導(dǎo)數(shù)法解決單調(diào)性問題的幾點提示

■山東省棗莊二中 趙 峰

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題比利用函數(shù)的單調(diào)性定義簡捷,但在應(yīng)用中應(yīng)注意以下幾點。

一、注意準(zhǔn)確理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),如果恒有f'(x)＞0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù);如果恒有f'(x)＜0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是減函數(shù)。

應(yīng)該指出的是,對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)來說,f'(x)＞0是f(x)在(a,b)上為單調(diào)增函數(shù)的充分不必要條件,f'(x)＜0是f(x)在(a,b)上為單調(diào)減函數(shù)的充分不必要條件。如f(x)=x3在R上為增函數(shù),而f'(0)= 0,在x=0處不滿足f'(x)＞0。

二、不能忽略定義域

A.(0,1)

B.(0,1)和(-∞,-1)

C.(0,1)∪(-∞,-1)

D.(0,+∞)

剖析：本題中函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),而在求解過程中,因忽視定義域?qū)е洛e解。

正解：由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。

點評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時,往往易忽視函數(shù)的定義域,造成所求單調(diào)區(qū)間不正確的現(xiàn)象,因此一定要記住在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)的性質(zhì)。

三、多個同單調(diào)區(qū)間不能盲目用并集符號相連

函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。

解析：解不等式f'(x)＞0,可求單調(diào)遞增區(qū)間。

由f'(x)=6x2-1 2x＞0,可得x＞2或x＜0,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2,+∞),或?qū)懗?-∞,0),(2,+∞)。

點評：當(dāng)函數(shù)的同一單調(diào)性的區(qū)間不唯一時,不能盲目利用“并集”符號把區(qū)間并起來,可以用逗號或“和”字連接。取并集后,集合就是一個整體,區(qū)間的端點處的大小和函數(shù)單調(diào)性保持一致。

四、注意分清條件區(qū)間與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)f(x)=x3-m x2+2m2-5的單調(diào)遞減區(qū)間是(-9,0),求m。

剖析：沒看清楚條件,若告訴f(x)在(-9,0)上單調(diào)遞減,則上述解法是正確的,這與告訴遞減區(qū)間是(-9,0)是不一樣的。

點評：已知函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)和已知函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)是不一樣的,前者說明某個區(qū)間是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集,而后者說明這個區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(責(zé)任編輯 徐利杰)