案就錯了.

建議本小題題目當中需要加上“不重合的”，即本小題改為：若兩條不重合的直線的斜率相等，則這兩條直線平行.這樣就顯得嚴謹了.

（1）如果A?B，那么p是q的什么條件？

（2）如果B?A，那么p是q的什么條件？

（3）如果 A=B，那么 p是 q的什么條件？[1]13

教參給出的答案為：（1）充分條件；（2）必要條件；（3）充要條件[2]11.

疑惑我們先看一個例子，已知p:x2=-1；q:x＞1，則顯然滿足A?B，按照教參的答案有：p是q的充分條件.但是此時 p:x2=-1和q:x＞1的邏輯關(guān)系該如何處理呢？學(xué)生目前的知識能接受嗎？如何向?qū)W生解釋？這樣在教學(xué)時就顯得很被動，不利于當前的邏輯教學(xué).

建議針對目前學(xué)生的水平，建議在題目的條件中加上“集合A、B為非空集合”，即題目改為：已知集合A、B為非空集合，A={x|x滿足條件 p}，B={x|x滿足條件 q}.

（1）如果A?B，那么p是q的什么條件？

（2）如果B?A，那么p是q的什么條件？

（3）如果A=B，那么p是q的什么條件？

問題三 答案不準確

以下是教參給出的答案.

逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等.真命題.

否命題：若一個三角形有兩條邊不相等，則這個三角形有兩個角也不相等.真命題.

逆否命題：若一個三角形有兩個角不相等，則這個三角形有兩條邊也不相等.真命題[2]6.

疑惑該命題的否命題和逆否命題怎樣書寫？教參的答案對嗎？

消除疑惑的關(guān)鍵就是弄清“有兩條邊相等”的否定是什么？是“有兩條邊不相等”還是“不存在兩條邊相等”？同樣“有兩個角相等”的否定是什么？是“有兩個角不相等”還是“不存在兩個角相等”呢？

建議事實上，三角形中三條邊都相等也屬于有兩條邊相等的情況，因此我們認為“有兩條邊相等”可理解為“存在兩條邊相等”，其否定為“沒有兩條邊相等”，即“不存在兩條邊相等”.

由結(jié)果追溯原因的方法是逆向的，其意義在于確保順向思維的正確性，旨在把握事物的因果聯(lián)系，提高預(yù)見性，培養(yǎng)多維度思考問題的能力。思想政治教育接受過程受到多種因子的影響，是各種要素有機結(jié)合、共同作用的結(jié)果。當代大學(xué)生面臨著國外環(huán)境瞬息萬變、國內(nèi)改革舉步維艱的情形，趕上了科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的時代，迎接著意識形態(tài)日新月異的挑戰(zhàn)。他們是否具備優(yōu)良的思維能力與視角、思考維度與方式、行為判斷與選擇、實踐本領(lǐng)與才干、創(chuàng)新理念與才智，是決定其能否成為一名優(yōu)秀的現(xiàn)代化事業(yè)掌舵人的標準。歸因理論為當代大學(xué)生打開了思維轉(zhuǎn)換之門。

同樣“有兩個角相等”的否定為“沒有兩個角相等”，即“不存在兩個角相等”.

這樣原命題的否命題：若一個三角形不存在兩條邊相等，則這個三角形不存在兩個角相等.真命題.

逆否命題：若一個三角形不存在兩個角相等，則這個三角形不存在兩條邊相等.真命題.

例5教參第17頁下方例8（該例題的目的是比較“若p，則q”形式的命題的否定與否命題的區(qū)別）.

命題p：正方形的四條邊相等，

命題?p：正方形的四條邊不相等.

p的否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等.

問題從教參對本題的處理來看，命題p可以改寫為：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等.于是教參上寫的該命題的否定“正方形的四條邊不相等”，就可以等同于“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊不相等”.

疑惑（1）上述?p的書寫是否正確？（2）命題“若p，則q”的否定是“若p，則?q”嗎？舉個例子，命題p：若一個數(shù)能被5整除，則這個數(shù)的個位數(shù)字是5.該命題為假命題.那么該命題的否定是否可寫為：若一個數(shù)能被5整除，則這個數(shù)的個位數(shù)字不是5？很明顯這樣寫命題的否定是不可以的，因為這時所寫的命題也是個假命題.在一些教輔資料上，也經(jīng)常出現(xiàn)這樣的類似錯誤，甚至有的資料直接提出：若命題p為“若A，則B”的形式，則?p為：“若A，則?B”.這說明，教參的例題也是非常重要的，處理不好，往往對教輔資料以及教師的選題講解等起誤導(dǎo)的作用.

建議高考對此部分的要求：（1）了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.（2）能正確地對含有一個量詞的命題進行否定（摘錄了一部分）.這就是說，對于“若p，則q”形式的命題，不涉及其否定，而命題的否定一般借助于全稱命題和特稱命題來進行考查.教學(xué)時，對于一般命題的否定和否命題的區(qū)別，可以先從命題的真假性來區(qū)分.而對于“若p，則q”形式的命題的否定與否命題的區(qū)別，書寫可以不提，不要加大教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，或者在學(xué)完全稱命題和特稱命題后舉一些適當?shù)睦诱f明即可.如果有同學(xué)對此感興趣，可以通過上網(wǎng)等方式單獨釋疑.

基于上面幾種情況的分析，筆者認為教材和教參中的例題習(xí)題在編寫時要注意結(jié)合課程標準以及考試大綱的要求來進行設(shè)計，題目要符合學(xué)生當前的認識水平和教師的教學(xué)需求，不可過多地給教師和學(xué)生增加額外負擔(dān).同時還應(yīng)注意題目的條件在語言表述上要嚴謹、準確，務(wù)必保持教材前后的銜接性和連續(xù)性；題目的解答過程要流暢，做到典型性、示范性和邏輯性強，不存在似是而非的問題，從而避免不必要的、毫無意義的爭論.

［1］劉紹學(xué).普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2016.

［2］劉紹學(xué).普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1（A版）教師教學(xué)用書［M］.北京：人民教育出版社，2016.