田 冷， 申智強(qiáng)， 王 猛， 潘少杰， 肖 聰， 董力琿

( 1. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； 2. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249 )

基于滑脫、應(yīng)力敏感和非達(dá)西效應(yīng)的頁巖氣壓裂水平井產(chǎn)能模型

田 冷1,2， 申智強(qiáng)1,2， 王 猛1,2， 潘少杰1,2， 肖 聰1,2， 董力琿1,2

( 1. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； 2. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249 )

基于頁巖氣藏壓裂水平井三線性流模型，考慮頁巖氣滑脫效應(yīng)，分析頁巖氣的吸附、天然裂縫的應(yīng)力敏感和人工裂縫的非達(dá)西效應(yīng)，建立頁巖氣產(chǎn)能模型，運(yùn)用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，繪制無因次產(chǎn)量遞減曲線。結(jié)果表明：頁巖氣的流動階段分為人工裂縫中不穩(wěn)定線性流階段、人工裂縫和微裂縫的雙線性流階段、微裂縫中不穩(wěn)定線性流階段、微裂縫和基質(zhì)的雙線性流階段、基質(zhì)中線性流動階段、邊界流階段；如果忽略滑脫效應(yīng)，將導(dǎo)致頁巖氣產(chǎn)能預(yù)測產(chǎn)生誤差。當(dāng)頁巖基質(zhì)孔隙直徑小于20 nm時(shí)，滑脫效應(yīng)造成的產(chǎn)量增加5%～25%。該結(jié)果對于認(rèn)識頁巖氣藏水平井產(chǎn)能遞減規(guī)律具有指導(dǎo)意義。

頁巖氣； 水平井； 納米孔隙； 滑脫效應(yīng)； 應(yīng)力敏感效應(yīng)； 非達(dá)西滲流

0 引言

氣體的滑脫效應(yīng)是指氣體在介質(zhì)孔道中出現(xiàn)在孔壁處的氣體分子，沿著孔壁方向作定向運(yùn)動，在孔壁處的流速值不為零的現(xiàn)象。對于常規(guī)儲層，巖石孔隙較大，天然氣流動產(chǎn)生的滑脫效應(yīng)很弱，可以忽略不計(jì)[1]。頁巖儲層[2-4]的孔隙是納米級別，其滑脫效應(yīng)較常規(guī)儲層的明顯，如果忽略滑脫效應(yīng)，將對頁巖氣的產(chǎn)能預(yù)測造成較大的誤差[5]。

頁巖儲層一般被簡化為雙重孔隙或三重孔隙模型。Barenblatt G I等提出頁巖氣雙孔擬穩(wěn)態(tài)流動模型[6]；Warren J E[7]等對該模型加以完善，提出不穩(wěn)定滲流模型，但未考慮頁巖氣解吸和擴(kuò)散影響。Kucuk F等[8]基于Warren-Root雙孔模型，建立頁巖氣藏非穩(wěn)態(tài)解析模型，但是未考慮頁巖氣吸附特性，使用數(shù)值模擬方法證明吸附態(tài)頁巖氣的存在。Carlson E S等將頁巖氣解吸和擴(kuò)散流動特性耦合于常規(guī)雙孔介質(zhì)模型，建立考慮吸附、解吸和擴(kuò)散的頁巖氣藏滲流模型[9]，但是將頁巖氣的垂直裂縫井簡化為無限大半徑的非壓裂直井，求得的壓力響應(yīng)并不能反映垂直裂縫井的流動特征。Ozkan E等研究頁巖基質(zhì)中氣體向天然裂縫網(wǎng)絡(luò)的流動機(jī)理，考慮頁巖氣在基質(zhì)中同時(shí)存在滲流和擴(kuò)散作用的雙重機(jī)制，建立雙重機(jī)制雙孔模型[10]，分析頁巖氣在儲層中的流動，但是忽略吸附氣的存在。王海濤[11]等基于頁巖氣雙孔球形流模型，考慮頁巖氣解吸、擴(kuò)散和微裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)影響，但是將人工裂縫視為無限導(dǎo)流裂縫，與實(shí)際頁巖氣藏壓裂水平井流動方式不符。El-Banbi A H提出線性三孔模型[12]，給出拉普拉斯空間解，但是未考慮頁巖氣解吸和擴(kuò)散影響。Alahmadi H A基于水平井的三孔線性流模型，建立考慮頁巖氣的吸附、解吸及擴(kuò)散影響的新模型[13]，但是未考慮微裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)。田冷等[14]在文獻(xiàn)[13]模型的基礎(chǔ)上，考慮微裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)和近井筒的高速非達(dá)西效應(yīng)，但是假設(shè)頁巖氣在基質(zhì)中的流動為分子擴(kuò)散，并未考慮頁巖氣的滑脫效應(yīng)。郭小哲[15]等考慮頁巖氣滑脫效應(yīng)和吸附、解吸的影響，建立頁巖氣的產(chǎn)能模型，但是未考慮微裂縫的應(yīng)力敏感效應(yīng)和人工裂縫的非達(dá)西效應(yīng)。

基于頁巖納米孔隙的滑脫流動，筆者考慮頁巖氣的吸附、天然裂縫的應(yīng)力敏感和人工裂縫的非達(dá)西效應(yīng)，建立頁巖氣產(chǎn)能模型，應(yīng)用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，并繪制頁巖氣產(chǎn)能遞減曲線。

1 產(chǎn)能模型

假設(shè)條件：(1)矩形封閉地層中心一口水平井定壓生產(chǎn)[16]，初始地層壓力為pi；(2)頁巖儲層為三重介質(zhì)，分別為基質(zhì)、微裂縫和人工裂縫；(3)氣體的流動為三線性流，即氣體先從基質(zhì)向天然裂縫進(jìn)行線性流動，然后由天然裂縫向人工裂縫進(jìn)行線性流動，最后通過人工裂縫向井筒供氣；(4)基質(zhì)的流動為滑脫流動，考慮氣體的滑脫效應(yīng)；(5)人工裂縫具有有限導(dǎo)流能力[17]，考慮人工裂縫非達(dá)西流動和天然裂縫應(yīng)力敏感效應(yīng)；(6)所有的介質(zhì)為均質(zhì)且各向同性；(7)頁巖氣解吸滿足Langmuir等溫吸附方程；(8)不考慮重力和毛細(xì)管力的影響。

圖1 水平井多級壓裂三線性滲流的理論模型

1.1 滑脫效應(yīng)

頁巖基質(zhì)孔隙為納米孔隙，橫截面小，從而產(chǎn)生氣體滑脫效應(yīng)。判斷氣體在不同尺度的流動通道內(nèi)的流動是否存在滑脫效應(yīng)，是由克努森數(shù)決定的。克努森數(shù)Kn為氣體的平均自由程λ與孔隙直徑d之比[5]：

(1)

(2)

式中：kB為玻爾茲曼常數(shù)，kB=1.380 5×10-23J/K；T為溫度；δ為碰撞分子直徑；p為壓力。

當(dāng)Kn≤1×10-3時(shí)，氣體在微孔隙中的流動為黏性流，即達(dá)西流動；當(dāng)1×10-310時(shí)，為自由分子流。

假定某一頁巖氣藏溫度為353 K，利用式(1-2)計(jì)算不同壓力條件下、CH4在不同孔隙中流動時(shí)的克努森數(shù)，判斷不同流態(tài)的界限，如孔隙直徑為10～100 nm的頁巖儲層，在20～50 MPa壓力內(nèi)屬于滑脫流動[5]。

通常用Klinkenberg方程描述氣體的滑脫效應(yīng)，Klinkenberg L J引入表觀滲透率修正滑脫效應(yīng)的影響[18]：

(3)

式中：Kb為氣體表觀滲透率；K∞為等效液體滲透率；c≈1。

引入滑脫效應(yīng)修正系數(shù)τ，令

(4)

一般將滑脫效應(yīng)修正系數(shù)τ作為常數(shù)，但是τ為關(guān)于壓力的函數(shù)，得到氣體滲流速度與滑脫效應(yīng)的關(guān)系：

(5)

式中：υ為氣體滲流速度；μ為氣體黏度。

1.2 應(yīng)力敏感效應(yīng)

應(yīng)力敏感效應(yīng)的擬壓力表達(dá)式[19-20]為

(6)

式中：K為考慮應(yīng)力敏感的地層滲透率；Ki為原始地層滲透率；β為應(yīng)力敏感系數(shù)；Ψi為原始地層擬壓力；Ψ為地層擬壓力。

1.3 非達(dá)西效應(yīng)

非線性滲流二項(xiàng)式表征為

(7)

引入非達(dá)西流動效應(yīng)修正系數(shù)ζ，則式(7)可以簡化為

(8)

(9)

1.4 吸附效應(yīng)

采用Langmuir等溫吸附方程描述頁巖氣的吸附、解吸過程[21-22]：

(10)

對式(10)進(jìn)行擬壓力處理，有

(11)

式中：VE為平衡吸附濃度；pL為蘭格繆爾壓力；VL為蘭格繆爾吸附體積；ΨL為蘭格繆爾擬壓力。

1.5 數(shù)學(xué)模型

從巖石表面解析出來時(shí)，頁巖氣由基質(zhì)向天然裂縫及天然裂縫向人工裂縫的竄流為不穩(wěn)定竄流，由連續(xù)性方程可以分別推導(dǎo)基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的滲流微分方程。

1.5.1 滲流方程

(1)基質(zhì)

(12)

其中：

(13)

(2)天然裂縫

(14)

(3)人工裂縫

(15)

式(13-15)中：Ψm、Ψf、ΨF分別為基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的擬壓力；φm、φf、φF分別為基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的孔隙度；μm、μf、μF分別為基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的黏度；Ctm、Ctf、CtF分別為基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的綜合壓縮系；Kmi、Kfi、KF分別為基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫的滲透率；t為時(shí)間；psc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的壓力；Tsc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的溫度；x、y、z為距離，其中z方向平行于y；Lf為天然裂縫之間的距離；LF為人工裂縫之間的距離。

1.5.2 無因次量

(1)壓力

(16)

(2)時(shí)間

(17)

(3)儲容比

(18)

(4)裂縫導(dǎo)流能力比

(19)

(5)竄流系數(shù)

(20)

(6)應(yīng)力敏感系數(shù)

βD=β(Ψi-Ψwf);

(21)

(7)初始擬壓力

(22)

(8)蘭格繆爾擬壓力

(23)

(9)蘭格繆爾體積

(24)

(10)產(chǎn)量

(25)

(11)距離

(26)

式(16-26)中：Acw為井筒泄流面積，Acw=2Lh，L為井筒長度，h為地層厚度；qsc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氣體流量；Ψwf為井底擬壓力。

1.5.3 綜合方程

(1)基質(zhì)

(27)

初始條件：ΨDm(zD,0)=0。

內(nèi)邊界條件：zD=1,ΨDm=ΨDf。

(2)天然裂縫

(28)

初始條件：ΨDf(xD,0)=0。

內(nèi)邊界條件：xD=1,ΨDm=ΨDf。

(3)人工裂縫

(29)

初始條件：ΨDF(yD,0)=0。

內(nèi)邊界條件：ΨDF(0,tD)=1。

2 產(chǎn)能模型求解

式(27-29)是關(guān)于擬壓力的強(qiáng)非線性偏微分方程，采用數(shù)值方法求解。首先利用全隱式有限差分法將方程離散，然后采用牛頓—拉普森迭代法進(jìn)行數(shù)值求解。

2.1 基質(zhì)

(30)

2.2 天然裂縫

(31)

2.3 人工裂縫

(32)

式(30-32)中：i、j、k分別為x、y、z方向上的網(wǎng)格標(biāo)號。

3 產(chǎn)能遞減曲線

某頁巖氣藏基本參數(shù)見表1，應(yīng)用牛頓—拉普森迭代法數(shù)值求解產(chǎn)量模型，繪制產(chǎn)量遞減曲線(見圖2)。

圖2 某頁巖氣藏?zé)o因次產(chǎn)量、時(shí)間的雙對數(shù)典型曲線及流動階段劃分

根據(jù)某頁巖氣藏?zé)o因次產(chǎn)量和時(shí)間的雙對數(shù)典型曲線的斜率，可以將頁巖氣的流動過程劃分為6個(gè)階段：

Ⅰ.人工裂縫中不穩(wěn)定線性流階段，持續(xù)時(shí)間較短，雙對數(shù)曲線斜率為-1/2;

Ⅱ.人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段，雙對數(shù)曲線斜率為-1/4;

Ⅲ.微裂縫中不穩(wěn)定線性流階段，持續(xù)時(shí)間較短，雙對數(shù)曲線斜率為-1/2;

Ⅳ.微裂縫和基質(zhì)中雙線性流階段，雙對數(shù)曲線斜率為-1/4;

Ⅴ.基質(zhì)中線性流動階段，持續(xù)時(shí)間最長，是最主要的流動階段;

Ⅵ.邊界流階段，壓力傳導(dǎo)至邊界，產(chǎn)量急劇下降。

某頁巖氣藏考慮滑脫效應(yīng)和不考慮滑脫效應(yīng)時(shí)無因次產(chǎn)量遞減曲線見圖3。由圖3可知，考慮滑脫效應(yīng)時(shí)，整體曲線上移。在納米孔道中流動時(shí)，頁巖氣分子孔壁處的氣體分子沿著孔壁方向作定向運(yùn)動，孔壁處的流速值并不為零，在宏觀上體現(xiàn)為氣流量更大。

某頁巖氣藏不同孔隙直徑時(shí)滑脫效應(yīng)對無因次產(chǎn)量的影響見圖4。由圖4可知，頁巖基質(zhì)的孔隙直徑越小，曲線越往上移。因?yàn)榭紫吨睆皆叫。撔?yīng)越顯著，基質(zhì)的表觀滲透率也越大。

圖3 考慮滑脫效應(yīng)時(shí)無因次產(chǎn)量遞減曲線Fig.3 Typical curves of considering the influence of slippage effect

圖4 不同孔隙直徑時(shí)滑脫效應(yīng)對無因次產(chǎn)量的影響

Fig.4 Typical curves of different pore diameters the influence of slippage effect

某頁巖氣藏不同孔隙直徑時(shí)滑脫效應(yīng)對氣井產(chǎn)量的影響見圖5。由圖5可知，當(dāng)頁巖基質(zhì)孔隙直徑小于20 nm時(shí)，滑脫效應(yīng)導(dǎo)致的產(chǎn)量增加5%～25%。當(dāng)孔隙直徑小到一定程度時(shí)，頁巖氣在孔隙中的流態(tài)發(fā)生改變，滑脫流動的規(guī)律將不再適用。

圖5 不同孔隙直徑時(shí)滑脫效應(yīng)對氣井產(chǎn)量的影響

4 結(jié)論

(1)基于頁巖納米孔隙的滑脫流動，考慮頁巖氣的吸附、天然裂縫的應(yīng)力敏感和人工裂縫的非達(dá)西效應(yīng)，建立頁巖氣產(chǎn)能模型，用數(shù)值方法繪制無因次產(chǎn)量遞減的典型曲線。

(2)頁巖氣的流動階段分為6個(gè)階段：人工裂縫中不穩(wěn)定線性流階段；人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段；微裂縫中不穩(wěn)定線性流階段；微裂縫和基質(zhì)中雙線性流階段；基質(zhì)中線性流動階段；邊界流階段。

(3)頁巖基質(zhì)孔隙為納米級別，存在滑脫效應(yīng)，如果忽略滑脫效應(yīng)，將導(dǎo)致頁巖氣產(chǎn)能預(yù)測產(chǎn)生誤差。當(dāng)頁巖基質(zhì)孔隙直徑小于20 nm時(shí)，滑脫效應(yīng)造成的產(chǎn)量增加幅度為5%～25%。

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2016-08-10；編輯：任志平

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(U1562102)；中國石油大學(xué)(北京)基金項(xiàng)目(2462015YQ0218)

田 冷(1977-)，男，博士，副教授，主要從事油氣井測試技術(shù)和氣藏工程方面的研究。

TE328

A

2095-4107(2016)06-0106-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.06.012