羅問哲

摘 要：本文針對(duì)某高中一教學(xué)樓在緊急情況下學(xué)生的疏散問題，采用數(shù)學(xué)建模的思想，在合理的假設(shè)下建立了疏散模型，并計(jì)算出安全疏散的最短時(shí)間，以此達(dá)到最短時(shí)間最快進(jìn)行疏散。

關(guān)鍵詞：教學(xué)樓；緊急疏散；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：O175文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）12-0258-02

一、問題重述

學(xué)校人口十分密集而中學(xué)生在日常生活中很少遇見應(yīng)急狀況。當(dāng)應(yīng)急情況發(fā)生時(shí)，中學(xué)生很少能夠保持鎮(zhèn)定。所以我們應(yīng)該未雨綢繆，提前制定出疏散方案，從而盡可能減少人員損失提高疏散效率。

某高中教學(xué)樓一共有三層，每層樓含三個(gè)教室，一個(gè)廁所，兩個(gè)辦公室，通過實(shí)際測量，每層樓高4.6米，兩邊各有樓道一個(gè)，平面圖如圖1所示。本文針對(duì)教學(xué)樓的以上特點(diǎn)，提出幾種疏散模型，發(fā)現(xiàn)逃生時(shí)間與速度及其他變量的關(guān)系，從而指導(dǎo)學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)，疏散到安全地帶。

二、模型假設(shè)

（1）整棟教學(xué)樓共有495名師生，其中所有教室都是滿的，假設(shè)每個(gè)教室里人數(shù)為55人（含一位老師），每個(gè)辦公室里無人。

（2）假設(shè)每個(gè)人的行走能力相同即疏散速度相同，且有序疏散。

（3）人與人之間間距相等，厚度相同。

（4）師生從指定出口（或消防安全出口）到操場指定位置，所用時(shí)間為常數(shù)。

（5）每位師生均處于清醒狀態(tài)，且疏散過程中沒有摔倒、停留、沿途返回的情況。

三、符號(hào)設(shè)定

四、問題分析

由假設(shè)（3）可知，每個(gè)人之間的間距與厚度是相同的，為p+q，假設(shè)每一個(gè)臺(tái)階上有一人向下逃離，且半層樓共用13級(jí)臺(tái)階，如圖2所示。

根據(jù)樓梯臺(tái)階測量數(shù)據(jù)，看計(jì)算樓梯水平長

S樓2-h2=62-2.32=5.54米

所以可得

p+q=2×S樓2-h213=2×5.5413≈0.83米.

五、疏散時(shí)間模型的建立

（一）合理分流式疏散

由該校的樓層平面圖可知，兩個(gè)教室均處于靠右出口的位置。右邊兩個(gè)教室都可以從右出口逃生。但學(xué)生如果只從一個(gè)門出教室必定會(huì)造成擁堵，且浪費(fèi)時(shí)間，所以應(yīng)從每個(gè)教室的前后門分流出教室。

假設(shè)分別從左邊第一教室的左右門出門人數(shù)為k1，k2，如圖3所示。若想要同時(shí)完成疏散，則出門時(shí)間相同。則從左門與右門疏散的人數(shù)k1，k2，滿足下列關(guān)系式

k1+k2=55（k1-1）（p-q）=（k2-1）（p-q）+d-d門p+q=0.83d=9d門=1.5（1）

化簡上述關(guān)系式，可得

k1-k2=9k1+2=55（2）

上述關(guān)系式表明從左門至少應(yīng)安排9人疏散，這樣才不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，解得

k1=32，k2=23

同理可計(jì)算出第二、三教室中從左門與右門疏散的人數(shù)與第一教室相同。

（二）各樓層疏散模型

通過實(shí)測可以知道，一樓各教室門口直接與操場相連。所以每門疏散人員數(shù)可相等，所以一樓疏散完全所用時(shí)間為

t1=1V人K2-1（p+q）+T（3）

對(duì)于二樓的疏散，由實(shí)際疏散情況我們可以知道，可分為等待與不等待兩種情況。

等待狀態(tài)模型從右邊第三教室左門的第一人到達(dá)右門時(shí)，右門的同學(xué)還未疏散完畢，即k2>9人時(shí)，

t2′=1V人K2-1（p+q）+T（4）

不等待狀態(tài)模型：當(dāng)k2>9人，

t2″=1V人（2K-1）（p+q）+2S樓V人+T（5）

所以可以得到若d-d門>p+q，就有t2″>t2′，現(xiàn)在可知d-d門=7.5米，而根據(jù)文獻(xiàn)可得p+q[0.5，2.5]。所以由此可得只要滿足了k2>9人，則等待條件成立，所以疏散時(shí)間最短

t2min=t2′（6）

三樓人員的疏散模型為

T3=t2min+T3min（7）

等待狀態(tài)模型當(dāng)?shù)谌龑訕堑耐瑢W(xué)跑到二樓時(shí)，發(fā)現(xiàn)二樓的同學(xué)還未疏散完畢，等待模型為

T3=t2′+t3′=t2′+1V人+（2K+K1）（p+q）.（8）

將（4）式代入（8）式可得

T3=1V人（4K+2K1-1）（p+q）+2S樓V人+T（9）

等待條件為

2S樓<（2K-1+K1）（p+q）.（10）

不等待狀態(tài)模型即三樓同學(xué)可以順利通暢地跑到安全位置。

所以不等待狀態(tài)模型為：

T3=t2′+t3″=t2′+1V人（2K+K1-1）（p+q）+2S樓V人（11）

將（4）式代入（11）式可得

T3=1V人（4K+2K1-2）（p+q）+4S樓V人+T（12）

不等待狀態(tài)模型的成立條件為：

2S樓（2K-1+K1）（p+q）（13）

以上分流方式為較為合理的分流方式，但還可以進(jìn)行優(yōu)化。

（三）疏散模型的優(yōu)化

由于p+q與V人為變量。對(duì)（p+q）∈[1.0，2.5]上取出5個(gè)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得到各自對(duì)應(yīng)的速度v。其結(jié)果如下表：

從而得到p+q與V人為一次函數(shù)關(guān)系，所以無法通過調(diào)整數(shù)值大小進(jìn)行優(yōu)化，所以為2分56秒。

為了更加節(jié)省時(shí)間，假設(shè)樓道上同時(shí)方便3人行走，為了方便奔走，人與人之間應(yīng)留出更多的空間，由文獻(xiàn)【1】的啟發(fā)，應(yīng)該按照下圖“品”字方式進(jìn)行疏散，如圖4所示。

如上圖所示，我們將每三個(gè)人劃分為一個(gè)單位，將這樣的模型稱作“品”字模型，必要條件為：

2p+q

實(shí)際上，2p+q<2（p+q）=2×0.83=1.66

二、三樓由于樓道寬度不夠，所以只能2人并排行走，但走到了樓梯口由于樓梯口變寬，所以到樓梯口后可由2人并排行走改為“品”字行走模式，由三樓跑到二樓所用時(shí)間△t=2S樓V人，二樓到一樓時(shí)間同樣為△t。

分別取3個(gè)V的值，可計(jì)算出疏散時(shí)間

T3=1V人+（4K+2K1-2）（p+q）+4S樓3V人+T

由此得出T3=155+5+5=165秒，所以優(yōu)化后時(shí)間縮短為2分45秒。

由合理分流模型計(jì)算出的時(shí)間與“品”字模型計(jì)算出的時(shí)間比較。在相同的厚度、間距與行走速度下?？傻贸觥捌贰弊帜Ｐ团c分流模型結(jié)合可得到最佳疏散方案。

六、合理建議

1、由于學(xué)校人口密集，所以每個(gè)學(xué)校都應(yīng)該制定出合理的疏散計(jì)劃，以便防患于未然，能更加安全地面對(duì)緊急情況的發(fā)生。

2、每班的老師應(yīng)主動(dòng)組織學(xué)生進(jìn)行疏散，從而使疏散更加有效。

3、每位靠近出口的同學(xué)應(yīng)就近疏散，以減少疏散時(shí)間。

4、每位同學(xué)到樓梯口時(shí)，應(yīng)主動(dòng)自覺按照“品字模型進(jìn)行疏散。

5、每位同學(xué)應(yīng)服從老師的安排、管理，不能慌亂，要有序疏散。

（作者單位：成都棠湖外國語學(xué)校）

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