李彥哲

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

一維廣義Cantor集上擬對稱映射的等價刻畫

李彥哲1,2

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

對滿足幾何正則條件的一維廣義Cantor集之間的擬對稱映射，給出等價刻畫.

擬對稱映射；廣義Cantor集；幾何正則

0 引言

擬對稱映射來源于1956年Beurling等[2]對上半平面到其自身的擬共形自同胚的邊界問題的研究.擬對稱映射在一般度量空間中的定義于1980年由Tukia等[3]給出.Vaisala等[4-5]還證明了高維歐氏空間中擬對稱映射與擬共形自同胚是等價的.作為一種同胚，擬對稱映射除了保持集合的拓撲性質(zhì)外，還保持集合的許多度量性質(zhì)和幾何性質(zhì)[1]，在度量空間分析學(xué)中起著重要的作用.

本研究的是分形集上的擬對稱映射，對擬對稱映射對分形集分形維數(shù)的改變的研究是近年來國內(nèi)外學(xué)者研究的一個熱門課題，相關(guān)文章有很多(如文獻[6]).分形集上的擬對稱映射有許多良好的性質(zhì)，所以判斷一個分形集上的映射是否為擬對稱映射是很有必要的，但擬對稱映射的定義比較復(fù)雜，對于一個同胚，判斷其是否為擬對稱映射是比較困難的，我們需要對擬對稱映射進行一些等價刻畫，用一些相對簡單的等價條件來刻畫擬對稱映射.為解決這個問題，1980年Tukia等[3]提出了弱擬對稱映射的概念：如果對于同胚f:X→Y，存在常數(shù)H>0，使得對任意3個不同點a,b,x∈X有，

則稱f為一個弱(H-)擬對稱映射.

易驗證擬對稱映射必是弱擬對稱映射，但反之不然.那么自然就會產(chǎn)生一個問題：擬對稱映射與弱擬對稱映射在什么情況下等價？

關(guān)于這個問題Vaisala[7]和Heinonen[1]給出了連通集上的擬對稱映射與弱擬對稱映射等價的一個條件：連通加倍空間到加倍空間上的擬對稱映射與弱擬對稱映射等價. 但我們遇到的分形集通常是全不連通的，從而我們自然地會有一個問題：連通性可否減弱？但在文獻[8]中可知，即使對于滿足開集條件或強分離條件的自相似集，也不一定成立文獻[7]和[1]中的結(jié)論.為此， Li[8]在2015年導(dǎo)出弱(λ,H)-擬對稱映射的概念，證明了實直線上滿足λ-small gap條件的一維Moran集到加倍空間的擬對稱映射與弱 (λ,H)-擬對稱映射等價；并且對幾何正則的一維Moran集之間的擬對稱映射給出了一個等價刻畫.進一步，我們在2016年將文獻[7]中的第一個結(jié)果推廣到一致完全空間以及一維廣義Cantor集上[8]，得到緊λ-一致完全空間到加倍空間的擬對稱映射以及滿足λ-small gap條件的一維廣義Cantor集到加倍空間的擬對稱映射與弱(λ,H)-擬對稱映射是等價的.一維廣義Cantor集比一維Moran集范圍更廣泛，那么對一維廣義Cantor集之間的擬對稱映射，我們能否像文獻[8]對幾何正則的一維Moran集的一樣，給出等價刻畫呢？本文中對此進行了研究，證明了對于幾何正則的一維廣義Cantor集，也可以進行類似的等價刻畫.

下面，給出本文中的主要結(jié)論：

定理 設(shè)E和E′都是幾何正則的一維廣義Cantor集，f是E到E′的雙射，那么f是擬對稱映射當(dāng)且僅當(dāng)下面3個條件成立：

1)對于所有柱集Eσ，f(Eσ)是既開又閉的集合；

3)L(f(Eσ*i))-L(f(Eσ))≤c對所有σ和i成立，

其中c>0為常數(shù).

本文由下面兩部分構(gòu)成：第一部分介紹一些預(yù)備知識，包括弱(λ,H)-擬對稱映射，一維廣義Cantor集，幾何正則等定義，以及需要用到的已知引理；第二部分是定理的證明.

1 預(yù)備知識

定理的證明需要用到弱(λ,H)-擬對稱映射，給出其定義：

定義1.1[7](弱(λ,H)-擬對稱映射) 設(shè)X和Y為兩個度量空間，f為X到Y(jié)的同胚，若存在常數(shù)λ>0及H>0，使得任意3個不同點a,b,x∈X都滿足

則稱f為一個弱(λ,H)-擬對稱映射.

注：當(dāng)λ=1時，弱(λ,H)-擬對稱映射與弱(H-)擬對稱映射等價；(η-)擬對稱映射都是弱(λ,η(λ))-擬對稱映射; 當(dāng)λ>1時，弱(λ,H)-擬對稱映射都是弱(H-)擬對稱映射；當(dāng)0<λ<1時，弱(H-)擬對稱映射都是弱(λ,H)-擬對稱映射.

定義1.2[9](一維廣義Cantor集) 設(shè)J?是閉區(qū)間，J的閉區(qū)間族F={Jσ：σ∈Ω}稱為具有廣義Cantor結(jié)構(gòu)，若它滿足：

記?{J，nk}為所有滿足i)ii)iii)的一維廣義Cantor集族.

本文中，我們假設(shè)對?σ∈Ωk，k≥0，Jσ*1，Jσ*2，…，Jσ*nk+1從左至右排列.如果Jσ*1，Jσ*2，…，Jσ*nk+1不是從左至右排列，我們也可以類似證明本文中的結(jié)論.

注：直線上滿足開集條件的自相似集是一類特殊的一維廣義Cantor集，一維Moran集也是一類特殊的一維廣義Cantor集，與一維Moran集相比，一維廣義Cantor集去掉了上下兩級基本區(qū)間長度比的限制，一維廣義Cantor集E的k階基本區(qū)間Jσ與包含在Jσ中的任意k+1階基本區(qū)間Jσ*i(1≤i≤nk+1)的長度比與階數(shù)k無關(guān).

下面引入一個重要定義：small gap條件.

則稱E滿足(λ-)small gap條件，其中diam表示集合的直徑.

引理1.1[6]設(shè)E為滿足(λ-)small gap條件一維廣義Cantor集，λ≥1，Y為加倍空間，則映射f:E→Y是擬對稱映射當(dāng)且僅當(dāng)存在H>0，使得f是弱(λ,H)-擬對稱映射.

定義1.4(幾何正則) 如果E∈? {J，nk}滿足c*>0且δ*>0，則稱一維廣義Cantor集E為幾何正則的.

如果存在兩度量空間X與Y之間的擬對稱雙射，則稱X與Y擬對稱等價.David和Semmes[9]得到了: 兩加倍、一致完全且一致不連通的緊度量空間是擬對稱等價的.幾何正則的一維廣義Cantor集是緊集，并且是加倍、一致完全且一致不連通的，所以任意兩個幾何正則的一維廣義Cantor集之間一定存在擬對稱雙射，本文中的定理給出了這些擬對稱雙射的等價刻畫.

為了后面的證明方便，我們給出以下幾個記號：設(shè)E∈? {J，nk}是幾何正則的一維廣義Cantor集，對任意σ∈Ω，記Eσ=E∩Jσ，我們稱Eσ為E的柱集.由δ*>0得柱集是即開又閉的集合.設(shè)A?E，定義：

2 定理的證明

必要性的證明：因為Eσ是柱集，所以Eσ既開又閉，又因為f為擬對稱映射，則f是一個拓撲同胚，所以f(Eσ)既開又閉，i)成立.

為證明ii)，取x,a∈Eσ以及b∈EEσ使得

(1)

從而有

另一方面，取τ使得x,b∈Eτ和x∈Eτ*i″,b∈Eτ*j″(i″≠j″)，注意到Eσ?Eτ，我們有

得到

(2)

為證明iii)，取x,b∈Eσ*i以及a∈Eσ，使得

從而

(3)

(4)

由(3)-(4)式，利用f為(η-)擬對稱映射，得到

從而

(5)

(6)

由L的定義，我們有

(7)

(8)

注意(8)式中我們用到了條件 ii)和iii).

若E不是端點正則，我們考慮結(jié)構(gòu)與E相近的端點正則一維廣義Cantor集F，先構(gòu)造滿足本文中定理條件的雙射g:F→E′，再驗證g是擬對稱映射，最后通過g與f的關(guān)系來證明f是擬對稱映射.分析如下：

若E∈? {J，nk}，其壓縮比和間隔比下界分別為c*和δ*，考慮F∈? {I，nk}，其中I?=I=J，且對任意σ∈Ωk-1(k≥1)滿足：

1)Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*nk為從左至右排列的Iσ的閉子區(qū)間；

2)Iσ*1與Iσ左端點重合且Iσ*nk與Iσ右端點重合；

3)dist(Iσ*i,Iσ*(i+1))=dist(Iσ*(i+1),Iσ*(i+2))對任意1≤i≤nk-2成立；

設(shè)g=f。π：F→E′,則由π的定義及f滿足本文中定理的條件i)ii)iii)，得到g滿足本文中定理的條件i)ii)iii)，又因為一維廣義Cantor集F端點正則，所以g是擬對稱映射.又因為f=g。π-1為兩擬對稱映射的復(fù)合映射，所以f是擬對稱映射.這樣就完成了定理充分性的證明.

致謝 感謝華南理工大學(xué)吳敏教授和熊瑛副教授在論文撰寫中給予的指導(dǎo)和幫助.

[1] Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces[M]. New York:Universitext Springer-Verlag, 2001.

[2] Beurling A, Ahlfors L. The boundary correspondence under quasiconformal mappings[J]. Acta Math, 1956,96: 125-142.

[3] Tukia P,Vaisala J.Quasisymmetric embeddings of metric spaces[J].Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math,1980,5(1):97-114.

[4] Heinonen J, Koskela P.Definitions of quasiconformal mappings[J]. Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math, 1995,120(1):61-79.

[5] Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings[M]. Berlin-New York:Lectures notes in Mathmatics (volume 229 of Springer-Verlag), 1971.

[6] Li Y Z, Yang J J. On the equivalence of weak quasisymmetry and quasisymmetry on non-connected sets[J], J Math Anal Appl, 2016,435(2):1400-1409.

[7] Vaisala J. The free quasiworld. Freely quasiconformal and related maps in Banach spaces[J]. Polish Acad Sci, 1999,48:55-118.

[8] Li Y Z. Quasisymmetric mappings on Moran sets[J].Acta Mathematica Sinica:English Series, 2015,9(31): 1424-1434.

[9] David G, Semmes S. Fractured fractals and broken dreams,volume 7 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications[M]. New York:The Clarendon Press Oxford University Press, 1997.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The equivalence of quasisymmetric mappings on 1-dimensional Cantor-like sets

LI Yanzhe

(College of Mathematics and Information Science， Guangxi University， Nanning 530004， China;College of Mathematics，South China University of Technology， Guangzhou 510641， China)

We gave a equivalent condition to the quasisymmetic mappings between two 1-dimensional geometrically regular Cantor-like sets.

quasisymmetic mapping; Cantor-like sets; geometrically regular

2016-05-15

國家自然科學(xué)基金天元基金(11626069)、廣西大學(xué)科研基金(XJZ150827)資助

李彥哲(1986-)，男，博士，講師，E-mail: lyzkbm@163.com

1000-2375(2017)01-0087-06

O174.12

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.01.017