☉浙江杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)初級中學(xué) 夏忠曉

堅(jiān)守常識需定力，情真意切論課改
——由單墫教授談數(shù)學(xué)教學(xué)說起

☉浙江杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)初級中學(xué) 夏忠曉

最近我們注意到不少微信公眾號連續(xù)轉(zhuǎn)載了我國著名數(shù)學(xué)教育家、新中國首批18名博士之一的單墫教授談數(shù)學(xué)教學(xué)的兩篇文章，轉(zhuǎn)載后得到不少同行的轉(zhuǎn)發(fā)和熱議.本文先簡述單教授兩篇文獻(xiàn)，并跟進(jìn)思考.

一、單墫教授兩篇文獻(xiàn)概述

“文獻(xiàn)1”：《學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、做感興趣的事——單墫教授訪談錄》.這是《湖南教育》2015年第11期C版一篇訪談文章.在這篇文章中，單墫教授主要回復(fù)了數(shù)學(xué)競賽、幾何教學(xué)等相關(guān)問題，比如平面幾何的教學(xué).單墫教授回憶他上初中時(shí)學(xué)習(xí)平面幾何的學(xué)習(xí)時(shí)說：“覺得那時(shí)候初中對平面幾何的表達(dá)都要求比較嚴(yán)格.我們做平面幾何都要求打草稿，我語文寫作文都不打草稿，但是做平面幾何時(shí)要打一個(gè)草稿，然后再寫上去.”

再比如，單墫教授介紹解題心得時(shí)說：“就是總希望把題目解得更好一點(diǎn)，那就需要在做完以后好好總結(jié)一下.在解題這方面波利亞寫的幾本書是相當(dāng)好的，如《怎樣解題》，他確實(shí)是有真正的看法.我一直要求自己寫完以后要回顧，要注意看能不能寫得更好一點(diǎn).對于老師來說，不是說一個(gè)問題你繞了5個(gè)圈子解決了，你還要帶著人家再繞5個(gè)圈子.即使你自己繞了5個(gè)圈子，講的時(shí)候，要讓人家少繞圈子這才是好的，所以要注意這個(gè)問題，每次都注意做得更好一點(diǎn).”

“文獻(xiàn)2”概述：單墫教授接受《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》編輯的訪談時(shí)，針對課改中優(yōu)質(zhì)課的一些看法.單教授說：“我見過一節(jié)課，是介紹路程、速度、時(shí)間公式的.一開始，老師‘嗖’地一下從講臺竄到門口，大家沒鬧清怎么回事，老師問還有沒有比自己快的？大家說還有運(yùn)動(dòng)員.再討論還有更快的嗎？大家七嘴八舌說還有鴕鳥、獵豹……我覺得數(shù)學(xué)課不要為了創(chuàng)設(shè)所謂情境扯太多課外的東西來嘩眾取寵，這樣的模式化之風(fēng)真是讓人很擔(dān)憂！”

此外，單教授對另一種缺少嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度的教學(xué)語言也表現(xiàn)出厭惡，他說：“更滑稽的是，有一次居然聽到一個(gè)老師說出這樣一句‘三個(gè)點(diǎn)就能搞定一個(gè)平面’.怎么能說‘搞定’？‘不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面’，這存在了幾百年的公理哪能隨便改動(dòng)？估計(jì)老師自己還覺得挺風(fēng)趣的，其實(shí)這種語言很不合適！數(shù)學(xué)是不能胡來的，課堂可以輕松點(diǎn)，但是老師的語言、板演必須嚴(yán)謹(jǐn).”

李尚志教授看到該文在微信公眾號上轉(zhuǎn)發(fā)后，曾表示贊同單教授的觀點(diǎn).并認(rèn)為：“其實(shí)單墫兄說的都是些大實(shí)話大白話普通常識，并非匪夷所思的天才發(fā)明.只不過因?yàn)榇蠹叶急畴x常識背離正常背離實(shí)話，只有他堅(jiān)守常識堅(jiān)持正常，就變成反?；蛘叱Ａ?”以下就圍繞一些常識話題給出筆者的個(gè)性化思考.

二、關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一些思考

1.平面幾何教學(xué)的價(jià)值之思.

我們知道初中階段所學(xué)平面幾何源自歐氏幾何，特別是《幾何原本》體系.在《幾何原本》中特別重視公理、公設(shè)、定義、定理、推論，隨之推演出幾何大廈.章教授批判的課改進(jìn)程中對平面幾何結(jié)構(gòu)的破壞，隨意刪減教學(xué)內(nèi)容，看似減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，然而我們都很清楚學(xué)生負(fù)擔(dān)并沒有因?yàn)閯h減了一些幾何教學(xué)內(nèi)容就真正減負(fù).反而是刪減一些必要的定理、性質(zhì)，或?qū)δ承┕淼纳钊胱穯?，使得幾何?yán)謹(jǐn)?shù)捏w系遭到破壞，讓學(xué)生難以形成一個(gè)整體觀、系統(tǒng)觀.加上時(shí)時(shí)處處強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識與生活情境相聯(lián)系，使得不少幾何知識勉強(qiáng)與生活實(shí)際結(jié)合起來，而忽略了幾何內(nèi)部的關(guān)聯(lián).使得學(xué)生失去深刻理解幾何前后知識之間的關(guān)聯(lián)的機(jī)會(huì)，不得不說是一種遺憾.再有，單教授指出幾何語句的構(gòu)思、書寫都有嚴(yán)格的要求，在當(dāng)下的幾何教學(xué)中，這也是值得反思的.根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生往往以為幾何思路貫通即大功告成，因?yàn)樗麄冊诳紙錾弦涯艿玫椒謹(jǐn)?shù)，不會(huì)被扣分，而不愿繼續(xù)對解法思路進(jìn)行優(yōu)化，并在反思過程中對解法步驟進(jìn)一步求簡，使得認(rèn)識更加深刻，直至洞察問題的深層結(jié)構(gòu).

2.解題教學(xué)中多解與優(yōu)化之思.

單教授提到“對于老師來說，不要帶著人家再繞5個(gè)圈子”，這是很有見地的“一句教”.我們在很多網(wǎng)絡(luò)群的主題研討活動(dòng)中，常常見到不少同行熱衷于一題多解，并在自己的解題教學(xué)過程中加以傳播，用很多時(shí)間進(jìn)行多解展示，讓學(xué)生感嘆一道問題的多樣化求解.如果是偶爾為之，并針對多解進(jìn)行必要的回顧與評析，還可另說這樣教學(xué)處理的價(jià)值.然而有些只是滿足于一題多解，而缺少對不同解法的跟進(jìn)反思、回顧，找出不同解法之間的關(guān)聯(lián)、內(nèi)在的聯(lián)系，為什么這道題目有不同的解法，這些不同解法背后的道理何在，溝通了哪些數(shù)學(xué)知識.比如下面這道高考試題：

考題1：（2012年江蘇高考）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）的值域?yàn)椋?，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），求實(shí)數(shù)c的值.

讓我們對考題1稍加改編，修改為初中生可以理解的方式：

考題2：已知二次函數(shù)y=x2+ax+b（a、b為實(shí)數(shù)）的函數(shù)值y≥0，若關(guān)于x的不等式x2+ax+b＜c的解集為m＜x＜m+6，求實(shí)數(shù)c的值.

講解：我們看到不少同行研討這道題的解法時(shí)容易糾結(jié)于圖像法，并在Δ＞0和Δ=0之間糾結(jié).其實(shí)讓我們回到初中一個(gè)最基本的概念：“非負(fù)數(shù)”到“非負(fù)式”.從非負(fù)數(shù)的常見形式來看，x2就是一個(gè)最簡單的非負(fù)式，接著就是完全平方式是非負(fù)式.從非負(fù)式的角度來看，就可確定函數(shù)表達(dá)式x2+ax+b是一個(gè)完全平方式！這樣就可推定Δ=0，從而實(shí)現(xiàn)問題突破.

單教授常常提醒我們解題要回到定義、回到基本概念，退到最簡的地方去啟發(fā)學(xué)生思考和理解.想起最近張景中院士在一次報(bào)告中提到的：簡單了就容易；熟悉了就容易；想通了就容易.

想來上述觀點(diǎn)正是我們在解題教學(xué)時(shí)應(yīng)該努力追求的一種境界.

3.讓教學(xué)情境回歸數(shù)學(xué)本真.

單教授關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)情境的論述也與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》多有共通.比如，課標(biāo)上提出數(shù)學(xué)情境要兼顧生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，單教授也明確反對一些無趣、不自然的數(shù)學(xué)情境.包括有些命題領(lǐng)域有些數(shù)學(xué)試題的背景，多是一些無用的包裝，影響數(shù)學(xué)追求本真的特點(diǎn).這里不作具體題例的列舉，只想提及一些大家都容易想到的一些命題包裝.比如，為了考查科學(xué)記數(shù)法，摘引了一大段的新聞文字，而有用的只是其中一個(gè)數(shù)據(jù)，在平時(shí)教學(xué)上用情境還說得過去，但是作為惜時(shí)如金的考試，就顯得有些不恰當(dāng)了.再如，當(dāng)下倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化、傳統(tǒng)文化進(jìn)入考試，有些考題就引了一段較長的古代文獻(xiàn)，且是古文版，還要將這段古文翻譯成白話文，再讓學(xué)生解題，這樣的一種情境包裝在考場上也是不恰當(dāng)?shù)?

4.數(shù)學(xué)教學(xué)語言的規(guī)范之思.

單教授列舉出教學(xué)語言的一些不規(guī)范表述.其實(shí)當(dāng)下的微課流行，網(wǎng)絡(luò)上隨處可見，我們常常見到很多個(gè)性化的新潮語言融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，不少初任教師或許因?yàn)槟贻p，或許因?yàn)樗麄冏鰧W(xué)生時(shí)就愛到這樣不規(guī)范數(shù)學(xué)語言教學(xué)影響，又缺少必要的教學(xué)研討，使得一些不規(guī)范語言表達(dá)成為教學(xué)慣習(xí).有些新潮的網(wǎng)絡(luò)語言、流程語言也會(huì)滲入平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，我們認(rèn)為單教授這樣的嚴(yán)謹(jǐn)和糾偏并不是一個(gè)老學(xué)究的固執(zhí)，而是固守?cái)?shù)學(xué)立場，堅(jiān)持嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的表達(dá)，應(yīng)該值得我們傾聽.于漪老師曾感嘆當(dāng)下語文教學(xué)中的語言問題，想來在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有同樣的擔(dān)憂.事實(shí)上，就以學(xué)科符號規(guī)范使用來看，不少教師還有很大的學(xué)習(xí)空間，比如，想起全國著名特級教師李庾南老師在報(bào)告中曾提及的一段教研往事，李老師說上個(gè)世紀(jì)90年代初在大連上了一節(jié)全國示范課，課后某數(shù)學(xué)教育家對課堂很滿足，只是悄悄地提了一個(gè)建議：“李老師，你課上得很出色，只是你的板書中解題過程的最后一步都缺少一個(gè)句號.”李老師很感嘆，因?yàn)檫@是她已從教近30多年之后的教學(xué)基本功.試想，有多少老師在板書過程中能在數(shù)學(xué)步驟之后加上那一個(gè)“.”呢？提到這個(gè)“.”，也順便提及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、資料、試卷中，中文標(biāo)點(diǎn)語號“。”一律用“.”代替，表示變量的字母使用“新羅馬體+斜體”，在很多網(wǎng)上流行的word文檔中都見到不規(guī)范的文件.再比如，命題表述時(shí)，有些個(gè)性化、不規(guī)范的問題呈現(xiàn)也需要得到糾正，回歸數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)追求.

三、寫在后面

本文由單教授的兩篇訪談?wù)f起，談及教學(xué)基本問題，闡釋了我們對教學(xué)常識的堅(jiān)守，都是一些老生常談，經(jīng)典話題，每個(gè)人的見解、觀點(diǎn)可能不一，既不一定準(zhǔn)確，也不一定正確，歡迎批判指正.

1.單墫.學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、做感興趣的事——單墫教授訪談錄［J］.湖南教育（C版），2015（11）.

2.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

3.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

4.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.