杜云飛, 趙 明

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

線性差分方程亞純解的若干性質(zhì)

杜云飛, 趙 明

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

研究了多項(xiàng)式系數(shù)差分方程Pn(z)f(z+n)+…+P1(z)f(z+1)+P0(z)f(z)=0和Pn(z)f(z+n)+…+P1(z)f(z+1)+P0(z)f(z)=F(z)的亞純解的增長性、零點(diǎn)收斂指數(shù)和小函數(shù)之間的關(guān)系, 得到的結(jié)果推廣了相關(guān)的結(jié)論.

差分方程；亞純解；小函數(shù)

復(fù)差分方程是復(fù)分析領(lǐng)域一個(gè)重要的研究方向.Nevanlinna值分布理論引入以來,復(fù)域差分和差分方程逐漸成為一個(gè)熱門的研究課題,尤其是線性差分方程,有許多學(xué)者對(duì)其解的有關(guān)性質(zhì)做了大量研究.本研究在Chiang和Feng的定理A與Chen和Shon的定理C和定理D的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究了相關(guān)差分方程解的增長級(jí)和零點(diǎn)收斂指數(shù)等性質(zhì),對(duì)有關(guān)結(jié)果做了進(jìn)一步推廣.

1 背景及主要結(jié)果

采用亞純函數(shù)Nevanlinna理論的基本概念和符號(hào)[1-3],其中σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長級(jí),λ(f)表示f(z)的零點(diǎn)收斂指數(shù),τ(f)表示f(z)的不動(dòng)點(diǎn)收斂指數(shù),定義如下：

用S(r， f)表示在除去一個(gè)有限線性(對(duì)數(shù))測度集合外滿足r→∞時(shí),S(r， f)=o(T(r， f))的量,一個(gè)亞純函數(shù)α(z)如果滿足T(r，α)=S(r， f)，則稱其為關(guān)于f(z)的小函數(shù).用λ(f(z)-α(z))表示f(z)-a(z)的零點(diǎn)收斂指數(shù),定義如下：

近年來,出現(xiàn)了大量研究復(fù)差分及復(fù)差分方程的文章,如文獻(xiàn)[4-9].Chiang和Feng[10]對(duì)線性差分方程進(jìn)行了研究并且獲得了下面的結(jié)果.

定理A 設(shè)P0(z)，…，Pn(z)是多項(xiàng)式且存在整數(shù)0≤l≤n，使下列條件成立：

(1)

若函數(shù)f(z)是方程

Pn(z)y(z+n)+…+P1(z)y(z+1)+P0(z)y(z)=0

(2)

的亞純解,則其增長級(jí)滿足σ(f)≥1.

Ishizaki 和Yanagihara研究了如下形式差分方程的超越整數(shù)解的增長性:

Qn(z)Δnf(z)+…+Q1(z)Δf(z)+Q0(z)f(z)=0，

(3)

式中:Qn(z)，…，Q0(z)是多項(xiàng)式, Δf(z)=f(z+1)-f(z), Δnf(z)=Δ(Δn-1f(z)), 獲得了下面的定理B.

ln M(r，f)=Lrx(1+o(1)),

式中:有理數(shù)x是牛頓多邊形方程(3)的斜率,L>0是常數(shù),特別地有x>0.

對(duì)比定理A和定理B,可以看出方程(3)可以寫成方程(2)的形式, 但是定理A在條件(1)下確保了方程(2)的所有解滿足σ(f)≥1.而在定理B的條件下,方程(2)可能存在超越亞純解f(Z),滿足σ(f)<1.

Chen[11-12]弱化了定理A中的條件(1)并且得到了下面的結(jié)果：

定理C 設(shè)P0(z)，…，Pn(z)是多項(xiàng)式且滿足PnP0?0及

deg(Pn+…+P0)=max{deg Pj∶j=0，1，…，n}≥1,

(4)

那么對(duì)于方程(2)的任意有限級(jí)亞純解f(z)(0)滿足σ(f)≥1， f(z)取值每一個(gè)非零值a∈C無窮多次且有λ(f-α)=σ(f).

定理D 設(shè)如下方程的系數(shù)F(z)，P0(z)，…，Pn(z)是多項(xiàng)式且滿足FPnP0?0及

Pn(z)y(z+n)+…+P1(z)y(z+1)+P0(z)y(z)=F(z)，

(5)

那么對(duì)于方程(5)的任意有限級(jí)亞純解f(z)滿足σ(f)≥1且有λ(f)=σ(f).

在上面結(jié)論的基礎(chǔ)上近一步研究并對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)和推廣,得到以下主要結(jié)論：

定理1.1 設(shè)P0(z),…,Pn(z)是多項(xiàng)式滿足PnP0?0及deg(Pn+…+P0)=max{deg Pj∶j=0，1，…，n}≥1.

α(z)是σ(α)<1的非零亞純函數(shù), 那么對(duì)于方程(2)的任意有限級(jí)亞純解f(z)(0)取值a(z)無窮多次且有λ(f(z)-α(z))=σ(f(z))≥1.

定理1.2 設(shè)F(z),P0(z),…,Pn(z)是多項(xiàng)式且FPnP0?0, α(z)是σ(α)<1的超越亞純函數(shù),那么對(duì)于方程(5)的任意有限級(jí)亞純解f(z)可以取值α(z)無窮多次且有λ(f(z)-a(z))=λ(f(z))=σ(f(z))≥1.

特別地,在定理1.1中，如果a(z)≡z或者a(z)≡a(∈C{0}),可以得到推論1.1和推論1.2.

推論1.1 設(shè)方程(2)中系數(shù)P0(z),…,Pn(z)是多項(xiàng)式滿足PnP0?0及條件(4),那么對(duì)于方程(2)的任意有限級(jí)亞純解f(z)(0)滿足τ(f)=σ≥1.

推論1.2 設(shè)方程(2)中系數(shù)P0(z),…,Pn(z)是多項(xiàng)式且滿足PnP0?0及條件(4), 那么對(duì)于方程(2)的任意有限級(jí)亞純解f(z)(0)滿足σ(f)≥1,進(jìn)一步地， f(z)可以取每一個(gè)非零值a∈C無窮多次且有λ(f-a)=σ(f).

1.1推論1.2即定理C .

2 引理

引理2.1 設(shè)g(z)是復(fù)平面上σ(g(z))<1的超越亞純函數(shù),h>0,則存在一個(gè)ε-集合E滿足當(dāng)z→∞(z∈CE)時(shí)對(duì)于|c|≤h,一致地有

更進(jìn)一步,集合E可以有選擇地使充分大的z?E滿足g(z)在|ζ-z|≤h中無零點(diǎn)和極點(diǎn).

引理2.2 設(shè)ω是差分方程P(z,ω)=0的超越亞純解,其增長級(jí)為σ(<∞),其中P(z,ω)是關(guān)于ω(z)及其位移的差分多項(xiàng)式.對(duì)于一個(gè)小函數(shù)a(z)即T(r,a)=S(r,ω),如果P(z,a)?0,則在除去一個(gè)有限對(duì)數(shù)測度的集合上有

引理2.3 復(fù)平面上的函數(shù)f(z),如果滿足條件

則稱為超越亞純的.

引理2.4 設(shè)F(z),P0(z),…,Pn(z)是多項(xiàng)式且滿足FPnP0?0,那么對(duì)于方程(2)或者(5)的任意有限級(jí)亞純解f(z),有σ(f(z))≥1.

3 定理的證明

3.1 定理1.1的證明

設(shè)f(z)是方程(2)的有限級(jí)超越亞純解,由定理C的結(jié)論可以得到σ(f(z))≥1.因此,只需要證明λ(f(z)-a(z))=σ(f(z))即可.

令g(z)=f(z)-a(z),由于σ(a)<1,所以g(z)是超越的且滿足σ(g)=σ(f)≥1及S(r,g)=S(r,f).

將f(z)=g(z)+a(z)代入方程(2), 可得K(z,g)=Pn(z)g(z+n)+…+P1(z)g(z+1)+P0(z)g(z)+Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z)=0.所以,有K(z,0)=Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z).

下面證K(z,0)?0成立，分兩種情形：

情形1 當(dāng)a(z)是超越亞純函數(shù)時(shí),如果上述結(jié)論不成立即K(z,0)≡0,由定理C可得σ(a)>1,這與條件σ(a)<1矛盾,故有K(z,0)?0.

情形2 當(dāng)a(z)是有理函數(shù)時(shí), 如果上述結(jié)論不成立即K(z,0)≡0,由條件deg(Pn+…+P0)=max{degPj∶j=0,1,…,n}≥1,可知方程(2)不存在非零常數(shù)解.

設(shè)

(6)

式中:c≠0, cs-1, …, c0, d≠0, dt-1, …, d0是常數(shù), s和t是非負(fù)整數(shù)且滿足s+t≥1.由(6)可得

(7)

Pn(z)α(z)+…+P1(z)α(z)+P0(z)α(z)=0,

(8)

式中:αn(z),…,α0(z)是多項(xiàng)式,

(9)

因?yàn)棣羓(z)的第一項(xiàng)是cdnzs+nt,由方程(8)和方程(9)可知方程(8)的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式, 其次數(shù)為

s+nt+deg{Pn(z)+…+P1(z)+P0(z)}=s+nt+max{deg Pj(z)∶j=0,1,…,n}≥2.

顯然與方程(8)矛盾.因此,方程(2)不存在非零有理解, 即K(z,0)?0.

綜合上述兩種情形可知,

K(z,0)=Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z)?0.

(10)

3.2 定理1.2的證明

假設(shè) f(z)是方程(5)的超越亞純解,由定理D可得λ(f)=σ(f)≥1.只需證明λ(f(z))-a(z))=σ(f(z)).

令g(z)=f(z)-a(z),由于σ(a(z))<1,所以g(z)是超越的且滿足σ(g)=σ(f) ≥1及S(r,g)=S(r, f).將f(z)=g(z)+a(z)代入方程(5), 可得H(z,g)=Pn(z)g(z+n)+…+P1(z)g(z+1)+P0(z)g(z)+Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z)-F(z)=0,從而可得H(z,0)=Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z)-F(z),推斷H(z,0)?0.下面分兩種情形對(duì)此結(jié)論進(jìn)行證明.

情形1 假設(shè)a(z)只有有限多個(gè)極點(diǎn).由σ(a(z))<1和引理2.1可知,存在一個(gè)ε-集合E使得當(dāng)z→∞(z∈CE)時(shí)

a(z+j)=a(z)(1+oj(1)), j=1,2,…,n,

(11)

其中,oj(1)(j=1,2,…,n)滿足當(dāng)z→∞(z∈CE)時(shí)

oj(1)→0.

(12)

設(shè)H={|z|=r∶z∈E,|z|>1},可知H具有有限對(duì)數(shù)測度,將式(11)代入H(z,0)=0,可得當(dāng)z→∞(z∈CE)時(shí),

Pn(z)a(z)(1+on(1))+…+P1(z)a(z)(1+o1(1))+P0(z)a(z)=F(z),

(13)

從而可得

(14)

由于a(z)只有有限多個(gè)極點(diǎn),可得當(dāng)|z|=r?H時(shí),

T(r,a)= m(r,a)+N(r,a)=m(r,a)+O(ln r)=

從而可得T(r,a)=O(ln r), 這與a(z)是超越的相矛盾,所以H(z,0)?0.

情形2 假設(shè)a(z)具有無窮多個(gè)極點(diǎn).如果H(z,0)≡0,由引理2.4可得σ(z(z))≥1,這與σ(z(z))<1矛盾,故H(z,0)?0.

綜合以上兩種情形有

H(z,0)=Pn(z)a(z+n)+…+P1(z)a(z+1)+P0(z)a(z)-F(z)?0.

(15)

由引理2.2可得

(16)

從而

(17)

因此,λ(f(z)-a(z))=σ(f(z)),定理1.2得證.

關(guān)于推論1.1和1.2的結(jié)論很顯然可以得到,此處不再證明.

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Some properties of the meromorphic solutions of linear difference equation

DU Yunfei，ZHAO Ming

(SchoolofMathematicsandSystemsScience,BeihangUniversity,Beijng100191,China)

We investigate the relationship between function of small growth and the order, the exponent of convergence of zeros of the meromorphic solution of difference equations Pn(z)f(z+n)+…+P1(z)f(z+1)+P0(z)f(z)=0 and Pn(z)f(z+n)+…+P1(z)f(z+1)+P0(z)f(z)=F(z), where F(z)，P0(z)，…，Pn(z) are polynomials, which generalize the related results.

difference equation; meromorphic solution; small function

2016-02-26

國家自然科學(xué)基金(11171013；11371225)

杜云飛(1986-),男,河南新鄉(xiāng)人,博士研究生,主要從事復(fù)分析及其應(yīng)用方面的研究.

O174.52

A

1674-330X(2016)02-0076-05