四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 王譯 張紅

根號(hào)的歷史演變以及對(duì)教學(xué)的啟示

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 王譯 張紅

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的抽象語言,是用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號(hào)與記號(hào),更是用來記錄數(shù)學(xué)公式、命題、演算的重要工具.數(shù)學(xué)符號(hào)是無聲的音符,表達(dá)著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念和縝密的思維,正如我國(guó)數(shù)學(xué)史家梁宗巨先生所說：“一套合適的符號(hào),絕不僅僅是起速記、節(jié)省時(shí)間的作用.他能精確、深刻地表達(dá)某種概念、方法和邏輯關(guān)系,一個(gè)較復(fù)雜的公式,如果不用符號(hào)而用日常語言來敘述,往往十分冗長(zhǎng)而且含混不清.”[1]

如今,通用數(shù)學(xué)符號(hào)已有300多個(gè),常見的也有200多個(gè).在我國(guó),當(dāng)今大中小學(xué)常用的數(shù)學(xué)符號(hào)則多達(dá)100余種[2].這些數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造絕非一蹴而就,而都是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而又曲折的歷史.根號(hào)是中學(xué)時(shí)期,乃至往后的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段都十分重要的數(shù)學(xué)符號(hào).但在教學(xué)實(shí)踐中,大部分人則將目光主要聚焦在根式教學(xué)、性質(zhì)、概念、計(jì)算等方面,而對(duì)此符號(hào)歷史演變的專門研究卻少之又少.筆者認(rèn)為,既然根號(hào)之于中學(xué)生來說異常重要,而每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)也是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過幾百年甚至上千年的“鍛造”,才擁有如今通用的模樣,那么關(guān)于根號(hào)的源起、發(fā)展是怎樣的呢？歷代數(shù)學(xué)家各自又是用怎樣的符號(hào)表示的呢？這似乎并沒有非常清晰的答案.因此,筆者在查閱史料的基礎(chǔ)上,試圖對(duì)這些問題作出回答,并得到數(shù)學(xué)史研究對(duì)根號(hào)教學(xué)的相關(guān)啟示.

一、根號(hào)的演變歷史

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上,根號(hào)出現(xiàn)得非常早.古埃及卡洪的兩部紙草書上,都曾有方根的身影,他們用符號(hào)“”來表示.而在7世紀(jì)的印度,數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多用“C”來表示平方根,“C”則為carani(平方根)的第一個(gè)字母.但到了中世紀(jì),印度人又用“kapaha”一詞中的“ka”來表示,但不表示負(fù)根.阿拉伯也曾用來表示雖然,根號(hào)的樣貌層出不窮,數(shù)學(xué)家們所用的符號(hào)也是千變?nèi)f化,但是最具代表性且影響較為深遠(yuǎn)的當(dāng)屬、l、√這三種符號(hào).

(一)、用表示方根的歷史

1142年,從阿拉伯語翻譯成拉丁語的《幾何原本》中,在其第十卷的注釋里,采用了拉丁語“radix”表示平方根.1202年,意大利著名數(shù)學(xué)家斐波拉契(Fibonacci),又稱“比薩的萊昂納多 (Leonardo of Pisa)”,編著《算盤書》、《實(shí)用幾何》等書,對(duì)印度-阿拉伯符號(hào)進(jìn)行了詳盡敘述,推動(dòng)這些數(shù)字引入歐洲[3].在書中,他選取radix的首字母加一點(diǎn)的形式,組成符號(hào)“”,用來表示未知量x的一次方,同時(shí)表示平方根.這個(gè)符號(hào)后來就成為了方根的符號(hào),以其原型,或是稍作變化的形式,被流傳了好幾個(gè)世紀(jì).

15世紀(jì)的時(shí)候,意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(Luca Pacioli),遵循斐波拉契的表示符號(hào),采用了的兩種意義；1489年,維德曼(Johann Widman)則在使用作為方根符號(hào)的同時(shí),也使用省略詞“ra”；1484年,法國(guó)數(shù)學(xué)家邱凱(Nicolas Chuquet)在其《算術(shù)三篇》的手稿中采用作為開方符號(hào),他寫道：“R2翰尼斯·朔伊貝爾(Johannes Scheubel)則使用了維德曼的縮略詞符號(hào)ra,他用“ra.cu.”表示立方根,“ra.ra.”表示四次方根.同時(shí),他還自創(chuàng)使用“radix quantitatis”的縮略詞“radix se.”作為立方根的符號(hào),但是卻沒能再進(jìn)一步使用.1562年,佩雷斯·莫亞(J.Perez de Moya)在其著作《Arimetica practica yspeculativa》中還使用字母“r”來表示平方根,“rrr”表示立方根,“rr”表示四次方根.

(二)、用l表示方根的歷史

公元2世紀(jì),羅馬學(xué)者尼普薩斯(Junius Nipsus)曾引進(jìn)拉丁語“l(fā)atus(正方形的邊)”來作為平方根的符號(hào).烏爾提亞努斯·卡佩拉(Martianus Capella)、格伯特(Gerbert)以及蒂沃利的柏拉圖(Plato of Tivoli)都在自己的著作中采用了這個(gè)符號(hào).而皮特·拉姆斯(Peter Ramus)似乎與斐波拉契有著同樣的思考方法,他使用了latus的首字母“l(fā)”作為開根號(hào)的符號(hào),因而他這樣寫道：“l(fā) 27 ad 12”gives“l(fā) 75”“l(fā)l 32 de ll 162”gives“l(fā)l 2”(今在由拉扎勒斯·朔納(Lazarus Schoner)編輯的拉姆斯關(guān)于代數(shù)與算術(shù)的書籍中,他將拉姆斯方根的符號(hào)稍作改進(jìn),把寫作“l(fā)c 4”,并且還用“l(fā) bq 5”取代了拉姆斯“l(fā)l 5”的表示方法.其實(shí),用l表示平方根依然有著如同R那樣的雙重含義,但是朔納則規(guī)定以l與數(shù)字位置的不同,來區(qū)分l所代表的意義,比如：5l則表示5x,而 l5就為

法國(guó)代數(shù)學(xué)家弗蘭西斯·韋達(dá)(Francis Vieta)也曾是拉姆斯根式符號(hào)“l(fā)”的堅(jiān)決擁護(hù)者,雖然之后由于種種原因,他很不情愿的使用了R或者√作為方根的符號(hào).后來,由于l作為根式符號(hào)并沒有太廣泛地流行開來,而且隨著對(duì)數(shù)的產(chǎn)生,l被拿去用作對(duì)數(shù)的符號(hào).

(三)、用√表示方根的歷史

著名數(shù)學(xué)家歐拉曾認(rèn)為,根號(hào)“√”應(yīng)該來源于“radix”的首字母小寫形式“r”.但是從德國(guó)的代數(shù)手稿中我們卻發(fā)現(xiàn),那時(shí)人們似乎接受了一個(gè)看似很難站得住腳的觀點(diǎn)：√是由點(diǎn)“·”演變而來的.在一部于1480年完成的拉丁文手稿中,曾用點(diǎn)來表示開方：“·”表示開平方；“·”表示開四次方；“···”表示開立方；“···”表示開九次方.很顯然,采用這種符號(hào)并不是一個(gè)令人愉快的選擇.于1524年之前完成的哥根廷手稿中,人們還驚奇地發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們也曾采用類似于蝌蚪的符號(hào)“”來作為方根符號(hào).一部分學(xué)者認(rèn)為,這一蝌蚪一樣的符號(hào),或許就是“·”由于書寫時(shí)的筆跡問題多帶了一個(gè)小尾巴,而在后來的手稿中演變成了“”.那么“√”是否是從“·”演化而來的呢？雖然一些學(xué)者乃至數(shù)學(xué)家都很喜歡這一觀點(diǎn),但是我們現(xiàn)在所擁有的證據(jù)卻不能使我們對(duì)此下結(jié)論.

1525年,波蘭-奧地利數(shù)學(xué)家魯多爾夫(Christon Rudolff)在他題為《未知數(shù)》的一本歐洲流行代數(shù)書中,創(chuàng)作符號(hào)“√”表示平方根,小點(diǎn)后的尾巴已變成一段直線.同時(shí)他還引入了立方根符號(hào)“”,四次方根符號(hào)“”,其中后者被解釋為兩個(gè)平方根號(hào)的組合,即：√√[4].由于,魯多爾夫的符號(hào)相比之下有著巨大的優(yōu)越性,因而于16、17世紀(jì)很快地在德國(guó)、法國(guó)、意大利、英國(guó)以及西班牙等地流傳開來.但是,我們不得不承認(rèn),這一符號(hào)其實(shí)也存在著明顯的缺陷,如果被開方的是一個(gè)多項(xiàng)式或多重根式,那么符號(hào)的意義便不好區(qū)分,因而繼續(xù)改進(jìn)符號(hào)就顯得十分必要.

1637年,笛卡爾(Descartes)將“√”與擴(kuò)線“—”結(jié)合起來,便形成如今所使用的根式符號(hào)卡約黎(Floria Cajori)認(rèn)為,笛卡爾曾學(xué)習(xí)過艾伯特·吉拉德(Albert Girard)的筆記[5].因?yàn)?吉拉德曾用√3).20+√239來表示現(xiàn)在的而笛卡爾于1640年9月30日寫給梅森(Mersenne)的一封信中,就出現(xiàn)了√3)、√4)、√7)等的多次方根.也許他就是受到了其中半括號(hào)的影響,而將√與”結(jié)合在一起,因?yàn)樵谀菚r(shí),括號(hào)便是一種運(yùn)算順序.至此,簡(jiǎn)單優(yōu)美的已在笛卡爾的妙筆下誕生,但這一創(chuàng)造性的工作并沒有迅速地傳播開來,致使后來的部分?jǐn)?shù)學(xué)家繼續(xù)創(chuàng)造了一些符號(hào).例如：1647年的奧特雷德(Oughtred),用表示平方根,約翰·沃利斯(John Wallis)用表示現(xiàn)在的然而,也正是由于科學(xué)家們的不斷嘗試,才對(duì)比出作為開方符號(hào)的優(yōu)越性,也只有通過比較篩選,才可以留下最好,最合適的.之后,隨著立方根符號(hào),多次方根符號(hào)的相繼問世,通用的根式形式日臻完善,漸漸地在世界上流傳開來,通用至今.

二、根號(hào)在中國(guó)

是一個(gè)地地道道的舶來品,它由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯外國(guó)著作時(shí)引進(jìn).美國(guó)傳教士狄考文翻譯出版的《代數(shù)備旨》中也使用了作為開方符號(hào).雖然沒有根式符號(hào)的演變歷史,但我國(guó)對(duì)根式的認(rèn)知以及運(yùn)算卻早在劉徽之前已經(jīng)存在.《九章算術(shù)》開方術(shù)中有言：“若當(dāng)之不開盡者,為不可開,當(dāng)以面命之.”便是說以“面”來命名一個(gè)開方不盡數(shù),而“面”=

歷史上,中國(guó)數(shù)學(xué)家們雖早已掌握了方根的知識(shí),但是卻未能創(chuàng)造出合適的符號(hào)去替代漢字表達(dá)方根.也正是由于中國(guó)古代多采用漢字達(dá)意,使之我們的一些數(shù)學(xué)知識(shí)不能在世界上廣為流傳.而這種現(xiàn)象,多與中西方文化息息相關(guān).西方語言多是音節(jié),大多符號(hào)可采用首字母或單詞縮寫的形式通過變形等手段來發(fā)明創(chuàng)造,使之符號(hào)簡(jiǎn)單好寫,所蘊(yùn)含的意義也一看便知.而漢字卻不一樣,本就是世界上最難的文字之一,即使能夠?qū)W習(xí)西方那種“造”符號(hào)的辦法,也未必能廣泛流傳開來.因此,數(shù)學(xué)符號(hào)之于數(shù)學(xué)傳播的重要性顯而易見,沒有數(shù)學(xué)符號(hào),便沒有如今數(shù)學(xué)的發(fā)展.

三、教學(xué)啟示

北師大版教科書中,根號(hào)是八年級(jí)上冊(cè)第二章實(shí)數(shù)部分第二小節(jié)所學(xué)內(nèi)容.在書中,它這樣描訴：一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根,記作讀作“根號(hào)a”.直截了當(dāng)?shù)亟o出了算術(shù)平方根的定義以及這一新鮮符號(hào).同時(shí),筆者發(fā)現(xiàn),無論是此節(jié)還是下一小節(jié)立方根的學(xué)習(xí)中,教材里都未曾涉及到的相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí),只是通過一則定義,一些習(xí)題,讓同學(xué)們接受這一符號(hào).

根號(hào)是中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的最重要的數(shù)學(xué)符號(hào)之一,它的出現(xiàn),不僅為學(xué)生定義了一類新的數(shù),同時(shí)也定義了一類新的運(yùn)算.曾做過一個(gè)有趣的調(diào)查,當(dāng)問及學(xué)生們首次遇見覺得它像什么的時(shí)候,大多數(shù)人便將其想象成一個(gè)鉤、漢字“廠”、一張滑梯等等.當(dāng)然,這樣的回答無可厚非,正是因?yàn)橥瑢W(xué)們對(duì)根號(hào)的認(rèn)識(shí)并不深刻,也只得從表面上去觀察它,記住它.德國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因(F.Klein)曾說過：“符號(hào)常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更難推理.”如若將一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)就這樣硬生生的擺在學(xué)生的面前,要求他們讀、寫,勢(shì)必會(huì)使其“只能會(huì)形,不能會(huì)意”.隨著年級(jí)的增加,所學(xué)的符號(hào)越來越多,形式也越來越復(fù)雜,若不能有趣的學(xué)習(xí)并記住各種數(shù)學(xué)符號(hào),學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭煩、抵觸心理便會(huì)越來越嚴(yán)重.因此,筆者認(rèn)為,教科書中應(yīng)適當(dāng)增加一些關(guān)于根號(hào)的演變史,教師也應(yīng)重視數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué),在提高課程趣味性和人文性的同時(shí),也可幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)符號(hào),拓寬視野.

[1]梁宗巨,世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編[M],沈陽: 遼寧教育出版社,1981: 134.

[2]徐品方,張紅,數(shù)學(xué)符號(hào)史[M],北京: 科學(xué)出版社,2007: 358,218.

[3][美]霍華德·伊夫斯著,歐陽絳譯,數(shù)學(xué)史概論[M],哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009: 255.

[4]梁宗巨,王青建,孫紅安,世界數(shù)學(xué)通史(下冊(cè)·一)[M],沈陽: 遼寧教育出版社,2001: 444.

[5]Floria Cajori,A History of Mathematical Notation(Vol.1)[M],La Salle: The Open Court Publishing Company,1951: 360-379.

[6]郭書春,九章算術(shù)譯注[M],上海：上海古籍出版社,2013: 133,137

[7]李繼閔,劉徽關(guān)于無理數(shù)的論述[J],西北大學(xué)學(xué)報(bào),1989,1(19).

[8]李文林,數(shù)學(xué)史概論[M],北京: 高等教育出版社,2011: 92.