寧利中, 王永起， 寧碧波, 田偉利 , 胡 彪

(1.西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點實驗室培育基地，陜西 西安710048；2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001； 3．上海大學(xué) 美術(shù)學(xué)院，上海 200444)

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急流沖擊波波角的顯式解

寧利中1, 王永起1， 寧碧波2, 田偉利3, 胡 彪1

(1.西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點實驗室培育基地，陜西 西安710048；2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001； 3．上海大學(xué) 美術(shù)學(xué)院，上海 200444)

急流沖擊波的水力計算是高速水力學(xué)中的一個重要問題。本文在伊本急流沖擊波理論基礎(chǔ)上，通過分析，將函數(shù)的級數(shù)展開近似表達(dá)式引入到伊本急流沖擊波理論的基本關(guān)系式中，從而得到了急流沖擊波波角的顯式解。并將計算的急流沖擊波波角顯式解和相應(yīng)的水深比與其對應(yīng)的精確解和實驗值進(jìn)行驗證比較，證明了急流沖擊波波角的顯式解有著足夠的精度。急流沖擊波波角的顯式解使計算簡化，精度提高，可應(yīng)用于實際工程。

顯式解；伊本理論；急流沖擊波；波角；水深比

明渠急流沖擊波是由于邊壁變化而產(chǎn)生的一種特殊水力現(xiàn)象，最早于20世紀(jì)30年代被美國洛杉磯防洪局在其管轄的水渠中發(fā)現(xiàn)[1]，隨之在20世紀(jì)30年代末，就有許多學(xué)者開始對這一問題進(jìn)行廣泛研究，并提出了一些有益的成果，到20世紀(jì)50年代初，一整套急流沖擊波的水力計算方法相繼被提出[1-3]。關(guān)于急流沖擊波波角和水深的計算式，長期以來，在許多教材、水力計算手冊、水工設(shè)計手冊、專著中，都是采用伊本(Ippen，A T)1950年建議的計算方法[4-10]，此法需要試算才能確定急流沖擊波波角，很不方便，因此，在實用中都是采用以伊本理論為基礎(chǔ)繪制的曲線圖進(jìn)行試算[4-6]。20世紀(jì)60年代，我國學(xué)者在克服沖擊波影響的措施方面進(jìn)行了大量的研究，取得了一定的成果。20世紀(jì)80年代，有學(xué)者對急流沖擊波的計算問題進(jìn)行了改進(jìn)，但仍然需要查圖才能獲得結(jié)果[11-12]。也有學(xué)者致力于給出急流沖擊波的簡化解[13-20]或者數(shù)值解[21-22]。由于伊本理論具有堅實的理論基礎(chǔ)，本文力圖在伊本理論基礎(chǔ)上作進(jìn)一步探討。

本文通過分析，將函數(shù)的級數(shù)展開近似表達(dá)式引入到伊本急流沖擊波理論的基本關(guān)系式中，從而得到了可根據(jù)邊壁折角θ和弗汝德數(shù)Fr1(與波前上游區(qū)流速v1對應(yīng))直接計算急流沖擊波波角β1的顯式解。改變了以前查圖試算的方法，使計算工作量大大簡化，精度提高，為工程設(shè)計與水力計算提供了方便。

1 伊本急流沖擊波理論

伊本對明渠邊壁偏轉(zhuǎn)引起的急流沖擊波進(jìn)行分析。其計算簡圖如圖1所示。

圖1 急流沖擊波計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of shock wave in supercritical flow

假設(shè)邊界轉(zhuǎn)折角θ是微小的；水流鉛垂方向的加速度忽略不計；波前上、下游斷面的水壓力符合靜水壓力分布；壁面摩阻力忽略不計。設(shè)波前上游區(qū)水深為h1，流速為v1，法向流速為vn1，波前下游區(qū)水深為h2，流速為v2，法向流速為vn2，沖擊波波角為β1，vn1與vn2的速度差為Δvn。根據(jù)連續(xù)方程和動量方程，有：

h1vn1=h2vn2

(1)

(2)

式中，g為重力加速度。由圖1的幾何關(guān)系，有：

vn1=v1sinβ1

(3)

vn1/vn2=tgβ1/tg(β1-θ)

(4)

由式(1)、(2)、(3)得水深計算式為：

(5)

由式(1)和式(4)，得：

(6)

聯(lián)解式(5)和式(6)，得：

(7)

對式(5)變形，得：

(8)

式(7)必須通過試算方能獲得β1,要想直接獲得β1或由式(7)和式(8)直接計算h2/h1都是不可能的[1-11]。這就是到目前為止為什么還采用以式(5)～(8)為基礎(chǔ)繪制的曲線圖進(jìn)行查算的原因所在。

2 急流沖擊波波角及水深的顯式解

為了獲得波角的顯式解，令式(5)與式(6)相等，或?qū)κ?7)變形，有：

(9)

整理式(9)，兩邊平方，得：

(10)

由于式(10)不能得到β1的顯函式，這里作一近似處理，以獲得β1的顯函表達(dá)式。

令 tgβ1≈β1，sinβ1≈β1，則式(10)簡化成：

(1+β1tgθ)2β12+(1+β1tgθ)

(β1—tgθ)=

(11)

從式(10)到式(11)的近似處理，理論上講僅適合于β1較小的情況。鑒于式(10)中有多項分別含有tgβ1、sinβ1或β1，且式(10)的方程結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，故從數(shù)學(xué)方法方面不易直接分析近似處理所形成的誤差綜合效應(yīng)。因此，對近似引起的實際誤差效應(yīng)及β1的應(yīng)用范圍，我們將在本文第三節(jié)顯式解與精確解的對比中進(jìn)行詳細(xì)討論。

進(jìn)一步整理式(11)，得一元三次方程為：

(12)

引入變形參數(shù)x，令：

(13)

將式(13)代入式(12)，有：

x3+px+q=0

(14)

其中:

(15)

將式(15)代入式(13)，得沖擊波波角的顯函表達(dá)式為：

(16)

當(dāng)獲得β1后，可由式(5)或式(6)計算波前下游區(qū)水深h2。

3 急流沖擊波波角顯式解的驗證及討論

為了驗證式(16)所得波角β1的精度以及由此計算的h2的近似程度，將該式計算得到的β1和h2與其精確解及實驗值進(jìn)行了比較，結(jié)果如表1所示。其中在麻省理工學(xué)院進(jìn)行的水利實驗選取Fr1=3.86，θ為3°～24°作為實驗條件。在理海大學(xué)進(jìn)行的水利實驗選取Fr1為3.0～10.0，θ=6°作為實驗條件。詳細(xì)情況見文獻(xiàn)[2]。

表1 顯式解與精確解及實驗值的比較

通過對表1中顯式解β1es、精確解β1t和實驗值β1e的比較以及顯式解η1es、精確解η1t和實驗值η1e的比較可以看出以下幾點。

1) 當(dāng)Fr1=3.86，θ取3°～24°時，顯式解β1es和精確解β1t是相當(dāng)接近的，誤差小于5%，特別當(dāng)θ<15°時，兩者幾乎是完全一致的。顯式解β1es與實驗值β1e也是吻合的。由于鉛垂加速度對波前位置的影響[2]，使得當(dāng)實驗值η1e小于2時，實驗值β1e較精確解β1t和顯式解β1es小，而當(dāng)實驗值η1e大于2時，則實驗值β1e又較精確解β1t和顯式解β1es大。

2) 當(dāng)Fr1=3.86，θ取3°～24°時，顯式解η1es與實驗值η1e、精確解η1t是非常接近的。其最大誤差發(fā)生在θ=24°時，但顯式解η1es與精確解η1t、顯式解η1es與實驗值η1e的誤差均小于5%。當(dāng)θ≤18°時，三者之間的兩兩誤差均小于2.5%。

3) 當(dāng)Fr1取3.0～10.0，θ=6°時，顯式解β1es與精確解β1t的最大誤差是2.5%，兩者均與實驗值β1e接近，同時，水深比η的計算結(jié)果表明，顯式解η1es與精確解η1t的最大誤差小于3.0%。但當(dāng)Fr1=10時，顯式解η1es和精確解η1t均與實驗值η1e有一定誤差。

4) 根據(jù)上述分析，當(dāng)Fr1較小時，顯式解β1es可在較大的側(cè)墻折角范圍內(nèi)適用，這和精確解β1t是一致的。顯式解β1es用顯函數(shù)表示，避免了理論關(guān)系式需試算求解或圖解的麻煩，又有足夠的精度，因此，本方法可應(yīng)用于急流收縮段等的水力計算。

4 結(jié) 語

在伊本急流沖擊波理論基礎(chǔ)上，通過分析，將函數(shù)的級數(shù)展開近似表達(dá)式引入到伊本急流沖擊波理論的基本關(guān)系式中，從而得到了可根據(jù)邊壁折角θ和弗汝德數(shù)Fr1直接計算急流沖擊波波角β1的顯式解。通過實驗驗證，急流沖擊波波角β1和相應(yīng)的水深比h2/h1的顯式解與其精確解和實驗值能夠很好的吻合。急流沖擊波波角β1的顯式解改變了以前查圖試算的方法，提高了精度，為工程設(shè)計與水力計算提供了新途徑。

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(責(zé)任編輯 周 蓓)

Explicit solution to wave angle of shock wave in supercritical flow

NING Lizhong1， WANG Yongqi1， NING Bibo2， TIAN Weili3， HU Biao1

(1.State Key Laboratory Base of Eco-hydraulic Engineering in Arid Area，Xi’an University of Technology,Xi’an 710048, China； 2.College of Civil Engineering and Architecture, Jiaxing University, Jiaxing 314001, China；3.College of Fine Arts, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

Hydraulic calculation of shock wave in supercritical flow is one of the important aspects in high speed hydraulics. Based on Ippen’s theory of shock wave in this paper, an explicit solution to wave angle of shock wave in supercritical flow is obtained by applying the analysis of series expansion to Ippen’s theory. It is sufficient to compare the explicit solutions to wave angle of shock wave in supercritical flow and water depth ratio with theoretical solutions and with experimental data, proving the accuracy of the explicit solutions to wave angle. The explicit solutions to wave angle of shock wave in supercritical flow have simplified the computation procedure and have improved the computation accuracy and can be used in solving the engineering computing.

explicit solution; Ippen’s theory； shock wave in supercritical flow; wave angle; water depth ratio

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.04.002

2015-10-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(10872164)；陜西省重點學(xué)科建設(shè)專項資金資助項目(00X901)

寧利中，男，教授，博士，研究方向為對流動力學(xué)、高速水力學(xué)。E-mail:ninglz@xaut.edu.cn

TV135.2

A

1006-4710(2016)04-0388-04