江蘇省海門市悅來初級中學(xué) 楊衛(wèi)東

展示數(shù)學(xué)思維過程 優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)進程

江蘇省海門市悅來初級中學(xué) 楊衛(wèi)東

本文主要講解了筆者在課堂教學(xué)中通過精編教學(xué)題鏈、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、激發(fā)群體智慧、貫穿“學(xué)材再建構(gòu)”充分展示教學(xué)思維過程，加強“四基知識”的拓寬和延伸，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生主體性學(xué)習(xí)進程，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。

思維；學(xué)習(xí)；過程

21世紀(jì)的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育不僅要求教師具有淵博的數(shù)學(xué)知識，而且要求教師讓學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”乃至“會用”，即讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，發(fā)展學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用能力。要會學(xué)、會用，最根本的一條就是要求教師在傳授知識中充分展示數(shù)學(xué)思維過程，加強“四基知識”的拓寬和延伸，組編教學(xué)鏈，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生主體性學(xué)習(xí)進程，使數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。

特級教師李庚南在“自學(xué)、議論、引導(dǎo)教學(xué)法”、“優(yōu)化學(xué)習(xí)過程、改善教學(xué)結(jié)構(gòu)”實驗研究的基礎(chǔ)上，繼自身成功之經(jīng)驗，集實踐總結(jié)之精華，及時提出了“學(xué)程導(dǎo)進技藝”和“學(xué)材再建構(gòu)”的教學(xué)教改方法。意在教程與學(xué)程本質(zhì)上是一致的：教法思路就是學(xué)法思路，而且學(xué)程是教程的出發(fā)點和歸宿。旨在讓教與學(xué)緊密結(jié)合，從而優(yōu)化學(xué)生自主性的學(xué)習(xí)進程。何謂學(xué)材？學(xué)材就是指“學(xué)習(xí)的材料”，更是“基于教材而又以教材為最重要組成部分的學(xué)習(xí)的材料”，它還包括一些教學(xué)參考資料、教輔材料、多媒體資料，以及以所學(xué)核心知識為原點的周邊其他一些可以服務(wù)于教學(xué)的有效的資料、材料或信息。學(xué)材應(yīng)包含顯性學(xué)材和隱性學(xué)材?！皩W(xué)材再建構(gòu)”是指師生根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，為了實現(xiàn)學(xué)習(xí)效益的最大化，對各種主客觀性學(xué)材進行主動加工重構(gòu)的過程。筆者結(jié)合自身實踐，總結(jié)如下：

教學(xué)內(nèi)容是教學(xué)活動中最實質(zhì)性的因素，是完成教學(xué)目的的憑借。它是由一定的知識、能力、思想與情感等方面的內(nèi)容綜合組成的體系。教學(xué)過程中，學(xué)生的身心發(fā)展水平、已有的智能結(jié)構(gòu)、個性特點、能力傾向和學(xué)習(xí)前的準(zhǔn)備狀況等，均對教學(xué)活動具有影響。因此，教師只有發(fā)揮主體的創(chuàng)造性，重視教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)揮教材的潛能作用，精編教學(xué)鏈，展示數(shù)學(xué)思維的變化發(fā)展過程，合理地引導(dǎo)學(xué)生進行聯(lián)想，追求變異，有效地培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力，才能提高課堂教學(xué)密度，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，拓展應(yīng)變及應(yīng)用能力，為主體性學(xué)程的形成打下堅實的基礎(chǔ)。

例1 如圖所示，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點。求證AB⊥AC。

分析：

（1）乍看結(jié)論AB⊥AC，學(xué)生頓知應(yīng)證∠BAC＝90°。

（2）習(xí)慣思維促使學(xué)生思索著：∠ABC＋∠ACB＝90°，易證嗎？

筆者在學(xué)生的讀圖、觀察、思考中展示著公切線的性質(zhì)、兩圓的位置特征所能反映的數(shù)學(xué)思維過程，并結(jié)合已有的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法，使問題迎刃而解，學(xué)生的臉上露出了笑容，而且興致一下子高漲起來。

（3）接著，筆者立即從圓周角定理推論（3）入手，讓學(xué)生溫故而知新，并結(jié)合兩圓公切線知識（過A作兩圓內(nèi)公切線），使AB⊥AC的結(jié)論迅速呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。此時學(xué)生情緒更高漲了，知識的興奮點達到了最高點，筆者順勢總結(jié)出“遇相切兩圓，常作公切線”的輔助線常見作法，增強了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能。

為了更好地滿足學(xué)生強烈的求知欲，努力培養(yǎng)學(xué)生的技能技巧，筆者組編了以下教學(xué)鏈：

例1中，設(shè)BC延長線交直線O1O2于P，直線O1O2交⊙O1于F，交⊙O2于E，連接BF。

求證：（1）以BC為直徑的圓與O1O2相切于A點；（2）AC∥FB；（3）BC2＝AF·AE；（4）AB2＝AC·BF；（5）PA2＝PE·PF＝PB·PC；（6）PA2/PC2＝PO2/PO1；（7）設(shè)PA＝6cm,BC=5cm,求PC的長。

以上例題的延伸與拓展，把三角形、平行線、相似三角形、圓、一元二次方程等知識有機地結(jié)合起來，達到了舉一反三，觸類旁通之功效。同時，重視了教學(xué)內(nèi)容，展示了數(shù)學(xué)思維，提高了教學(xué)鏈的應(yīng)用能力。

教學(xué)過程既是一個認識的理性過程，同時也是一個情感的、社會化的非理性過程。教學(xué)中教師要盡可能地挖掘教材內(nèi)涵，展示知識發(fā)展的背景，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫辰虒W(xué)，激發(fā)學(xué)生思維的動機和興趣，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)進程。

例如，學(xué)習(xí)勾股定理這一內(nèi)容時，筆者首先對勾股定理作出簡介：它是一個十分重要而著名的定理，它不僅在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在其他自然學(xué)科中也常常用到，因為我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理稱之為“勾股定理”。在公元前500多年，古希臘人畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，許多人又把它叫做畢達哥拉斯定理。

早在公元前1000年，我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》早已記載著這個定理是商高發(fā)現(xiàn)的，這說明我國發(fā)現(xiàn)這個定理比外國至少早500年。大家就應(yīng)該稱之為“勾股定理”還是“畢達哥拉斯定理”呢？全班同學(xué)異口同聲地高呼“勾股定理”，這不僅激發(fā)了學(xué)生的愛國熱情，同時激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在教師的動畫演示和數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)下，結(jié)合學(xué)生的認真思索，這一定理的順利證明足以說明創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)的重要性。

同時，早在1300多年前，我國古代勞動人民建筑了“線條柔和，構(gòu)造空靈，既穩(wěn)重又輕盈，寓雄偉于秀逸”的趙州石拱橋，筆者介紹它建立的歷史背景和新中國領(lǐng)導(dǎo)人的重視程度，以及作為重點保護文物的思想情境教學(xué)，無疑給垂徑定理、勾股定理的正確合理使用增添了意想不到的推動作用。

再結(jié)合我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它由4個直角邊長為a、b的全等直角三角形中間的小正方形拼成的一個大正方形（如右圖所示）。若大正方形的面積是13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，則小正方形的面積為（ ）。

A.1/2 B.1 C.1/4 D.2

頓時，學(xué)生的興趣感在自我理解和理順中激發(fā)到了最高點。

注重引導(dǎo)學(xué)生參與多邊互動方式的意識性，開發(fā)交流學(xué)習(xí)的潛能，讓智慧交匯，讓思維閃光，讓課堂效率提高，這正是“學(xué)材再建構(gòu)”教學(xué)的宗旨所在。

事實上，師生間、生生間這種互動的多邊性，能活躍課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的表達能力和嚴密的邏輯推理能力，更能使學(xué)生體會小組合作的成功感。

筆者堅持不懈地貫穿“學(xué)材再建構(gòu)”于課堂教學(xué)，集群體智慧于一體，使全體學(xué)生共同參與和開展數(shù)學(xué)思維，真正體現(xiàn)了現(xiàn)代化形勢下的素質(zhì)教育，從而有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

例2 （共探綜合題）如圖所示，已知點A（－4,0）和點B（6,0），第三象限內(nèi)有一點P，它的橫坐標(biāo)為－2，并且滿足條件tan∠PAB·tan∠PBA＝1。（1）求證：△PAB為直角三角形；（2）求過P、A、B三點的拋物線的函數(shù)解析式，并求出拋物線的頂點坐標(biāo)。

分析：

（1）個別學(xué)生的視野緊盯在tan∠PAB·tan∠PBA＝1上，從中挖掘出∠PAB＋∠PBA＝90°，進而得證△PAB為直角三角形。

（2）各小組的討論情況如何呢？

a認為從（1）這個角度出發(fā)思維狹窄，如若不熟悉這兩角之間的關(guān)系，這道題就很難突破。

b認為利用正切的定義是根本，何不借助直角三角形，把tan∠PAB·tan∠PBA＝1轉(zhuǎn)化成邊邊關(guān)系呢？

c認為可證出PD2＝DA·DB，接下來怎么辦呢？

①可證PA2＋PB2＝AB2；

②可證△PDA∽△BDP。

（3）利用群體智慧，得出：利用正切定義，轉(zhuǎn)化線段關(guān)系是常規(guī)思路，證明三角形相似或利用勾股定理逆定理，這是幾何與代數(shù)的辯證統(tǒng)一。

（4）當(dāng)P坐標(biāo)求出時，學(xué)生又產(chǎn)生了兩種方法求二次函數(shù)解析式：

①設(shè)為一般式：y=ax2+bx+c；

②設(shè)為交點式：y=a(x+4)(x-6)。

（5）經(jīng)個人思索，小組討論，全體交流后，一致認為這都是可采用的方法，因為還得求頂點坐標(biāo)。

無疑，展示數(shù)學(xué)思維的過程淋漓盡致，學(xué)生參與的程度越大，那么課堂教學(xué)質(zhì)量的提高也就越快。

數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生曾指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，倒不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程?！笨梢?，展示思維過程的重要性。

眾所周知，在如今素質(zhì)教育的新形勢下，從傳統(tǒng)的“以教師為中心”轉(zhuǎn)向?qū)嵤耙詫W(xué)生為中心”的教學(xué)模式，正是李庚南老師教學(xué)法的目標(biāo)所在，只要我們理論聯(lián)系實際，腳踏實地，認真探索，勤于思考，善于總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，一定能使素質(zhì)教育在實踐中不斷更新、不斷推廣、不斷完善！