■陜西洋縣中學(xué) 史亞鵬 劉大鳴(特級(jí)教師)

聚焦高考變化中的導(dǎo)數(shù)大題

■陜西洋縣中學(xué) 史亞鵬 劉大鳴(特級(jí)教師)

高考中解析幾何大題的難度為中檔以上,主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值(最值),以及結(jié)合單調(diào)性與不等式的成立情況求參數(shù)的范圍等熱點(diǎn)問(wèn)題。常與基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解析幾何、不等式、方程等交匯命題,凸顯數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想的應(yīng)用。

聚焦1——利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在一點(diǎn)或過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線方程

(1)已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+ 5x-4。

(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程。

解析:(1)因?yàn)閒'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1。又f(2)=-2,所以曲線在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0。

感悟:曲線在某點(diǎn)處的切線方程,則已知點(diǎn)一定是切點(diǎn),該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程。對(duì)于曲線y=f(x)上“過(guò)”點(diǎn)(m,n)的切線問(wèn)題,一般要先設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),于是切線方程為y-n=f'(x0)(x-m),再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上,得y0=f(x0),又切點(diǎn)在切線上,得y0-n=f'(x0)(x0-m)。列方程組,可求出切點(diǎn)的坐標(biāo)(x0,y0)。注意判斷給出的點(diǎn)是否在曲線上,否則會(huì)出錯(cuò)。

聚焦2——利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

(江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+ lnx,a,b∈R。

(1)當(dāng)a=b=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當(dāng)b=2a+1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

解析:(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易求切線方程為2x-y-2=0。

(2)因?yàn)閎=2a+1,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,從而f'(x)=2ax-(2a+

當(dāng)a≤0時(shí),x∈(0,1),f'(x)>0,x∈(1,+∞),f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

感悟:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:求定義域→求導(dǎo)數(shù)f'(x)→求f'(x)=0在定義域內(nèi)的根→用求得的根劃分定義區(qū)間→確定f'(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)→得相應(yīng)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)性。題設(shè)中含有參數(shù)時(shí),解方程f'(x)=0的根導(dǎo)致分類討論,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)要按照不等式的形式正確確定(最高項(xiàng)系數(shù)與0的大小、兩根的大小等)。

聚焦3——由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)的取值范圍

(2017年山西省長(zhǎng)治二中等四校高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3 (a∈R)。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)(2, f(2))處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2·在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍。

當(dāng)a>0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞);

當(dāng)a<0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1);

當(dāng)a=0時(shí),f(x)不是單調(diào)函數(shù)。(2)由(1)及題意得,即

因?yàn)間(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),即g'(x)=0在區(qū)間(t,3)上有變號(hào)零點(diǎn)。

當(dāng)g'(t)<0,即3t2+(m+4)t-2<0對(duì)任意t∈[1,2]恒成立,由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m< -9,即m<-9;由g'(3)>0,得

感悟:f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)≠0。應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解。函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)可轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn),研究導(dǎo)函數(shù)的圖像,由區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)建不等式組求解。

聚焦4——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

(2017年新疆兵團(tuán)農(nóng)二師華山中學(xué)高三試題)已知函數(shù)f(x)=x-(a+xex。

(1)當(dāng)x∈[1,e]時(shí),求f(x)的最小值;

(2)當(dāng)a<1時(shí),若存在x1∈[e,e2],使得對(duì)任意的x2∈[-2,0],f(x1)

①當(dāng)a≤1時(shí),x∈[1,e],f'(x)≥0, f(x)為增函數(shù),故f(x)min=f(1)=1-a。

②當(dāng)1

③當(dāng)a≥e時(shí),x∈[1,e],f'(x)≤0, f(x)在[1,e]上為減函數(shù),故f(x)min= f(e)=e-(a+1)-

綜上,當(dāng)a≤1時(shí),f(x)min=1-a;當(dāng)1

(2)由題意知f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于g(x)(x∈[-2,0])的最小值。

由(1)知f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞增, f(x)=f(e)=e-(a+1)-。g'(x)=

min(1-ex)x,當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),g'(x)≤0, g(x)為減函數(shù),g(x)min=g(0)=1,所以e-,即,所以a的取值范圍為

感悟:判斷在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值的步驟:①討論單調(diào)區(qū)間;②判斷極值;③極值與閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的為最小值。

聚焦5——利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題

(2017年西安市八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=m(x-1)ex+x2(m∈R)。

(1)若m=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)任意的x<0,不等式x2+(m+ 2)x>f'(x)恒成立,求m的取值范圍。

解析:(1)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的增區(qū)間為(0,ln2),減區(qū)間為(-∞,0)和(ln2, +∞)。

(m+2)x,x<0,因?yàn)閤<0,所以mex-xm>0。令h(x)=mex-x-m,則h'(x)= mex-1。

當(dāng)m≤1時(shí),h'(x)≤ex-1<0,則h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以h(x)>h(0)= 0,符合題意;

當(dāng)m>1時(shí),h(x)在(-∞,-lnm)上單調(diào)遞減,在(-lnm,0)上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(-lnm)

綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1]。

感悟:利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。

聚焦6——利用導(dǎo)數(shù)解決存在型不等式成立問(wèn)題

(2017年福建四地六校聯(lián)考)已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=alnx+x2-4x。

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結(jié)論。

(2)設(shè)g(x)=(a-2)x,若?x0∈,使得f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)a00的取值范圍。

解析:(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以f'(x)=a+2x-4= x

假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在x=1處取得極值,則f'(1)=0,得a=2,此時(shí)f'(x)=

當(dāng)x>0時(shí),f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以x=1不是f(x)的極值點(diǎn)。故不存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值。

(2)由f(x0)≤g(x0),可得(x0-,設(shè)F(x)=x-lnx,則,解不等式易知F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則F(x)≥F(1)=1,所以。設(shè)h(x)=,則h'(x)=

感悟:存在型不等式成立求參數(shù)常用分離參數(shù)法,關(guān)鍵在于研究參數(shù)前面函數(shù)的值域,可用導(dǎo)數(shù)法求解。如本題由(x0-構(gòu)造函數(shù)F(x)=xlnx研究最小值轉(zhuǎn)化為,再構(gòu)造函數(shù)求最值,利用存在的意義求得參數(shù)的范圍,值得借鑒。

聚焦7——利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

(2017年山東省濟(jì)南市高三摸底考試)已知函數(shù)f(x)=

(1)若f(x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證: f(x)≤g(x)。

令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),x∈R,則h'(x)= f'(x)-f'(x)==

0

設(shè)φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈ R,則φ'(x)=-ex0-(1-x0)ex。

因?yàn)閤0<1,所以φ'(x)<0,所以φ(x)在R上單調(diào)遞減。而φ(x0)=0,當(dāng)x0;當(dāng)x>x0時(shí),φ(x)<0。

所以,當(dāng)x0;當(dāng)x>x0時(shí),h'(x)<0。

所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù)。

所以當(dāng)x∈R時(shí),h(x)≤h(x0)=0,所以f(x)≤g(x)。

感悟:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù),若證明f(x)

聚焦8——利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)

(2017年貴州省七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R。

(1)當(dāng)a>0時(shí),解不等式f(x)≤0;

(2)當(dāng)a=0時(shí),求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解。

解析:(1)因?yàn)閑x>0,所以不等式f(x)≤0,即ax2+x≤0。又因?yàn)閍>0,所以

(2)當(dāng)a=0時(shí),方程為xex=x+2,因?yàn)閑x>0,所以x=0不是方程的根,于是原方程等價(jià)于。令

0)∪(0,+∞)恒成立,故g(x)在x∈(-∞, 0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增。因?yàn)間(1)= e-3<0,g(2)=e2-2>0,g(-3)=e-3-,則xex=x+2有且僅有2個(gè)根,且分別在[-3,-2]和[1,2]內(nèi),故整數(shù)t的所有值為{-3,1}。

感悟:涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等,再借助函數(shù)的大致圖像判斷零點(diǎn)、方程的根、交點(diǎn)的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值,然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路。

(責(zé)任編輯 王福華)