劉延杰，朱圣英，崔平遠

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.深空自主導航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081）

小天體安全著陸與表面探測控制方法研究

劉延杰1,2,3，朱圣英1,2,3，崔平遠1,2,3

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.深空自主導航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081）

針對探測器在小天體表面的彈跳式運動特點，提出一種表面運動控制方法。首先基于簡化的運動模型，計算出探測器進行彈跳式轉(zhuǎn)移所需的初始速度；然后通過對軌道方程的線性化，基于線性時變系統(tǒng)的求解方程，采用脈沖控制對每次彈跳的運動軌跡進行修正，增加控制精度；并分析轉(zhuǎn)移距離與彈跳次數(shù)的關(guān)系；最后，以小行星1620 Geographos作為目標小天體進行仿真分析，驗證了控制算法的有效性。結(jié)果表明，該控制方法可以應(yīng)用于探測器在附著到小天體表面后的彈跳轉(zhuǎn)移，也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

小天體；表面運動；脈沖控制；轉(zhuǎn)移距離

0 引 言

小天體是太空環(huán)境中具有極高探測價值的一類天體。附著探測是提升人類對小天體認知的重要手段。相比于大的行星天體，小天體具有質(zhì)量輕、形狀不規(guī)則的特點，這導致其附近呈現(xiàn)不規(guī)則弱引力場[1]。在這種引力場環(huán)境下，探測器在小天體附近的運動形式可以概括為：貼近小天體表面的軌道段、軌道運動與表面作用耦合的彈跳段、完全位于表面上的滑移滾動段。

針對小天體附近獨特的運動形式，相關(guān)學者對其動力學特性和穩(wěn)定性展開了研究。Guibout等構(gòu)建了一個均勻旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)三軸橢球模型，采用解析算法得到了一組平衡點，并對其穩(wěn)定性進行了全面的分析[2]。Liu等采用一個旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)立方體作為小天體模型，給出了忽略摩擦情況下立方體表面的平衡點和圍繞平衡點的周期軌道，以及有摩擦情況下質(zhì)點不從表面逃逸的條件[3]。Yu等基于多面體模型對粒子在Geographos小行星表面的運動行為進行了歸納和分析，并修正了多面體模型邊界處的引力勢函數(shù)奇異問題[4]。Tardivel等構(gòu)建了球形探測器在不規(guī)則小行星表面的受力模型，并運用概率模型描述了小行星表面的障礙物情況[5]。

在小天體附近的弱引力環(huán)境下，任何微小的擾動都可能導致探測器離開小天體表面。在完成小天體附著時，為了避免反彈現(xiàn)象的發(fā)生，相關(guān)任務(wù)對著陸裝置的構(gòu)型都做了特殊的設(shè)計。JAXA的Hayabusa1任務(wù)中，著陸信標被設(shè)計成一個由若干小球填充的袋子，在信標與目標小行星發(fā)生碰撞后，通過小球的相互碰撞，將能量消耗掉，使得信標有較小的恢復系數(shù)[6]。ESA羅塞塔任務(wù)的著陸器菲萊通過起落架上的阻尼裝置消耗掉一部分碰撞能量，冷噴氣系統(tǒng)提供向下的推力，另外，菲萊會釋放兩個魚叉進入地表，使自身固定[7-8]。TAG（touch-and-go）是弱引力環(huán)境下，探測器完成對小天體表面采樣收集的有效手段。在TAG過程中，探測器通常先在目標小天體上方進行懸停。待確定采樣點以后，探測器下降到小天體表面，在只做幾秒鐘的停留完成采樣任務(wù)后迅速上升離開小天體表面。TAG采樣已經(jīng)成功應(yīng)用于Hayabusa任務(wù)[9]，OSIRIS- Rex[10]任務(wù)也將采用這種方式完成采樣返回。

由于小天體附近引力微弱，表面不能提供足夠的摩擦力，傳統(tǒng)的輪動式巡視器無法有效運動，因此小天體表面巡視器通常也采用彈跳式方法。針對探測器在小天體表面的彈跳移動問題，Ulamec對小天體探測任務(wù)中彈跳式探測器的應(yīng)用價值進行了深入研究，并且在基于旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊加速彈跳原理的基礎(chǔ)上提出了撐桿跳彈跳概念[11]。前蘇聯(lián)的Phobos 2任務(wù)中攜帶了一個計劃著陸于火衛(wèi)一的彈跳探測器PROP-F，雖然任務(wù)失敗，但彈跳探測器的概念對小天體探測具有很高的參考價值[13]。Hayabusa任務(wù)中，MINERVA巡視器的驅(qū)動裝置為扭矩電機，它可以提供小于10 cm/s的跳躍速度。Yoshimitsu基于MINERVA巡視器建立了小天體表面彈跳過程動力學，并分析了不同環(huán)境參數(shù)下彈跳性能與應(yīng)用前景[15]。Bellerose針對小天體彈跳移動方法，基于橢球體引力模型，提出了探測器移動距離和所需時間的解析計算方法，并基于滑?？刂扑枷胙芯苛藛蝹€和多個探測器控制方法[14]。Mège等針對小天體復雜地形設(shè)計了對附著環(huán)境具備魯棒性的彈跳運動機構(gòu)，彈跳距離可以從幾米到幾十米[12]。

弱引力環(huán)境下進行附著任務(wù)極易發(fā)生反彈，如果沒有后續(xù)操作，探測器將長時間的在小天體表面彈跳運動，造成附著任務(wù)的失敗。為了避免這一現(xiàn)象的發(fā)生，提高小天體附著探測任務(wù)的穩(wěn)定性，本文提出一種表面運動控制方法，使得探測器在附著到小天體表面后能夠以彈跳的方式進行運動，最終穩(wěn)定停留在原著陸點或轉(zhuǎn)移到新的目標點。同時，這一控制方法也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

1 動力學模型

1.1 多面體引力場模型

本文采用小行星1620 Geographos作為目標小天體，其多面體模型如圖 1所示。定義小天體固連坐標系如下：原點位于小天體質(zhì)心，z軸與小天體最大慣量軸即自轉(zhuǎn)軸重合，x與y軸分別與最小和中間慣量軸重合，x，y，z三軸滿足右手法則。

圖1 小行星1620 Geographos多面體模型Fig.1 Polyhedral model of asteroid Geographos

把小天體近似為內(nèi)部密度恒定的多面體以后，可以將引力勢函數(shù)寫成如下的形式：

其中：G表示萬有引力常數(shù)；ρ表示小天體密度；re和rf分別表示場點到多面體邊和面上任意點的距離；Le的值定義如下

其中：ae和be分別表示場點到任意邊兩頂點的距離；ee為該邊的長度；Ff為構(gòu)成邊e的兩個面的外法線矢量的點積，即

Ee定義如下

ωf的值定義如下

根據(jù)以上多面體引力場模型，能夠計算場點處的引力勢能，通過求引力勢函數(shù)的一階和二階導數(shù)，可以得到場點處的引力加速度和Hessian矩陣：

1.2 軌道段動力學方程

探測器在小天體附近的運動包含軌道段和表面段，小天體固連坐標系下的軌道段運動方程為

其中：ω表示目標小天體的自旋角速度；Vx、Vy和Vz表示沿坐標軸方向的引力加速度分量，可以由公式（6）計算得到；ax、ay和az表示沿坐標軸方向的控制加速度。

1.3 表面段動力學方程

表面段運動過程可以分解為法向和切向，分解過程如圖 2所示。由于表面段運動時間很短，這里忽略掉探測器的滑移過程，僅考慮碰撞。假設(shè)探測器與小天體表面接觸前具有入射速度vc，碰撞后的法向速度由恢復系數(shù)cr（0≤cr≤1）來確定。

圖2 表面段運動分解Fig.2 Concept of surface dynamics

其中：vn0和vn1分別表示碰撞前和碰撞后的法向速度。切向運動滿足如下的關(guān)系：

其中：vt0和vt1分別表示碰撞前和碰撞后的切向速度；μr表示當?shù)氐哪Σ料禂?shù)。

1.4 簡化模型

忽略小天體自旋和引力不規(guī)則變化的影響，可以將探測器的彈跳運動近似為拋物運動。通過對拋物運動的分析，可以近似得到通過一次彈跳將探測器從起始點轉(zhuǎn)移到目標點所需要的速度vi。

定義矢量R為起始點指向單次彈跳目標點的矢量，g為起始點處的引力加速度矢量。構(gòu)建R-g平面如圖 3所示。R方向的單位矢量為

圖3 拋物運動模型Fig.3 Parabolic motion

在R-g平面內(nèi)，定義矢量l與R垂直，并指向小天體外側(cè)。gl和gR分別為g沿l和R方向的分量，假設(shè)引力加速度g不變，給定期望彈跳時間Δt，那么vi沿l方向的速度分量為

vi沿R方向的速度分量為

將l方向和R方向的速度合成，可以得到一次彈跳將探測器從起始點轉(zhuǎn)移到目標點所需要的速度vi為

由式（13）可以近似得到通過一次彈跳將探測器從起始點轉(zhuǎn)移到目標點所需要的速度vi，但是由于忽略了小天體自旋和引力不規(guī)則變化的影響，探測器的實際附著位置將會偏離預(yù)定的目標點。因此需要在探測器飛行過程中施加軌跡修正指令，對探測器的運動軌跡進行修正。

2 控制方法

本文所提出的控制方法，可以概括如下：1）在起始點與目標點之間設(shè)置多個中間路徑點；2）在起始點處，通過式（13）求出探測器到第一個中間路徑點所需的初始速度vi，并由脈沖發(fā)動機實現(xiàn)這一速度；3）當探測器飛行一段時間后，施加軌跡修正指令，使探測器到達第一個中間路徑點；4）以當前路徑點作為起始點，重復前三步，直到探測器抵達目標點；5）施加反向速度脈沖，使探測器最終停留在目標點。表面運動控制方法示意圖如圖 4所示。本節(jié)將重點介紹軌跡修正算法的實現(xiàn)。

圖4 控制方法示意圖Fig.4 Scenario of hopping exploration on the small body

2.1 模型線性化

下標0表示相關(guān)參數(shù)在初始狀態(tài)處的取值。僅保留0階項和1階項，可以得到軌道運動的線性化方程為

2.2 修正速度確定

方程（15）為線性定常系統(tǒng)，該系統(tǒng)的解為

將方程（17）代入方程（16）可以得到

已知探測器的當前位置r0和目標位置rt，并給定轉(zhuǎn)移時間tf，通過對方程（18）進行性逆運算，可以求出軌跡修正后的速度為

矩陣G和Φ的取值如下：

由式（19）可以求出軌跡修正點的速度增量為

以上分析給出了單次彈跳的控制過程，在探測器在小天體表面進行彈跳運動時，彈跳次數(shù)的設(shè)計應(yīng)該考慮轉(zhuǎn)移距離的影響。圖 4給出了初始速度vi大小固定的情況下，即（其中C為一常數(shù)），小行星Geographos表面某點的初始法向速度與轉(zhuǎn)移距離的關(guān)系圖。由圖 5可以發(fā)現(xiàn)，當轉(zhuǎn)移距離較遠的時候，法向速度可能會超越當?shù)氐姆ㄏ蛱右菟俣?，這會使探測器在飛行一段時間后脫離引力束縛，離開小天體表面。另外，當轉(zhuǎn)移距離較遠時，誤差積累也較大，這使得后續(xù)的軌跡修正過程燃耗增加?；谝陨峡紤]，對于距離遠的目標點，應(yīng)該使探測器通過多次彈跳到達。

圖5 轉(zhuǎn)移距離與法向初始速度Fig.5 Relationship between transfer distance and normal initial velocity

3 仿真分析

3.1 拋物運動仿真

3.2 脈沖控制仿真

本組仿真采用與前一次仿真相同的初末位置，在這組仿真中，探測器受初始速度vi的驅(qū)動，以彈跳的形式向目標點運動，當探測器飛行一段時間并到達一定高度后，由式（21）求出軌跡修正指令Δv，并最終完成一次彈跳運動。仿真結(jié)果如圖 7所示。

圖6 彈跳運動軌跡Fig.6 Bouncing trajectory in 3D

圖7 固連坐標系下運動軌跡Fig.7 Trajectory histories in body-fixed coordinate

由圖 7可以看出，運動軌跡可以分為兩段，前一段軌跡為軌跡修正指令作用前的結(jié)果，與前一次的仿真軌跡重合，后一段為軌跡修正指令作用后的運動軌跡。最終，探測器能夠準確地抵達目標點。

3.3 遠距離彈跳轉(zhuǎn)移

前兩組仿真驗證了文中所提的表面運動控制方法在單次彈跳運動里的控制效果。本組仿真用來驗證該控制方法在遠距離轉(zhuǎn)移的控制效果。初始點的位置矢量為，目標點的位置矢量為。分別設(shè)置3個中間路徑點和4個中間路徑點，使探測器以4次彈跳運動和5次彈跳運動的方式到達目標點，在目標點處，施加與當前速度等大小的反向速度脈沖，使探測器最終停留在目標點。運動軌跡如圖 8所示。由仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，探測器準確抵達目標點，并且在整個運動過程中沒有發(fā)生逃逸。

圖8 固連坐標系下運動軌跡Fig.8 Trajectory histories in body-fixed coordinate

4 結(jié) 論

本文針對探測器在小天體表面的彈跳式運動特點，提出了一種表面運動控制方法。該控制方法可以應(yīng)用于探測器在附著到小天體表面后的彈跳轉(zhuǎn)移，也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

本文首先對探測器在小天體附近運動的引力場模型和動力學模型進行了介紹，并基于簡化的運動模型，計算出探測器進行彈跳式轉(zhuǎn)移所需的初始速度；通過對軌道方程的線性化，基于線性時變系統(tǒng)的求解方程，采用脈沖控制的方法對每次彈跳的運動軌跡進行修正，增加了控制精度；同時分析了轉(zhuǎn)移距離與彈跳次數(shù)的關(guān)系；最后，以小行星1620 Geographos作為目標小天體進行仿真分析，驗證了控制方法的有效性。

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A Pulse Control Strategy of Landers for Hopping Exploration on Small Bodies

LIU Yanjie1,2,3，ZHU Shengying1,2,3，CUI Pingyuan1,2,3
（1.Institute of Deep Space Exploration，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2.Key Laboratory of Autonomous Navigation and Control for Deep Space Exploration，Ministry of Industry and Information Technology，Beijing
100081，China；3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle，Ministry of Education，Beijing 100081，China）

Surface investigation is an effect way to improve the cognition of small bodies for human being.Considering the impacts of the irregular micro-gravity near small bodies，the lander may bounce above the surface when touches down which is a dangerous situation for landing.Meanwhile，the movement of the surface detector is generally achieved by hopping ways.In this paper，a pulse control strategy is developed in order to improve the stability and accuracy for small body landing and long-distance transfer，and the corresponding guidance law is developed.This control strategy can be used for the scenarios of both re-landing and multi-hopping exploration on a small body.Firstly，the velocity pulse is exerted at the initial points if the transfer is needed.Such velocity pulse can be computed based on the parabolic movement.Then，the trajectories are corrected based on the pulse control.The proposed guidance law is flexible enough to be implemented in real time for small body landers.To certificate the performance of the proposed control strategy，simulations are conducted and the effectiveness and accuracy are analyzed.

small body；hopping；pulse control；transfer distance

V448.21

A

2095-7777(2016)04-0370-7

10.15982/j.issn.2095-7777.2016.04.009

劉延杰，朱圣英，崔平遠.小天體安全著陸與表面探測控制方法研究[J].深空探測學報，2016，3（4）：370-376.

Reference format：Liu Y J，Zhu S Y，Cui P Y.A pulse control strategy of landers for hopping exploration on small bodies [J].Journal of Deep Space Exploration，2016，3（4）：370-376.

[責任編輯：宋宏]

2016-07-28；

2016-08-10

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃“973”項目（2012CB720000）；國家自然科學基金資助項目（61374216，61304226，61304248）；教育部博士點基金資助項目（20121101120006）