尹社會,湯志浩

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南南陽 473000)

一個類Lorenz系統(tǒng)的混沌特性分析

尹社會,湯志浩

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南南陽 473000)

通過理論和數(shù)值模擬分析了一個多維類Lorenz超混沌系統(tǒng)的非線性特性和部分動力學(xué)行為。主要從對稱性、耗散性、空間相圖、Poincare映射圖、分岔圖等幾方面展示了系統(tǒng)的動力學(xué)特性,并探討了混沌吸引子的形成機(jī)制。結(jié)果表明,系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集及其計算機(jī)數(shù)值計算不僅驗證了結(jié)論的正確性,而且為混沌控制和混沌同步提供了理論基礎(chǔ)。

類Lorenz混沌系統(tǒng);分岔;耗散性;全局指數(shù)吸引集

混沌這一名詞的出現(xiàn),標(biāo)志著一個新學(xué)科的誕生,也意味著這一學(xué)科將越來越重要。1963年美國科學(xué)院院士Lorenz在研究大氣對流時,首次給出了一個簡單的三維自治系統(tǒng),即著名的Lorenz系統(tǒng)[1],所采用的辦法就是對Navier-Stokes方程和熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行Fourier級數(shù)展開并截取前三項。這已經(jīng)成為現(xiàn)在非線性科學(xué)研究混沌系統(tǒng)的一個范式,后來又有其他學(xué)者進(jìn)行有限項截斷,得到不同模數(shù)的非線性微分方程組[2-9]?；煦缥邮窍嗫臻g中的一個點集,隨著運動時間的增加,所有軌線都趨向于它。這些混沌系統(tǒng)的全局吸引子的存在性和部分動力學(xué)行為已經(jīng)被許多研究者所認(rèn)識和研究。除了Lorenz系統(tǒng)族之外,也存在其他混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng),這些新混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)的提出和研究為混沌系統(tǒng)甚至混沌理論的應(yīng)用提供了一定的理論基礎(chǔ)和參考價值[10-12]。我們進(jìn)一步考慮文獻(xiàn)[13]中提出的混沌系統(tǒng),通過數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜圖、分岔圖等研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性,并借助數(shù)值仿真進(jìn)一步分析了混沌吸引子的形成機(jī)制。

1 數(shù)學(xué)模型及其全局動力學(xué)特性

王賀元等[12]研究的一個七模Lorenz超混沌系統(tǒng)的方程為

系統(tǒng)(1)在坐標(biāo)變換P∶(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)?(x1,x2,x3,－x4,－x5,－x6,x7)下保持不變,說明系統(tǒng)具有該變化下的對稱性。

根據(jù)劉維爾定理,系統(tǒng)(1)的平均散度?V＝說明系統(tǒng)(1)是耗散的。當(dāng)Re＝100時,初值取x1＝1,x2＝1,x3＝1,x4＝1,x5＝1,x6＝1,x7＝1,系統(tǒng)(1)的軌線的吸引子相圖如圖1所示。由圖1(a)可以看出,在運行時間減半的情況下,吸引子只是在一個區(qū)域運動,并沒有過渡到另一部分;從動態(tài)過程顯示,反之亦然。由圖1 (b)可以看出,吸引子的形狀與Lorenz蝴蝶狀明顯不同,分別在兩個不同的區(qū)域反復(fù)折疊,中間的連接過渡并不太頻繁。

當(dāng)Re＝120時,在初值不變的情況下,系統(tǒng)(1)的吸引子表現(xiàn)出更復(fù)雜的運動行為,先是繞一個吸引點旋轉(zhuǎn)幾圈,然后跳到另一個吸引點再繞幾圈,如此反復(fù),沒有規(guī)律,形成典型的雙葉片狀吸引子(在圖示相空間投影下),如圖1(c)所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的軌線相圖Fig.1 Trajectory phase diagram of system(1)

2 混沌吸引子的形成機(jī)制

由圖1混沌吸引子相圖隨著參數(shù)Re的變化而發(fā)生的變化可以看出,參數(shù)Re對于混沌吸引子的形成具有重要的影響。下面進(jìn)一步分析混沌吸引子的形成問題。

隨著參數(shù)Re的變化,系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定到平衡點、極限環(huán)和混沌吸引子等不同的非線性行為,即出現(xiàn)Hopf分岔和混沌現(xiàn)象。圖2為參數(shù)在Re∈[70,130]的Lyapunov指數(shù)譜圖(為了突出比較,圖中只給出了最大的兩個Lyapunov指數(shù)Le1、Le2)。圖2中可以顯示極限環(huán)、混沌和超混沌三種狀態(tài),進(jìn)一步通過分岔圖也可以驗證這一特征,并且二者結(jié)論非常一致,如圖3所示。在狀態(tài)變量的初值不同時由分岔圖可以進(jìn)一步分析系統(tǒng)的混沌特性,從區(qū)間放大圖(這里取對稱的兩組初值)可以看出,與圖1所示相圖在參數(shù)Re＝100附近的動力學(xué)行為是一致的。

圖2 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.2 Lyapunov index spectrogram of system(1)

圖3 系統(tǒng)(1)的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system(1)

當(dāng)參數(shù)Re＝80時,初值分別為x1＝－1,x2＝－1,x3＝－1,x4＝1,x5＝1,x6＝1,x7＝－1和x1＝1,x2＝1,x3＝1,x4＝1,x5＝1,x6＝1,x7＝1下的吸引子如圖4所示,對稱的運動分別在兩個吸引域內(nèi)。由以上分析可以看出,參數(shù)Re對于系統(tǒng)(1)形成混沌吸引子具有重要的調(diào)節(jié)作用。從系統(tǒng)(1)的平衡點的分布情況來看,當(dāng)參數(shù)Re達(dá)到一個值后,3個平衡點均變得不穩(wěn)定,這為上述混沌吸引子的形成找到了理論上的吸引域中心,即吸引子總是圍繞吸引域的中心做運動,具體運動行為取決于平衡點的特征值分布。

圖4 系統(tǒng)(1)在對稱初值下的極限環(huán)相圖Fig.4 Limit cycle phase diagram of system(1) under symmetry initial value

3 全局指數(shù)吸引集及其數(shù)值模擬

下面給出系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集的結(jié)論。

定理1令則當(dāng)V(X(t))≤(Re/5)2,(t≥t0)時,系統(tǒng)(1)有如下的指數(shù)估計式:

特別地,集合

是系統(tǒng)(1)的全局指數(shù)吸引集。

當(dāng)參數(shù)Re＝120時,系統(tǒng)(1)的最終界估計的計算機(jī)仿真如圖5所示。由圖5可以看出,系統(tǒng)的狀態(tài)變量的數(shù)值模擬和理論估計結(jié)果吻合比較好。

圖5 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子的最終界Fig.5 The ultimate bound of system(1)

為了清楚理論估計和仿真模擬計算結(jié)果的比較,具體情況如表1所列。由表1可以看出,不僅仿真模擬計算結(jié)果全部落入全局指數(shù)吸引集內(nèi),而且各個狀態(tài)變量在長時間的運動行為中也表現(xiàn)出很強(qiáng)的對稱性,這也符合混沌系統(tǒng)的全局有序性和局部混亂性的特點。

表1 系統(tǒng)(1)的界估計值Table 1 The bounds for system(1)

4 結(jié)論

基于系統(tǒng)(1)的參數(shù)敏感性,討論了其運動軌線的變化情況,詳細(xì)闡述了隨著參數(shù)變化系統(tǒng)的動力學(xué)行為變化及其混沌吸引子的形成機(jī)制。結(jié)合Lyapunov指數(shù)譜圖和在對稱初值下的分岔圖,研究了參數(shù)Re變化時系統(tǒng)(1)的部分動力學(xué)行為和全局指數(shù)吸引集,并且通過計算機(jī)數(shù)值計算驗證了系統(tǒng)(1)的全局指數(shù)吸引集的正確性。這些結(jié)論不僅為系統(tǒng)(1)的混沌同步和混沌控制提供理論依據(jù),也為電子電路的實現(xiàn)及其在通信工程等方面的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

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Chaotic Characteristics Analysis of a Lorenz-like System

Yin Shehui,Tang Zhihao
(Henan Polytechnic Institute,Nanyang473000,China)

By theory and numerical simulation,analyze nonlinear characteristic and part dynamics behavior of multi-dimensions Lorens super chaotic system.From symmetry,dissipativeness,space phase diagram, Poincare map and bifurcation diagram,this text presents dynamic characteristic of system and discusses formation mechanism problem of chaos attractor.The achieved overall index attracting collection of system and numerical calculation of computer not only verifies conclusion,but also offer theory basis for chaos control and chaos synchronization.

Lorenz chaos system;Fork;Dissipativeness;Overall index attracting collection

O357.1;O241.82

:A

:1004-0366(2016)05-0034-04

2015-09-10;

:2015-10-14.

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)計劃項目(142300410416).

尹社會(1979-),男,河南沈丘人,講師,研究方向為非線性動力學(xué)和混沌控制.E-mail:hnzkny＠126.com.

Yin Shehui,Tang Zhihao.Chaotic Characteristics Analysis of a Lorenz-like System[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(5):34-37.[尹社會,湯志浩.一個類Lorenz系統(tǒng)的混沌特性分析[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28 (5):34-37.]

10.16468/j.cnkii.ssn1004-0366.2016.05.009.