劉樂然

摘要：當面臨多個選擇時，人們往往需要進行決策。在可以自主選擇的前提下，決策通常是根據(jù)個人對事物的分析、判斷和興趣來作出決定。兩種極端的決策準則是：

“決策的結(jié)果最好”和“決策的成本最小”。在做決策的時候，這兩種準則都需顧及，但事實上兩者往往并非是簡單的正比關(guān)系，即結(jié)果最好未必意味著成本最小。這兩者之間的關(guān)系還需我們調(diào)和，以優(yōu)化決策。

圍繞實際問題中的成本與利潤的平衡，本文由工廠零件的加工模型入手，探討決策成本與決策結(jié)果的平衡關(guān)系。

本文分為四個部分，首先，建立工廠的實際背景，對零件加工的情況進行概述；其次，對該模型中決策成本與結(jié)果的表現(xiàn)進行分析；接著，針對其中的不確定因素進行探討與控制；最后，通過數(shù)學方法對該模型的魯棒性進行檢測。

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；概率分布；回歸分析

一、背景構(gòu)建

1.廠長同學的加工廠開業(yè)啦！他從外地購買了一些半成品但苦于難以區(qū)分其優(yōu)劣程度，每臺機器中有許許多多不同的零件，為此他向hey老板購進檢測機器。檢測機器需要花費一定的時間金錢判斷零件是否損壞，從而判斷半成品等級，而等級又決定了將來加工成成品需要的時間金錢及將帶來的利潤，于是為了獲取最大利潤他不得不冒風險進行處理，請運用數(shù)學建模的知識，圍繞檢查零件及加工過程，設(shè)計加工參數(shù)，對該問題進行優(yōu)化使得廠長同學獲取更多利潤。

二、問題的提出

給定該工廠的標準產(chǎn)品為n個零件，檢測和生產(chǎn)的時間分配需要由廠長決定。由于總時間有限，廠長同學只能盡量找到最優(yōu)的時間成本安排

由于工件的合格性檢驗是簡單隨機抽樣，因此不可避免的會與實際抽樣產(chǎn)生誤差，選擇適當?shù)臄?shù)學公式，探討如何預測并控制該誤差。

不同的工件由于等級不同會有不同的受歡迎程度，產(chǎn)生不同的效益，同時它們的生產(chǎn)成本也各不相同。

綜合以上三點，我們需建立描述工件生產(chǎn)的利潤模型，并在此基礎(chǔ)上討論如何平衡結(jié)果與成本的關(guān)系。三、模型假設(shè)

（1）假設(shè)所有的工件標準都是真實的

（2）假設(shè)工件的定價是已知的

（3）假設(shè)零件的測量精度范圍為已知

（4）假設(shè)工件的等級對于廠長同學是未知的，而實際上根據(jù)零件損壞的個數(shù)近似成正態(tài)分布

（5）為了與最大利益比較，我們假設(shè)規(guī)定的時間為理想狀態(tài)下的設(shè)定時間。隨著理想狀態(tài)下零件數(shù)目變化而變化。

五、問題分析

某工廠廠房在一定時期（T）內(nèi)加工一些半成品（n個），已知該批產(chǎn)品已經(jīng)有r個零件，題目要求我們根據(jù)檢測零件做出一定的判斷，判斷半成品的等級。但檢測是需要時間和金錢的雙重的成本，每檢測一個零件所需時間為tl，檢測一個的成本為w，檢測的零件數(shù)在二分之r到r之間，這里我們設(shè)為r。利用公式得到這樣的精度區(qū)間。

根據(jù)零件損壞率可以將這些產(chǎn)品分為不同的等級（v個），我們要根據(jù)這些等級將這些產(chǎn)品送入不同的y個廠房進行進一步加工成品。每個廠房加工的成本（Xi）與時間（Ti）都是不同的，效益也不同（Wi）。我們由以上的敘述得到最終的利潤表達。

六、模型的建立與求解

6.1函數(shù)假設(shè)

當選擇檢測n個零件時，真實情況下的工件的等級是大致遵循正態(tài)分布的

Yi=11-x

由表格得到對應變量的關(guān)系，設(shè)為

Wi=f2（yi）

Xi=f3（yi）

將工件中合格零件的個數(shù)轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，

即工件中平均有八個合格零件，x=8，零件分布的標準差為一個6=1。此時，f（x）表示的即為工件中有x個合格零件的概率，我們用這個概率，表示實際抽測工件得到的等級分布，并在假設(shè)無誤判的前提下，得到應有的利潤表示。

W0=∑f（x）*n*wi-n*w

這是理想的最大利潤表述。

我們設(shè)定加工總時間為理想狀態(tài)下的時間：

T=∑ti（x）*f（x）*n+n*t0

6.2模型建立

（1）目標函數(shù)

根據(jù)廠長同學的意愿，他對該批零件的等級預判的精準度可以表示為一個范圍，

由于廠長同學的心情指數(shù)有變化，抽樣標準也有偏差。計算機模擬時，我們將這種分布近似認為是t分布，也就是說，將心情算作偶然誤差，并將以上的精確度區(qū)間記為E={1-&

將區(qū)間E改動到圖示范圍內(nèi)，并隨機模擬給出廠長同學今天的心情指數(shù)。

（2）約束條件

由于我們只能得到一個置信區(qū)間，因此，不妨將這個置信區(qū)間所對應的概率記為pi即正態(tài)分布所對應的區(qū)間。廠長同學根據(jù)心情得到的結(jié)論可由t分布得出，記心情指數(shù)為t并由此得到一個函數(shù)，以（-&，&）為標準，則工件檢驗的零件數(shù)為n0=n+t。

6.3模型解決

6.3.1修改以上的公式為

Wi=pi*（∑f（x）*n*wi-n*w）；

并計算出最終的利潤曲線比較得到最大值

七、模型的評價與改進

7.1模型評價

優(yōu)點決策成本的表示，由于題目中alphago與李世石的決戰(zhàn)中，alphago的決策主要分為擇優(yōu)篩選、行棋，兩者配比在一定程度上決定了決策的優(yōu)化程度。我們使用費用作為衡量標準，將決策的成本與決策實施所需成本分別用兩個互相關(guān)聯(lián)的量來表示。其中隨機成本的引入，使得問題不失實際性與隨機性，廠長的心情作為主觀因素，根據(jù)統(tǒng)計知識變?yōu)榭刹僮鞯牧俊?/p>

本文建立了對于該問題的回歸分析，并可以計算出實際情況對應的常數(shù)。見附錄。

缺點：本文建立心情指數(shù)這一變量，目的是描述操作人員的主觀判斷引起的誤差，并使用t分布來擬合這一變化。而實際情況中，由于人員主觀失誤誤判的偏差情況極為復雜，應該進行更為廣泛的研究調(diào)查得出結(jié)論。

7.2模型改進

另外，我們在建模的時候，忽略了政府的宏觀調(diào)控對價格的影響，而是簡單地將工件數(shù)量理想化。但事實上，工廠每個月能購買到的工件數(shù)量也不一定是充足的，因此每月購買的工件數(shù)也是一個動態(tài)變量，模型的改進也要考慮政策的影響。模型的進一步優(yōu)化也包括考慮周期成本以及政府政策在其中起到的不確定性影響。應該根據(jù)實際數(shù)據(jù)，進行曲線擬合，得到可靠的回歸方程。

問題一中，我們設(shè)立了零件的等級抽測背景，將決策成本、實施成本、決策結(jié)果剝離看待，利用時間金錢進行限制。并充分考慮抽樣誤差，根據(jù)正態(tài)分布、t分布進行模型建立；并得到了檢測中主觀因素對結(jié)果的影響。進行共線性檢測，得到所得函數(shù)系數(shù)的精確度，對模型進行優(yōu)化；

八、結(jié)語

在生活中我們會遇到豐富的選擇，選擇的過程的實質(zhì)即為決策問題的處理。我們處理決策問題不僅需要考慮優(yōu)化決策的結(jié)果，還需要關(guān)注決策的成本。我們的目標即為平衡和調(diào)和兩者的關(guān)系。下面我們將借助具體事例分析兩種關(guān)系的平衡以及如何決策的問題，并試圖將問題推廣到更加一般的情形，為解決一般的決策問題來提供幫助。