駱勇鵬，黃方林，伍彥斌，魯四平，蘇澤平

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

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基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的鐵路鋼桁橋不確定參數(shù)識(shí)別

駱勇鵬，黃方林，伍彥斌，魯四平，蘇澤平

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

為獲得不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征，提出一種基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的不確定性參數(shù)識(shí)別方法。該方法首先根據(jù)合理試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)點(diǎn)并計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，基于逐步回歸分析方法構(gòu)造表達(dá)設(shè)計(jì)參數(shù)和響應(yīng)關(guān)系的最優(yōu)響應(yīng)面模型。進(jìn)而在小樣本的情況下，利用Bootstrap重抽樣技術(shù)對(duì)實(shí)測(cè)響應(yīng)進(jìn)行抽樣得到大樣本數(shù)據(jù)，結(jié)合響應(yīng)面模型，通過(guò)優(yōu)化反演來(lái)求得各個(gè)Bootstrap樣本所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，經(jīng)概率統(tǒng)計(jì)分析得到參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。采用一組試驗(yàn)鋼板和鐵路鋼桁橋算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的可行性和可靠性。結(jié)果表明,所提方法可準(zhǔn)確地識(shí)別出不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征值;與隨機(jī)模型修正相比，所提方法在保證精度的前提下，具有更高的計(jì)算效率，可用于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的不確定性參數(shù)量化分析中。

橋梁工程；不確定性參數(shù)識(shí)別；Bootstrap重抽樣；鐵路鋼桁橋；模型修正

0 引言

目前結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析往往都是在模型、參數(shù)等因素已經(jīng)確定的情況下，采用確定性的方法進(jìn)行仿真分析。由于結(jié)構(gòu)尺寸誤差、材料特性等存在一定的不確定性，這些不確定性又使結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有變異性，導(dǎo)致研究人員難以準(zhǔn)確地對(duì)結(jié)構(gòu)的實(shí)際特性進(jìn)行分析與判斷[1]。因此，如何準(zhǔn)確量化這些不確定性成為當(dāng)前工程界迫切需要解決的問(wèn)題之一[2]。目前，不確定性分析方法中應(yīng)用較為廣泛的是基于概率的分析方法，如隨機(jī)模型修正[3]和蒙特卡羅法[4]等。隨機(jī)模型修正對(duì)應(yīng)于多組測(cè)試值，認(rèn)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)是分布范圍，修正參數(shù)結(jié)果為分布參數(shù)或者概率密度函數(shù)[5]。該方法通常假設(shè)不確定性參數(shù)為服從某種概率分布的隨機(jī)變量，通過(guò)構(gòu)建一個(gè)反問(wèn)題來(lái)求得結(jié)構(gòu)參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征[6]。其在每個(gè)迭代優(yōu)化過(guò)程都需要進(jìn)行不確定性的正反向分析，因此需要較高的計(jì)算成本。同時(shí)，由于考慮了不確定性，優(yōu)化過(guò)程容易出現(xiàn)病態(tài)的優(yōu)化問(wèn)題，導(dǎo)致無(wú)法收斂的情況。為了簡(jiǎn)化隨機(jī)模型修正過(guò)程，文獻(xiàn)[7]提出將隨機(jī)模型修正分解為一系列確定性修正過(guò)程，通過(guò)大量確定性樣本來(lái)反演得到大量參數(shù)，從而進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析。該方法概念簡(jiǎn)單，使得復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)模型修正問(wèn)題更容易實(shí)現(xiàn)。

然而，在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，由于現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試條件及測(cè)試成本等因素的限制，往往僅能獲得少量的樣本數(shù)據(jù)，不足以形成有效的分布，無(wú)法為不確定性參數(shù)識(shí)別提供有效的概率信息。若是人為假定不確定性參數(shù)服從某種概率分布，當(dāng)此假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符時(shí)，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。為了解決該問(wèn)題，筆者結(jié)合響應(yīng)面模型修正和Bootstrap重抽樣技術(shù)，提出一種改進(jìn)的不確定性參數(shù)識(shí)別方法。該方法首先采用逐步回歸分析(Stepwise Regression，SR)建立表達(dá)參數(shù)與響應(yīng)之間的復(fù)雜關(guān)系的響應(yīng)面模型。然后采用Bootstrap抽樣技術(shù)對(duì)有限的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新抽樣，得到大量符合原始數(shù)據(jù)特征的Bootstrap樣本。以Bootstrap樣本為輸入，結(jié)合響應(yīng)面模型構(gòu)造優(yōu)化反演過(guò)程來(lái)計(jì)算各個(gè)Bootstrap樣本所對(duì)應(yīng)的一組參數(shù)，進(jìn)而基于大量樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到不確定性參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。采用以一組試驗(yàn)鋼板和一座鐵路鋼桁橋來(lái)驗(yàn)證所提方法的可行性與可靠性。

1 基于SR的響應(yīng)面模型修正方法

響應(yīng)面模型修正是通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，以顯式多項(xiàng)式逼近目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的復(fù)雜隱式函數(shù)關(guān)系，得到簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)模型，代替初始有限元模型，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代修正[8-9]。常用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面如式(1)所示。

(1)

式中,β0，βi，βii，βij是待定系數(shù)；xi為參數(shù)主效應(yīng)；xixj為參數(shù)之間的相互效應(yīng)。

假設(shè)回歸方程中引入了L項(xiàng)，則其中的第i項(xiàng)的顯著性可由下式衡量：

(2)

首先確定顯著水平α，然后確定引入多項(xiàng)式的臨界值FL1和剔除臨界值FL 2。在考慮全部自變量對(duì)y的顯著程度大小，若其Fi值大于引入臨界值FL1，則說(shuō)明此變量是顯著的，需引入回歸方程。己被引入回歸方程的變量在引入新變量后也可能造成顯著性下降，從而需要從回歸方程中剔除出去。因此引入后需要重新計(jì)算各展開(kāi)項(xiàng)的Pi，并確定具有最小偏回歸平方和的展開(kāi)項(xiàng)的F檢驗(yàn)值，若該值大于FL2，則說(shuō)明該展開(kāi)項(xiàng)是顯著的，需要保留在回歸方程中；反之，則剔除[10-12]。

在得到響應(yīng)面模型后，需要對(duì)其精度檢驗(yàn)。目前常用的3種準(zhǔn)則的表達(dá)式如下：

(3)

(4)

(5)

通過(guò)上述分析可以看出：楚雄市公示語(yǔ)英譯存在的問(wèn)題較多，為了提高公示語(yǔ)翻譯的準(zhǔn)確性，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下四個(gè)方面來(lái)規(guī)范公示語(yǔ)的翻譯與使用。

最后，以得到響應(yīng)面模型代替有限元模型進(jìn)行修正，因此有限元模型修正可轉(zhuǎn)化為以下的優(yōu)化問(wèn)題：

(6)

s.t.VLB≤Χ≤VUB，

式中,X為設(shè)計(jì)參數(shù)；fE為試驗(yàn)值；fA為分析值；wi為權(quán)重系數(shù)；VLB和VUB是參數(shù)設(shè)計(jì)空間范圍。

2 不確定性參數(shù)識(shí)別流程

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，由于現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試條件及測(cè)試成本等因素的限制，往往僅能獲得少量的樣本數(shù)據(jù)，不足以形成有效的分布，無(wú)法為不確定性參數(shù)識(shí)別提高準(zhǔn)確的概率信息。美國(guó)斯坦福大學(xué)Efron教授于1979年提出的Bootstrap法可有效解決該問(wèn)題。Bootstrap法是一種基于試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的模擬再抽樣來(lái)分析不確定性的工具，它運(yùn)用模擬再抽樣技術(shù)代替理論分析，采用試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征代替真實(shí)母體的特征。在擺脫了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法中對(duì)于分布假定依賴的條件下，基于有限的試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)模擬再抽樣出大量符合原數(shù)據(jù)特征的模擬樣本，從而為不確定性分析提供了足夠的樣本，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷[13-14]。為此，筆者結(jié)合響應(yīng)面模型修正和Bootstrap重抽樣技術(shù)，提出一種新的不確定性參數(shù)識(shí)別方法。所提方法的計(jì)算流程如下：

(1)假設(shè)結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)響應(yīng)X=(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自總體F、容量為n的樣本,x=(x1,x2,…,xn)是一個(gè)已知的原生樣本。根據(jù)該樣本即可構(gòu)造原生樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，如式(7)所示。

(7)

式中，k為x(1),x(2)，…,x(n)中不大于x(k)的樣本個(gè)數(shù)，1≤k

(2)相繼地、獨(dú)立地從Fn中抽取容量為n的Bootstrap樣本x1*,x2*,…,xn*。

(3)為快速地進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算和參數(shù)反演，先通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)和逐步回歸分析方法建立表達(dá)設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間復(fù)雜關(guān)系的前i階模態(tài)頻率的響應(yīng)面模型yi。并根據(jù)式(6)構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

(4)將步驟(2)抽樣得到的bootstrap樣本分別代入優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用序列二次規(guī)劃算法反演得到第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)值的n個(gè)值Pj1*,Pj2*,…,Pjn*。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。

(8)

(9)

(10)

綜上所述所提方法的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 所提方法的計(jì)算流程圖Fig.1 Flowchart of calculation by proposed method

3 鋼板試驗(yàn)驗(yàn)證

以33塊具有相同名義尺寸及材料參數(shù)的鋼板為研究對(duì)象。鋼板的名義尺寸為564 mm× 110 mm × 1.45 mm，彈性模量、剪切模量、質(zhì)量密度的名義取值分別為210, 83 GPa及7 860 kg/m3。采用Shell單元建立鋼板的初始有限元模型，有限元模型的物理參數(shù)取名義尺寸及材料參數(shù)的名義取值。

為了預(yù)測(cè)參數(shù)的不確定性，在自由-自由邊界條件下，采用錘擊法對(duì)這33塊鋼板進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，得到33塊鋼板的前5階模態(tài)頻率值及其統(tǒng)計(jì)特征值，如表1所示[15]。假設(shè)模態(tài)頻率的變異性是由材料參數(shù)不確定性所引起的，采用所提方法識(shí)別鋼板的不確定性參數(shù)。

表1 頻率實(shí)測(cè)值及其統(tǒng)計(jì)特征值(單位：Hz)Tab.1 Measured frequencies and statistical features(unit:Hz)

以鋼板的材料參數(shù)E和G作為修正參數(shù)，研究表明，待修正參數(shù)的初始區(qū)間范圍(不確定性大小)對(duì)參數(shù)區(qū)間的最終估計(jì)精度影響很小，可設(shè)置較大[7]?？紤]到鋼材材料參數(shù)通常具有5%的變異性，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)鋼板單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果，確定參數(shù)E，G的初始區(qū)間分別為[199.5，220.5]、[78.85，87.15]。采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)點(diǎn)并計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，如表2所示。為提高修正效率，采用逐步回歸分析方法擬合前5階模態(tài)頻率的響應(yīng)面模型，式(11)為第1階模態(tài)頻率的響應(yīng)面模型表達(dá)式。

f1=24.27+0.63E-0.021G-0.005 2E·G-0.005 5E2+0.003 1G2。

(11)

表2 中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)表Tab.2 Design table for central composite experiment

由于樣本數(shù)量較小，難以準(zhǔn)確估計(jì)實(shí)測(cè)頻率的統(tǒng)計(jì)特征值，為此以實(shí)測(cè)得到的33組模態(tài)頻率值作為原始樣本，采用Bootstrap重抽樣技術(shù)，每次生成1組前5階模態(tài)頻率，每階模態(tài)頻率有33個(gè)取值，結(jié)合響應(yīng)面模型，構(gòu)建確定性的優(yōu)化反問(wèn)題，計(jì)算得到33組材料參數(shù)取值，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析可計(jì)算每組材料參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。重復(fù)抽樣1 000次可計(jì)算得到1 000組材料參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)式(9)和式(10)估計(jì)得到E和G的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如表3所示。為了方便比較分析，表3中還列出了隨機(jī)模型修正法[15]及改進(jìn)的隨機(jī)模型修正法[7]的識(shí)別結(jié)果。從表3可知所提方法預(yù)測(cè)的彈性模量和剪切模量值與分別采用隨機(jī)模型修正法[15]及改進(jìn)的隨機(jī)模型修正法[7]得到的預(yù)測(cè)值的誤差很小，符合鋼材材料特性取值。頻率預(yù)測(cè)均值結(jié)果如表4所示。由表4可知所提方法的頻率預(yù)測(cè)均值誤差比隨機(jī)模型修正法[15]及改進(jìn)的隨機(jī)模型修正法[7]的誤差來(lái)得小。從表5的頻率標(biāo)準(zhǔn)差比較結(jié)果可知，3種方法修正后的預(yù)測(cè)頻率標(biāo)準(zhǔn)差均有所改善，但誤差仍然較大，因此如何提高標(biāo)準(zhǔn)差的修正精度仍是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。根據(jù)圖2和圖3可知，所提方法預(yù)測(cè)頻率分布范圍與實(shí)測(cè)分布范圍較為接近，驗(yàn)證了所識(shí)別的不確定性參數(shù)取值的準(zhǔn)確性。

表3 鋼板材料參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)值(單位:GPa)

Tab.3 Estimated statistical features of material parameters of steel plate(unit:GPa)

預(yù)測(cè)值隨機(jī)模型修正改進(jìn)的隨機(jī)模型修正所提方法EGEGEG均值209.683.8209.284.9206.785.4標(biāo)準(zhǔn)差1.61.222.141.091.020.95

表4 實(shí)測(cè)及預(yù)測(cè)頻率的均值

Tab.4 Mean values of measured and predicted frequencies

模態(tài)實(shí)測(cè)值隨機(jī)模型修正法改進(jìn)的隨機(jī)模型修正法所提方法修正后/Hz誤差/%修正后/Hz誤差/%修正后/Hz誤差/%124.1224.230.4724.210.3724.09-0.12266.9267.040.1866.930.0166.87-0.07377.6576.671.2577.410.3177.6504131.97131.930.03131.620.27132.380.315158.8156.861.22158.310.31159.01-0.13

表5 實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)頻率的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.5 Standard deviations of measured and predicted frequencies

圖2 預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的鋼板前3階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖(單位：Hz)Fig.2 Scattergram of predicted and measured first 3 ordersmode frequencies(unit:Hz)

圖3 預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的第3，4，5階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖(單位：Hz)Fig.3 Scattergram of predicted and measured 3rd, 4th,5 order mode frequencies(unit:Hz)

4 既有鐵路鋼桁架橋不確定性參數(shù)識(shí)別

南京長(zhǎng)江大橋是我國(guó)首座自行設(shè)計(jì)和建造的公鐵兩用橋梁。上部結(jié)構(gòu)由10孔鋼梁組成，浦口岸第1孔為128 m的簡(jiǎn)支鋼桁梁，其余9孔為3聯(lián)3等跨160 m的連續(xù)鋼桁梁。為了驗(yàn)證所提方法在復(fù)雜土木工程結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)識(shí)別上應(yīng)用的可行性及可靠性，以南京長(zhǎng)江大橋中間聯(lián)為研究對(duì)象，根據(jù)實(shí)測(cè)頻率值反演結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值。文獻(xiàn)[16]詳細(xì)介紹了該橋的振動(dòng)測(cè)試，本文不再贅述。

南京長(zhǎng)江大橋中間聯(lián)的有限元模型采用幾種不同單元類型來(lái)模擬不同的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，采用三維梁?jiǎn)卧猙eam4模擬主桁桿件、鐵路縱梁等，采用質(zhì)量單元mass21加在模型的上、下平聯(lián)相關(guān)節(jié)點(diǎn)上來(lái)考慮鐵路軌枕和無(wú)縫鋼軌等構(gòu)件對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。模型中的Beam44梁?jiǎn)卧? 395個(gè)，Mass21質(zhì)量單元552個(gè)，梁截面類型51種，節(jié)點(diǎn)總數(shù)1 597個(gè)。有限元模型如圖4所示。

圖4 有限元模型圖Fig.4 Finite element model

研究表明，鋼材的彈性模量受環(huán)境因素(尤其是溫度因素)的影響會(huì)產(chǎn)生一定程度的變化[6]。同時(shí)，鐵路軌枕和無(wú)縫鋼軌等構(gòu)件對(duì)結(jié)構(gòu)的影響采用等效質(zhì)量來(lái)考慮，具有較大的不確定性。因此本次識(shí)別以主桁桿件的彈性模量E、公路橋面及公路縱梁質(zhì)量M1、鋼軌及輕軌等效質(zhì)量M2這3個(gè)參數(shù)作為不確定性參數(shù)。初始材料參數(shù)取值如表6所示。

表6 初始材料參數(shù)取值范圍Tab.6 Initial value range of material parameters

為模擬不同時(shí)段的模態(tài)頻率值，筆者假設(shè)3個(gè)參數(shù)的實(shí)際均值為E=203.6 GPa,M1=8 503.9 kg,M2=534.8 kg，這3個(gè)參數(shù)分別具有3%，10%，10%的不確定性，采用拉丁超立方抽樣抽取30個(gè)樣本并計(jì)算樣本所對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率值作為模擬實(shí)測(cè)模態(tài)頻率值。30組前5階模態(tài)頻率的概率統(tǒng)計(jì)特征值如表7所示。

采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，然后在樣本點(diǎn)上進(jìn)行有限元分析得到樣本數(shù)據(jù)，最后計(jì)算各展開(kāi)項(xiàng)的貢獻(xiàn)值，確定引入和剔除的界限值，在逐步回歸分析過(guò)程中剔除對(duì)響應(yīng)影響不顯著的展開(kāi)項(xiàng)，得到前5階模態(tài)頻率響應(yīng)面模型。限于篇幅，本文給出豎向第1階頻率響應(yīng)面模型表達(dá)式如式(12)所示。

V1=0.55+0.027E-0.068M1-0.002 7M2-

0.003 2E·M1+0.012M12。

(12)

按照所提方法識(shí)別得到3個(gè)材料參數(shù)均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如表8所示。從表8可以看出，預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)的材料參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值(均值和標(biāo)準(zhǔn)差)非常接近，誤差較小，這說(shuō)明所提方法可以準(zhǔn)確地識(shí)別不確定性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值。表7為預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的頻率統(tǒng)計(jì)特征值(均值和標(biāo)準(zhǔn)差)的比較結(jié)果，從結(jié)果比較可得，預(yù)測(cè)頻率的均值與實(shí)測(cè)頻率的均值基本一致，最大誤差僅為-0.41%。從圖5和圖6可以看出，預(yù)測(cè)頻率分布與實(shí)測(cè)頻率分布吻合程度良好，這說(shuō)明所提方法具有較高的識(shí)別精度。

表7 預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)模態(tài)頻率的統(tǒng)計(jì)特征值(單位：Hz)

Tab.7 Statistical feature values of predicted and measured mode frequencies(unit:Hz)

頻率修正值實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差均值標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)差V10.60350.00870.60440.0132-0.16-34.55V21.39250.01621.39260.02640.00-38.40V32.12750.01372.12330.02440.20-43.75H11.06830.00541.07270.0090-0.41-39.29H21.14540.00591.14190.00680.30-12.65

表8 材料參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)值Tab.8 Estimated statistical feature values of material parameters

圖5 實(shí)測(cè)和預(yù)測(cè)的前3階豎向模態(tài)頻率散點(diǎn)圖(單位：Hz)Fig.5 Scattergram of predicted and measured first 3 ordersvertical mode frequencies(unit:Hz)

圖6 預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的豎向第3階及橫向前2階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖(單位：Hz)Fig.6 Scattergram of predicted and measured 3 ordervertical and first 2 orders horizontal mode frequencies(unit:Hz)

5 結(jié)論

提出一種基于逐步回歸分析和Bootstrap重抽樣的不確定性參數(shù)識(shí)別方法。以一組鋼板試驗(yàn)和鐵路鋼桁架橋算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的可行性及可靠性，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。

(1)所提方法將不確定性量化過(guò)程分解為一系列確定性的模型修正過(guò)程，簡(jiǎn)化了不確定性正反分析過(guò)程且可準(zhǔn)確地識(shí)別不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征值。

(2)采用逐步回歸分析方法進(jìn)行響應(yīng)面擬合可在保證計(jì)算精度的前提下有效地減少待定系數(shù)。用響應(yīng)面模型代替有限元模型進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)確定性優(yōu)化反演可快速識(shí)別不確定性參數(shù)取值，提高了計(jì)算效率。

(3)引入Bootstrap重抽樣技術(shù)，通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)的多組頻率進(jìn)行重抽樣得到符合原始數(shù)據(jù)特征的Bootstrap樣本，解決了小樣本數(shù)據(jù)下無(wú)法準(zhǔn)確獲得響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征值和概率分布問(wèn)題。

[1] 侯立群, 趙雪峰, 歐進(jìn)萍, 等. 結(jié)構(gòu)損傷診斷不確定性方法研究進(jìn)展[J]. 振動(dòng)與沖擊,2014,33(18):50-58. HOU Li-qun, ZHAO Xue-feng, OU Jin-ping, et al. A Review of Nondeterministic Methods for Structural Damage Diagnosis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(18):50-58.

[2] BECK J L, KATAFYGIOTIS L S. Updating Models and Their Uncertainties. I: Bayesian Statistical Framework [J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(4):455-461.

[3] STEENACKERS G, GUILLAUME P. Finite Element Model Updating Taking into Account the Uncertainty on the Modal Parameters Estimates [J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 296(4):919-934.

[4] MARES C, MOTTERSHEAD J E, FRISWELL M I. Stochastic Model Updating: Part1—Theory and Simulated Example [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20(7):1674-1695.

[5] 萬(wàn)華平. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力不確定性及其隨機(jī)模型修正方法研究[D]. 長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2014. WAN Hua-ping. Study on Uncertainty in Structural Dynamics and Stochastic Model Updating [D]. Changsha: Central South University, 2014.

[6] 姜東, 費(fèi)慶國(guó)，吳邵慶. 基于區(qū)間分析的不確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2015,28(3):352-358. JIANG Dong, FEI Qing-guo, WU Shao-qing. Updating of Structural Dynamics Model with Uncertainty Based on Interval Analysis [J]. Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(3):352-358.

[7] 方圣恩, 林友勤, 夏樟華. 考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的隨機(jī)模型修正方法[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2014,34(5):832-837. FANG Sheng-en, LIN You-qin, XIA Zhang-hua. Stochastic Model Updating Considering Uncertainties of Structural Parameters [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2014, 34(5):832-837.

[8] REN W X, FANG S E, DENG M Y. Response Surface-Based Finite Element Model Updating Using Structural Static Response [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2011, 137(4): 248-257.

[9] 韓建平, 駱勇鵬. 基于響應(yīng)面的剛構(gòu)-連續(xù)組合梁橋有限元模型靜動(dòng)力修正[J].公路交通科技, 2013, 30(11):53-61. HAN Jian-ping, LUO Yong-peng. Response Surface Based Finite Element Model Updating for a Rigid Frame Continuous Composite Girder Bridge Using Static and Dynamic Test Data[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2013, 30(11):53-61.

[10]駱勇鵬，黃方林，廖明皓，等. 基于逐步回歸分析的既有鐵路鋼桁架橋有限元模型修正[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2015,12(5):1111-1115. LUO Yong-peng, HUANG Fang-lin, LIAO Ming-hao, et al. Existing Railway Steel Truss Bridge Finite Element Model Updating Based on Stepwise Regression [J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2015, 12(5): 1111-1115.

[11]楊綠峰，楊顯峰，余波，等. 基于逐步回歸分析的隨機(jī)響應(yīng)面法 [J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(1)：88-93. YANG Lü-feng, YANG Xian-feng, YU Bo, et al. Improved Stochastic Response Surface Method Based on Stepwise Regression Analysis [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2013, 30(1):88-93.

[12]周紀(jì)薌. 實(shí)用回歸分析方法[M]. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1990. ZHOU Ji-xiang. Practical Methods for Regression Analysis [M]. Shanghai: Shanghai Science & Technology Press, 1990.

[13]EFRON B, TIBSHIRANI R. An Introduction to Bootstrap [M]. New York: Chapman & Hall Ltd., 1993.

[14]HALL P. Theoretical Comparison of Bootstrap Confidence Intervals [J]. Annals of Statistics, 1988, 16 (3):927-953.

[15]HUSAIN N A, KHODAPARAST H H, OUYANG H J. Parameter Selections for Stochastic Uncertainty in Dynamic Models of Simple and Complicated Structures [C]//Proceedings of the 10th International Conference on Recent Advances in Structural Dynamics. Southampton：University of Southampton, 2010.

[16]何旭輝，余志武，陳政清. 既有鐵路鋼桁梁橋基準(zhǔn)有限元模型建立與驗(yàn)證[J]. 振動(dòng)與沖擊，2007，26(12)：117-121. HE Xu-hui，YU Zhi-wu，CHEN Zheng-qing. Establishment and Verification of the Baseline 3D Finite-element Model of Existing Railway Steel Truss Bridge [J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(12):117-121.

Identification of Uncertain Parameters of Railway Steel Truss Bridge Based on Stepwise Regression and Bootstrap Resampling

LUO Yong-peng, HUANG Fang-lin, WU Yan-bin, LU Si-ping, SU Ze-ping

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha Hunan 410075, China)

In order to obtain the probabilistic statistical feature of uncertain parameters，a new uncertain parameters identification method based on stepwise regression analysis and Bootstrap resampling is proposed. First, according to the reasonable experiment design, the test points is determined and the corresponding responses of test point are calculated in the method, the optimal response surface model which expresses the relationship of design parameters and responses is constructed based on the stepwise regression analysis. Secondly, in the case of small samples, the Bootstrap resampling technology is used for the resampling of the measured responses to get the large-scale samples. Combining with the response surface model, the optimization inversion procedure is constructed to obtain the corresponding parameter values of each Bootstrap sample, and the means and standard deviations of the parameters are obtained by probabilistic statistical analysis. Finally, the feasibility and reliability of the proposed method are verified by the calculation examples of a set of test steel plates and of an existing railway steel truss bridge. The result shows that (1) the proposed method can accurately identify the probabilistic statistical feature values of uncertain parameters; (2) compared with the stochastic model updating, the proposed method has a higher computational efficiency in the case of high precision and can be used in the quantitative analysis of uncertain parameters of complex engineering structure.

bridge engineering; uncertain parameter identification; Bootstrap resample; railway steel truss bridge; model updating

2016-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51378504)；貴州省交通廳科技項(xiàng)目(2013-122-001)；中南大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2015zzts058)

駱勇鵬(1989-)，男，福建泉州人，博士研究生.(lyp-luo@163.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.016

U446.1

A

1002-0268(2016)11-0104-07