楊麗+王洪芹

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，也是經(jīng)管類和工科類專業(yè)的基礎(chǔ)課，其覆蓋面廣.應(yīng)用性強(qiáng)，是一門理論與實(shí)踐密切結(jié)合的課程。以案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)法作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)方法改革的一種手段，有針對(duì)性的選取了條件概率、全概率公式、數(shù)學(xué)期望、中心極限定理等 4個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，并使用貼近實(shí)際生活的案例作為教學(xué)的切入點(diǎn)，詳細(xì)分析解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，向?qū)W生介紹該課程的相關(guān)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。課堂教學(xué)實(shí)踐證明，基于案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法能夠開闊學(xué)生的視野，對(duì)于課程建設(shè)、教學(xué)效果、教師及學(xué)生能力的提高都有重要意義。

關(guān)鍵詞：案例驅(qū)動(dòng)；全概率；數(shù)學(xué)期望；中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是國(guó)內(nèi)外經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)學(xué)生教學(xué)大綱中必不可少的公共基礎(chǔ)課，是向?qū)W生傳授隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生使用隨機(jī)思想分析問(wèn)題能力的重要途徑之一。很多其他后續(xù)課程，如統(tǒng)計(jì)學(xué)、證券投資學(xué)、信息論、密碼學(xué)等都需要以概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)為前提。經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)學(xué)生畢業(yè)后大多從事經(jīng)濟(jì)貿(mào)易、金融投資、銀行、證券、保險(xiǎn)等工作，在工作 中會(huì)遇到許多隨機(jī)現(xiàn)象，如證券價(jià)值的變動(dòng)、購(gòu)買保險(xiǎn)的人數(shù)、商品的庫(kù)存和收益等，這些工作的完成也需要依賴概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。因此，如何讓學(xué)生輕松、愉快的學(xué)好這門課程成為了擺在每個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)老師面前的問(wèn)題。

不少學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)，尤其是初遇古典概型時(shí)，很有興趣，也能夠聯(lián)系實(shí)際主動(dòng)思考，但隨著后續(xù)知識(shí)中公式、定理的逐漸增多，他們認(rèn)為越來(lái)越枯燥，以致越學(xué)越?jīng)]有興趣，這一點(diǎn)應(yīng)值得重視和思考。概率統(tǒng)計(jì)的思想方法來(lái)源于生活，教學(xué)中應(yīng)處處有案例，從貼近生活或與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的問(wèn)題入手，用身邊常見(jiàn)的現(xiàn)象和例子說(shuō)明問(wèn)題，從問(wèn)題到理論，再?gòu)睦碚摰綉?yīng)用，而不是生硬的從概念到理論，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，減少距離感，強(qiáng)化實(shí)踐意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還可以拓展學(xué)生的視野，從而提高學(xué)習(xí)的興趣與效率。

下面選取概率統(tǒng)計(jì)中有代表性的 4個(gè)知識(shí)點(diǎn)，提出貼近現(xiàn)實(shí)、清晰易懂的案例，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，自主求解，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

1 條件概率與三門問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題來(lái)自于美國(guó)的一個(gè)電視節(jié)目，參與者會(huì)看見(jiàn) 3扇關(guān)閉了的門，其 中 1扇 的后面有 1輛汽 車，選中后面有車的那扇門就可贏得該汽車，另外 2扇門后面則各藏有 1只山羊。當(dāng)參與者選定了 1扇 門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開啟剩下 2扇門的其中 1扇，露出其中 1只山羊。隨后主持人問(wèn) 參與者要不要改選另 1扇仍然關(guān)上的門。需要思考的是：改選另 1扇門會(huì)不會(huì)增大參賽者贏得汽車的機(jī)會(huì)。

這個(gè)有趣的問(wèn)題提出后，一定會(huì)引發(fā)學(xué)生熱烈的討論。這一問(wèn)題的答案是應(yīng)該換，但是許多學(xué)生都想不通，他們認(rèn)為換不換一樣，贏得汽車的概率都是 1/3。實(shí)際上，問(wèn)題的關(guān)鍵在于主持人，不應(yīng)該忽略這樣一個(gè)線索，即主持人一定會(huì)開啟 1扇沒(méi)有汽車的門。使用條件概率的思考方法就可以解決這個(gè)問(wèn)題。

假設(shè)事件 A為參與者第一次選中山羊；事件 B為參與者改選另 1扇 門之后得到汽車。根據(jù)條件有

也就是說(shuō)，如果堅(jiān)持原來(lái) 的選擇，贏得 汽車的機(jī)會(huì)是 1/3，而選擇另 l扇 門，贏得汽車的機(jī)會(huì)增加到了 2/3，所以應(yīng)該改變?cè)瓉?lái)的選擇。

可以進(jìn)一步思考，若主持人事先不知道任何信息，而是隨機(jī)開啟某1扇門，即打開的 1扇門之后有可能是汽車，也有可能是山羊，那么問(wèn)題的答案是否會(huì)改變呢。

2 全概率公式與囚徒的智慧

在現(xiàn)實(shí)的各種領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)等方面，常常會(huì)涉及到各種概率問(wèn)題，但這些事件會(huì)有各種 類型的條件限制和復(fù)雜的樣本空間，導(dǎo)致在計(jì)算概率時(shí)，思路不清晰，甚至重復(fù)或遺漏 了某些情況發(fā)生 的可能性。全概率公式應(yīng)運(yùn)而生，能夠化繁為簡(jiǎn)。以一個(gè)古代小故事為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。1名囚犯 要被執(zhí)行死刑，按照傳統(tǒng)，執(zhí)行死刑前還有一次機(jī)會(huì)。在囚犯面前放 2個(gè)一樣的盤子，每個(gè)盤子盛有 14 個(gè)球，黑白顏色各一半。令囚犯蒙住眼睛從 2個(gè)盤子 中隨機(jī)選 1個(gè)，再?gòu)倪x中的盤子中隨機(jī)選 1個(gè)球，若選中白球則獲得赦免，否則繼續(xù)執(zhí)行死刑。聰明的囚犯略思索后，要求將 其中 1個(gè)盤子里放 2個(gè) 白 球，其余的球都放在另 1個(gè)盤子中。問(wèn)該囚犯獲得赦免的機(jī)會(huì)比原來(lái)增加多少。令事件A為囚犯選中 白球，事件 B為囚犯選中第一只盤子。按照傳統(tǒng)的分球方法，即每個(gè)盤子盛有14個(gè)球，黑白顏色各一半時(shí)，

若按照囚犯提出的要求，即第一只盤子放 2個(gè)白球，第二只盤子盛有其余 26只球，則

這樣，聰明的囚犯通過(guò)爭(zhēng)取，將自己獲得生還的機(jī)會(huì)增加了 3/13。進(jìn)一步，可以向?qū)W生提 出思考題，能否通過(guò)改變球在盤子中的分配方法，使得囚犯的生還機(jī)會(huì)變得更大。

3 數(shù)學(xué)期望與賭金分配

1654年，賭徒德 ·梅累向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問(wèn)題：甲、乙 2賭徒賭 技相同，各出賭注 50法郎，每次賭局中無(wú)平局。他們約定，誰(shuí)先贏 3局則得到全部 100法郎的賭本。當(dāng) 甲贏了 2局，乙贏 了 1局時(shí)，因故要中止賭博?，F(xiàn)問(wèn)這 100法郎如何分才算公平。

事實(shí)上，很容易設(shè)想出以下 2種分法：

1）考慮到甲、乙 2人賭技相同，平均分配賭金：即甲得 50法郎，乙得 5O法郎。這種分法沒(méi)有照顧到甲已經(jīng)比乙多贏 1局這個(gè)現(xiàn)實(shí)，對(duì)甲顯然是不公平的。

2）考慮到已經(jīng)進(jìn)行的 3局比賽結(jié)果，按照賭局輸贏次數(shù)的比例分配賭金：甲得 200/3法郎，乙得100/3法郎。這種分法沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比下去的話會(huì)出現(xiàn)什么情形，即沒(méi)有照顧 2人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對(duì)比賽結(jié)果的一種期待。

那么，這更合理的第 3種分法又該怎樣分呢？提醒學(xué)生思考如果賭局進(jìn)行下去，會(huì)出現(xiàn)的情況：最多只需再賭 2局即可結(jié)束這場(chǎng)賭博。而再賭 2局可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以有序?qū)Ρ硎?，如（甲，乙）表示第一?chǎng)賭局甲贏，第二場(chǎng)賭局乙贏。由于 2人賭技相同，這 4種情況出現(xiàn)的概率應(yīng)相等，2場(chǎng)賭局結(jié)果的分布概率如表 1所示。

如前 3種結(jié)果發(fā)生，都是甲先贏 3局，即甲贏得全部賭金 100法郎，相應(yīng) 的概率為 3/4，而 甲得 0法 郎的概率為 1/4，故 甲獲得的期望賭金為

而乙應(yīng)分得 25法郎。因此，既考慮到甲已經(jīng)比乙多贏一局的事實(shí)，又考慮到后續(xù)可能出現(xiàn)的結(jié)果，按照數(shù)學(xué)期望的思想分配賭金是比較公平的。

在這個(gè)故事中，出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，也是“數(shù)學(xué)期望”這個(gè)術(shù)語(yǔ)名稱的由來(lái)。分賭本問(wèn)題的思想可以進(jìn)行推廣，例如應(yīng)用到投資問(wèn)題：甲乙 2人合資辦廠，經(jīng)營(yíng)一段時(shí)間后，甲乙 2人都要單獨(dú)經(jīng)營(yíng)或者由 于某種原因不能繼續(xù)合作下去，應(yīng)該怎樣分配經(jīng)營(yíng)成果；或者因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)不善而虧損，應(yīng)該如何分?jǐn)倐鶆?wù)等相關(guān)問(wèn)題。這些思考對(duì)于經(jīng)管相關(guān)專業(yè)的學(xué)生是有所裨益的。

4 中心極限定理與電話分機(jī)設(shè)置問(wèn)題

某單位一門電話總機(jī)共有200門分機(jī)，每門分機(jī)有5%的時(shí)間使用外線通話，且是否使用外線是相互獨(dú)立的。要保證每個(gè)用戶能以90%的概率正常使用外線通話，問(wèn)總機(jī)至少要設(shè)置多少條外線？像這樣的問(wèn)題是企業(yè)，公司等部門中很常見(jiàn)的問(wèn)題，設(shè)置太多的外線會(huì)造成資源浪費(fèi)，太少又會(huì)造成資源不足，而這樣的問(wèn)題，只要綜合應(yīng)用概率論知識(shí)——棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理就可以解決，得出的結(jié)果是需設(shè)置14條外線。

5 結(jié)論

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課堂教學(xué)中有針對(duì)性的提出問(wèn)題，營(yíng)造一個(gè)積極思考的環(huán)境，有助于幫助學(xué)生了解概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)源于實(shí)際，又在實(shí)際工作 中有廣泛的應(yīng)用。能夠引導(dǎo)學(xué)生一步一步自己尋求 解決問(wèn)題的方法，激起學(xué)生 的探究欲望，而不是被動(dòng)地記憶、理解教師傳授的知識(shí)。在解決案例的過(guò)程中，學(xué)生可以獲得親身思考的機(jī)會(huì)，便于逐漸形成善于質(zhì)疑、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)腦、努力求知的研究態(tài)度。

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