南京醫(yī)科大學(xué)康達(dá)學(xué)院理學(xué)部數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教研室（222000） 丁 勇

·學(xué)術(shù)討論·

隨機(jī)誤差對(duì)線性回歸相關(guān)系數(shù)的影響

南京醫(yī)科大學(xué)康達(dá)學(xué)院理學(xué)部數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教研室（222000） 丁 勇△

相關(guān)系數(shù)是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)重要指標(biāo)。由于研究對(duì)象的不同，相關(guān)系數(shù)的定義也不同。最常用的相關(guān)系數(shù)為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)或Pearson積差相關(guān)系數(shù)［1－3］。在實(shí)際問題中，如果兩個(gè)變量存在線性關(guān)系，但由于觀察或測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免帶有誤差，這些誤差必然對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算產(chǎn)生一定的干擾，這些干擾會(huì)受到什么因素的影響，本文對(duì)此進(jìn)行探討。

方 法

1．相關(guān)系數(shù)公式

顯然，如果沒有隨機(jī)誤差，則x、y的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為1；當(dāng)觀察或測(cè)量數(shù)據(jù)有隨機(jī)誤差時(shí)，相關(guān)系數(shù)將發(fā)生變化。記x、y*的相關(guān)系數(shù)為r，則有［1－3］

根據(jù)公式（5）可得到｜r1｜與lεε、b2和lxx的關(guān)系圖（圖1），理論分析得到的結(jié)果與圖是一致的。

圖1 ｜r1｜與b2lxx、lεε關(guān)系圖

在實(shí)際應(yīng)用中，樣本量n一般不會(huì)很大，此時(shí)，｜r1｜上述這些性質(zhì)是否對(duì)r成立？下面進(jìn)行討論。

由（1）式可知，r大小與直線的截距a無關(guān)，這與r1的性質(zhì)是相同的。

由于b為直線的斜率，故當(dāng)b＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，即y與x是正相關(guān)，當(dāng)b＜0時(shí)，y隨x的增大而減少，即y與x是負(fù)相關(guān)，所以r的符號(hào)應(yīng)該與b相同。但由于誤差的影響，由公式（1）可知，r的符號(hào)可能與b不相同，下面討論發(fā)生這種情況的概率。

由于εi～N（0，σ2），且εi相互獨(dú)立，所以lxε的方差為

計(jì)算機(jī)模擬

自蒙特卡羅方法于20世紀(jì)40年代作為一種獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)模擬方法被提出以來，已在多個(gè)研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［5－6］。下面通過計(jì)算機(jī)模擬，對(duì)公式（6）～（9）進(jìn)行驗(yàn)證。

先隨機(jī)抽?。?．5，10］區(qū)間內(nèi)均勻分布的18個(gè)數(shù)據(jù)，包括端點(diǎn)共20個(gè)數(shù)據(jù)作為x：0．5000 1．07401．4131 3．4909 4．0350 4．2566 4．4100 4．51215．1895 5．2536 5．3097 5．3989 5．4168 5．8319 6．7223 6．8272 7．3483 7．5297 8．1950 10．0000；這批數(shù)據(jù)的lxx＝107．1562。

再設(shè)直線方程為y＝2+bx，并分別考慮b＝± 0．1，±0．5，±1，±3，±5和σ＝1，2，3，5的各種情況。

每次模擬用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20個(gè)服從N（0，σ2）分布的隨機(jī)數(shù)εi作為隨機(jī)誤差，再取yi＝2+bxi+εi（i＝1，2，…，20）。

每種情況共進(jìn)行10000次模擬，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1，其中p1表示b和r同號(hào)的概率，根據(jù)公式（6）或（7）計(jì)算；p2表示的概率，根據(jù)公式（8）或（9）計(jì)算；f1和f2分別表示10000次模擬中，b和r同號(hào)的頻率和的頻率。由于b＝－0．1，－0．5，－1，－3，－5結(jié)果與b＝0．1，0．5，1，3，5的結(jié)果幾乎相同，故從略。

由表1可知，當(dāng)b較大或誤差較小時(shí)，b和r同號(hào)的概率很大。

表1 b和r同號(hào)和的概率、頻率統(tǒng)計(jì)表（10000次模擬，lxx＝107．1562）

表1 b和r同號(hào)和的概率、頻率統(tǒng)計(jì)表（10000次模擬，lxx＝107．1562）

b σ＝1p1f1p2f2σ＝2p1f1p2f2 0．1 0．8497 0．8472 0．8262 0．8258 0．6976 0．70310．6928 0．6890 0．5 1 1 0．9892 0．9930 0．9952 0．9951 0．9601 0．9608 1 1 1 0．9959 0．9985 1 1 0．9892 0．9923 3 0．9977 0．9991 1 1 0．9970 0．9990 5 1 1 0．9979 0．9996 1 1 0．9976 0．9993 1 1bσ＝3p1f1p2f2σ＝5p1f1p2f2 0．1 0．6350 0．6291 0．6334 0．6402 0．5820 0．58590．5816 0．5757 0．5 0．9578 0．9579 0．9161 0．9148 0．8497 08502 0．8262 0．8262 1 0．9997 0．9991 0．9772 0．9815 0．9808 0．9822 0．9392 0．9375 3 1 1 0．9959 0．9981 1 1 0．9920 0．9953 5 1 1 0．9972 0．9988 1 1 0．9959 0．9988

討 論

在實(shí)際問題應(yīng)用中，如果計(jì)算得到兩個(gè)變量之間相關(guān)性不大，可能的原因是兩者之間真的相關(guān)性不大；根據(jù)本文分析，也可能是測(cè)量的隨機(jī)誤差所造成，此時(shí)，提高測(cè)量精度和數(shù)據(jù)質(zhì)量，可以提高相關(guān)性。

兩個(gè)或多個(gè)變量的相關(guān)分析有著廣泛的應(yīng)用，相關(guān)系數(shù)是相關(guān)分析的一個(gè)重要指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)的大小直接影響統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論。因此，分析對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響因素，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。本文推導(dǎo)了直線回歸中有誤差數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)公式（1）和大樣本的較簡(jiǎn)單的近似公式（3），并分析了影響相關(guān)系數(shù)的因素。由（1）式和（4）式可知，相關(guān)系數(shù)的大小與直線的截距無關(guān)，這與我們的直觀理解是一致的，截距的作用體現(xiàn)在散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)點(diǎn)向上或向下平移的距離，不影響自變量和因變量的相關(guān)性。

公式（3）比較簡(jiǎn)單，通過理論分析即可得到相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值與｜b｜、σ和lxx的關(guān)系，公式（1）相對(duì)復(fù)雜一些，我們用計(jì)算機(jī)模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。由本文的討論可知，隨機(jī)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算產(chǎn)生直接的干擾，隨機(jī)誤差越大，相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越小，｜b｜和x的離差平方和lxx在一定程度上對(duì)數(shù)據(jù)誤差的干擾又有一定的影響，｜b｜和lxx越大，會(huì)減少隨機(jī)誤差的干擾。實(shí)際問題中，兩變量之間存在線性關(guān)系是客觀存在的，我們無法改變｜b｜，但通過本文的分析，我們知道較大的｜b｜對(duì)誤差有一定的抗干擾作用；另一方面，在科研設(shè)計(jì)中，我們可以確定自變量的取值，通過加大自變量的離差來控制或減少誤差的影響。

對(duì)誤差性質(zhì)進(jìn)行分析，減少誤差的影響，有助于提高研究問題的精確度和準(zhǔn)確度［7］。本文是在x為非隨機(jī)變量的情況下得到的結(jié)果，如果x為隨機(jī)變量，問題的分析要復(fù)雜得多，但在實(shí)際應(yīng)用中，往往將x作為非隨機(jī)的情況來處理，對(duì)此做法有兩點(diǎn)解釋：一是可以把分析推斷作為“條件化”的結(jié)論，二是如果（x，y）聯(lián)合分布為正態(tài)，則x是否被看成隨機(jī)的都無關(guān)緊要，有關(guān)研究可參看文獻(xiàn)［8］。

［1］孫振球，徐勇勇．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)．第4版．北京：人民衛(wèi)生出版社，2014：314-351，131-154．

［2］徐維超．相關(guān)系數(shù)研究綜述．廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29（3）：12-17．

［3］徐曉嶺，王蓉華．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．上海：上海交通大學(xué)出版社，2013：513-521．

［4］蘇勇，熊斌．不等式的解題方法與技巧．上海：華東師范大學(xué)出版社，2012：30．

［5］李劍龍，陳方堯，李丹玲，等．具有相關(guān)關(guān)系的靈敏度和特異度的Monte Carlo模擬方法研究．中國衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，2015，32（3）：417-420．

［6］劉成友，丁勇．相對(duì)誤差直線回歸模型兩種參數(shù)估計(jì)方法的比較．中國衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，2012，29（5）：1-3．

［7］丁勇．誤差絕對(duì)值的統(tǒng)計(jì)特征和應(yīng)用．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2016：39-46

［8］陳希孺，王松桂．近代回歸分析．合肥：安徽教育出版社，1987．

（責(zé)任編輯：鄧 妍）

△通信作者：丁勇，E-mail：yding＠nimu．edu．cn