程煌

【考綱分析】（1）正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.（2）應(yīng)用：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

【考點(diǎn)分析】

上表是近十年新課標(biāo)全國(guó)卷數(shù)學(xué)高考三角函數(shù)考點(diǎn)分布，由此表可以看出，考查重點(diǎn)是解三角形、圖像平移與性質(zhì)、三角恒等變換等方面；在題量上，近十年一般是一道大題與兩道小題 （填空題或選擇題） 或一大一小的格局，有少數(shù)理科考卷只配置兩道小題，就解三角形來(lái)看，一般出現(xiàn)在解答題第一題或者填空題最后一題，與性質(zhì)或恒等變換相比，學(xué)生普遍感覺(jué)難度更大.故本文就高考常見(jiàn)的解三角形題型及其解法作一淺析.

【題型分析】

題型一：靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化

（一）靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而達(dá)到解三角形的目的.

解三角形的問(wèn)題，本質(zhì)就是求三角形的邊或角的問(wèn)題，應(yīng)充分利用正余弦定理，恰當(dāng)進(jìn)行邊與角的互化，從而求出邊，角，周長(zhǎng)，面積或者判斷出三角形形狀.

例1. △ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C.

【分析】（1）邊角互化. 本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用，給出兩個(gè)公式，一個(gè)是邊的關(guān)系，一個(gè)角的關(guān)系，而求解的為角，因此要找到角的關(guān)系式為好. 故自然可想到將a=2c利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系：sinA=2sinC.

（2）方程組思想. 得到兩角的二元一次方程組，自然很容易得到sinC的值.

【易錯(cuò)點(diǎn)】①方法一中由sin 2A=sin 2B直接得到A=B，其實(shí)考生忽略了2A與2B互補(bǔ)的情況，由于計(jì)算問(wèn)題出錯(cuò)而結(jié)論錯(cuò)誤.方法二中由c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）不少同學(xué)直接得到c2=a2+b2，其實(shí)是考生忽略了a2-b2=0的情況，由于化簡(jiǎn)不當(dāng)致誤.

②結(jié)論表述不規(guī)范.正確結(jié)論是△ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少考生回答為：等腰直角三角形.

題型二：正余弦定理與平面幾何相結(jié)合，從而達(dá)到解三角形的目的.

這類(lèi)題題目簡(jiǎn)潔明了，圖形簡(jiǎn)單，是近幾年高考的熱點(diǎn)，但學(xué)生普遍反映三角函數(shù)中最害怕的就是這類(lèi)題.沒(méi)有直接告訴邊角關(guān)系，而是給出幾何圖形，需要我們自己去尋找“突破口”，即分析應(yīng)該從哪些三角形入手去尋找邊角關(guān)系，從而達(dá)到目的.下面通過(guò)一題重點(diǎn)分析這類(lèi)題型常見(jiàn)解法：

（三）數(shù)形結(jié)合思想求最值

例9. 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

【分析】此題直接邊角互化求解很困難，特殊化是解決填空題的一種合情推理的方法，合理運(yùn)用可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程中不能忘記重要的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合.但多數(shù)考生未能想到這一解法，這表明考生的合情推理能力的訓(xùn)練仍要加強(qiáng).

【解析】如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，（1）當(dāng)A，D，E重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30° BC=2，由正弦定理可解得：BE=+. （2）當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，同理由正弦定理得：BF=-，故AB的取值范圍為（-，+）.

變式：在平面四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，則線(xiàn)段AC長(zhǎng)度的取值范圍是 .

參考答案： [， 2].

題型四：解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例10. 如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn). 從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)得∠MCA=60°. 已知山高BC=100m，則山高M(jìn)N=________m.

【分析】正余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)的最終目的是為了應(yīng)用于實(shí)際生活，遇到生活中的問(wèn)題，我們可抽象出數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用定理去解決.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)與能力是課程標(biāo)準(zhǔn)的明確要求，應(yīng)用題是高考中的必考題型.三角函數(shù)是除概率之外出應(yīng)用題的較好載體，在概率大題難以推陳出新時(shí)，三角函數(shù)就成為應(yīng)用題的較好選擇.三角函數(shù)應(yīng)用題，一般是選擇角為變量，通過(guò)建立三角函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)來(lái)處理問(wèn)題.三角函數(shù)應(yīng)用題還可以與其他知識(shí)，如導(dǎo)數(shù)與不等式等結(jié)合，擴(kuò)大考查的深度與廣度，這一單元的復(fù)習(xí)，三角函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)對(duì)待.

此題實(shí)際可以抽象為一個(gè)立體幾何模型，分析題意發(fā)現(xiàn)已知角很多，但是邊長(zhǎng)只有BC的長(zhǎng)，所以應(yīng)該從BC所在的三角形入手，解出AC的長(zhǎng)，從而在△ACM中，可解出AM的長(zhǎng)度從而在Rt△AMN中解出MN的長(zhǎng)度.

【解析】在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，所以AC=100，在△ACM中，∠MAC=75° ∠MCA=60°，由正弦定理可得AM=100，在Rt△AMN中，可解得MN=150.

【總結(jié)】解三角形相關(guān)問(wèn)題，主要是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.正弦定理是一個(gè)關(guān)于邊角關(guān)系的連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)只要知道其比值或者等量關(guān)系就可以通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目；運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用以及與基本不等式的綜合應(yīng)用；對(duì)于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問(wèn)題，一般應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么把它統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么把它統(tǒng)一為角的關(guān)系，再利用三角形的有關(guān)知識(shí)，三角恒等變形方法，代數(shù)恒等變形方法等進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)，從而得出結(jié)論.解決正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)注意根據(jù)具體情況引入未知數(shù)，運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題.在解決問(wèn)題的時(shí)候，不要忘記數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，在處理客觀題訓(xùn)練時(shí)，可適當(dāng)合情推理.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)