李英超，王樹青，石 云

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100)

?

基于不完備、含噪聲模態(tài)參數(shù)的梁式結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

李英超1，王樹青2，石 云1

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100)

將交叉模型交叉模態(tài)方法(CMCM方法)應(yīng)用到了梁式結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別中,重點(diǎn)解決了該方法在實(shí)際應(yīng)用中所面臨的兩大關(guān)鍵難題：測(cè)量噪聲下“病態(tài)”系統(tǒng)的求解問題和實(shí)測(cè)模態(tài)不完備問題。提出了一種基于TSVD正則化求解的模型修正過程，該過程可利用有限低階含噪聲模態(tài)來識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷。采用Guyan擴(kuò)階法和基于頻率的迭代修正法處理了實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題，并通過探討方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種兩階段損傷識(shí)別過程：首先利用Guyan擴(kuò)階和基于TSVD正則化求解的模型修正過程進(jìn)行損傷定位，然后采用基于頻率的迭代修正法進(jìn)行損傷程度的識(shí)別。數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)研究表明：TSVD正則化方法可有效地改善CMCM方法的魯棒性；當(dāng)實(shí)測(cè)模態(tài)不完備且包含噪聲時(shí)，利用兩階段損傷識(shí)別過程可準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷。

橋梁工程；損傷識(shí)別；模型修正；正則化；模態(tài)擴(kuò)階

0 引言

橋梁往往是交通運(yùn)輸?shù)难屎恚坏┌l(fā)生事故將造成不可估量的損失和社會(huì)影響。因此，及時(shí)監(jiān)測(cè)橋梁結(jié)構(gòu)的損傷，建立系統(tǒng)的安全評(píng)估體系，對(duì)于保障結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行至關(guān)重要[1]?；谡駝?dòng)測(cè)試的結(jié)構(gòu)損傷診斷技術(shù)已成為該領(lǐng)域研究的一大重點(diǎn)[2-3]。近20年，學(xué)者們提出了很多種損傷識(shí)別方法，如模型修正法、敏感性分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法和模態(tài)應(yīng)變能法等[4]。對(duì)比各類方法，模型修正法具有兩大優(yōu)點(diǎn)：(1)可同時(shí)識(shí)別損傷位置和損傷程度；(2)修正后的有限元模型可用于結(jié)構(gòu)的安全評(píng)估[5]。然而傳統(tǒng)的模型修正方法在實(shí)際應(yīng)用中尚存在很多問題，如設(shè)計(jì)參數(shù)型方法需要迭代計(jì)算，其收斂性不能保證，而矩陣型方法通常缺乏物理意義，另外各類方法受實(shí)測(cè)信息量的影響均較大[6]。

針對(duì)傳統(tǒng)模型修正方法的缺陷，Hu等[7]提出了交叉模型交叉模態(tài)(Cross-model Cross-mode，CMCM)方法。該方法綜合了設(shè)計(jì)參數(shù)型方法和矩陣型方法的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算過程無需迭代，且物理意義明確。另外，該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是不需要振型配對(duì)，即可以用有限的低階實(shí)測(cè)模態(tài)構(gòu)建更多的修正方程，從而能夠求解更多的未知數(shù)。然而試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，該方法在實(shí)際應(yīng)用中仍存在一些關(guān)鍵問題需要解決，如測(cè)量噪聲影響下“病態(tài)”系統(tǒng)的求解問題和實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題等[8]。

線性“病態(tài)”系統(tǒng)在數(shù)學(xué)中最常用的求解方法是正則化方法。最早的正則化方法是由Tikhonov[9]提出的，它通過正則化參數(shù)的選擇來控制解的振蕩和方程的擬合程度。吳頡爾[10]對(duì)各種正則化方法進(jìn)行了深入的對(duì)比研究，針對(duì)不同規(guī)模的“病態(tài)”系統(tǒng)推薦了適用的正則化方法。雖然正則化方法在理論上比較成熟，但在模型修正實(shí)際應(yīng)用中仍然存在一些問題，如對(duì)于不同的方法、不同的問題，同一算法表現(xiàn)出的收斂性卻不同，很難選擇一種通用的方法[11]。因此，需要專門針對(duì)CMCM方程的特點(diǎn)，探討對(duì)其適用的正則化求解方法。

解決實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題，最常用的手段是模態(tài)擴(kuò)階/模型縮階，然而該過程往往會(huì)引入振型二次誤差，從而導(dǎo)致?lián)p傷的漏判或誤判。圍繞CMCM方法，王俊榮[12]提出了一種實(shí)測(cè)模型從自由度修正法，該方法可有效避免擴(kuò)階/縮階誤差，可實(shí)現(xiàn)對(duì)有限元模型和實(shí)測(cè)模態(tài)的同時(shí)修正，然而在實(shí)際應(yīng)用中其收斂性仍不能保證。Wang等[13-14]發(fā)展了一種基于頻率信息的模態(tài)應(yīng)變能迭代法，該方法可有效地避免振型的噪聲誤差和擴(kuò)階誤差，且收斂性較好。本文借鑒該思路，給出了基于頻率的迭代修正法用于處理實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題。

本文通過數(shù)值和試驗(yàn)算例將CMCM方法應(yīng)用到橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別中。重點(diǎn)針對(duì)測(cè)量噪聲下“病態(tài)”系統(tǒng)的求解問題和實(shí)測(cè)模態(tài)不完備問題展開研究。結(jié)合CMCM方程組的求解特點(diǎn)，提出一種基于TSVD正則化[15-16]求解的模型修正過程，并通過算例驗(yàn)證該正則化方法的適用性。采用Guyan擴(kuò)階[17]和基于頻率的迭代修正法兩種技術(shù)來處理實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題，通過探討優(yōu)缺點(diǎn)，提出一種兩階段損傷識(shí)別過程，從而利用不完備、含噪聲的模態(tài)參數(shù)識(shí)別橋梁結(jié)構(gòu)的損傷。

1 基本理論

1.1 基于CMCM方法的損傷識(shí)別方法[7]

在以下公式中，有“*”標(biāo)記的表示與損傷結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)，無“*” 標(biāo)記的表示與無損傷結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)。

假定損傷結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K*和質(zhì)量矩陣M*可表示為對(duì)無損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M的修正，即：

(1)

(2)

式中，Kn和Mn為結(jié)構(gòu)有限元模型第n個(gè)單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；αn和βn為待求的剛度和質(zhì)量修正系數(shù)，當(dāng)-1≤αn<0時(shí)表示該單元有損傷；Ne為待識(shí)別損傷的單元個(gè)數(shù)。

KΦi=λiMΦi，

(3)

(4)

用Φi的轉(zhuǎn)置(Φi)T左乘式(4)得：

(5)

將式(1)和式(2)代入式(5)得：

(6)

將式(6)變形：

(7)

利用該方法進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)，可假定結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變，即M*=M。此時(shí)式(7)可寫為：

(8)

用Ni階有限元模態(tài)和Nj階實(shí)測(cè)模態(tài)，可以構(gòu)建包含Nt=Ni×Nj個(gè)線性方程，將其寫為矩陣形式：

Ax=b，

(9)

由于該方法采用了無損傷結(jié)構(gòu)模態(tài)和有損傷結(jié)構(gòu)模態(tài)的交叉乘積，方程組數(shù)目通常多于待識(shí)別單元的數(shù)目，即方程組為超定系統(tǒng)，可采用奇異值分解(SVD)法來尋求最小二乘解。對(duì)式(9)的系數(shù)矩陣A做奇異值分解：

(10)

于是，方程組(9)的解xLS可寫為：

(11)

1.2 TSVD正則化求解方法

“病態(tài)”性是各類模型修正方法面臨的通病，CMCM方法也不例外。實(shí)測(cè)模態(tài)的測(cè)量噪聲經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致最小二乘解遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真實(shí)值，從而引起損傷的誤判。

方程組的病態(tài)性及受噪聲污染程度可以通過系數(shù)矩陣A的奇異值曲線(SVD曲線)和離散傅里葉系數(shù)曲線(Picard曲線)來衡量[14]。當(dāng)SVD曲線在Picard曲線上方時(shí)，表示該方程組受噪聲污染不嚴(yán)重；當(dāng)完全位于下方或重合時(shí)即受噪聲污染嚴(yán)重；介于兩者之間時(shí)為一般嚴(yán)重。當(dāng)方程組受噪聲污染不嚴(yán)重或一般嚴(yán)重時(shí)，可利用一定的正則化方法來近似求解。

Tikhonov[9]正則化方法將最小二乘解‖b-Ax‖2和最小范數(shù)解‖x‖2平衡考慮：

(12)

式中，δ為正則化參數(shù)；I為單位矩陣。當(dāng)δ較大時(shí)，可以保證‖x‖2值不會(huì)發(fā)生“振蕩”，但可能會(huì)導(dǎo)致解不滿足Ax=b；反之，如果δ較小，雖然能得到滿足方程組的解，但該解會(huì)嚴(yán)重偏離真實(shí)值。根據(jù)這一原則，式(9)的正則解可寫為：

(13)

正則化參數(shù)δ的作用是過濾掉小奇異值對(duì)解的貢獻(xiàn)，從而使解穩(wěn)定。

(14)

式中k為截?cái)鄶?shù)。

TSVD正則化方法的關(guān)鍵是截?cái)鄶?shù)k的選擇。對(duì)于截?cái)鄶?shù)k∈(1,r)，曲線ln(‖x‖2)和曲線ln(‖b-Ax‖2)的形狀通常呈L型，其角點(diǎn)正好使得最小二乘解和最小范數(shù)解得到平衡，因此可通過該曲線的最大曲率來確定角點(diǎn)，從而來確定截?cái)鄶?shù)k[16]。

1.3 實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備問題處理方法

在模態(tài)測(cè)試中，受傳感器數(shù)目的限制，實(shí)測(cè)模態(tài)往往是空間不完備的，本文介紹兩種處理方法。

1.3.1 Guyan擴(kuò)階法[17]

將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K寫為：

(15)

式中，下標(biāo)m表示與主自由度(測(cè)試自由度)相關(guān)的元素；s表示與從自由度(未測(cè)試自由度)相關(guān)的元素。

實(shí)測(cè)空間不完備振型可以通過轉(zhuǎn)換矩陣得到擴(kuò)展：

(16)

1.3.2 基于頻率信息的迭代修正法

參考Wang等[13-14]提出的模態(tài)應(yīng)變能迭代法，本文給出基于頻率的迭代修正法。該方法由于只利用實(shí)測(cè)頻率信息，可有效避免實(shí)測(cè)模態(tài)噪聲和擴(kuò)階誤差對(duì)損傷識(shí)別的影響，另外可同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)的擴(kuò)階和結(jié)構(gòu)損傷的識(shí)別。具體步驟如下：

(1)用初始有限元模型的剛度矩陣K(1)和質(zhì)量矩陣M(1)計(jì)算振型Φj(1)；

(2)令實(shí)測(cè)模態(tài)Φj*(1)=Φj(1)；

1.4 損傷判別

2 斜腿剛架橋數(shù)值算例

2.1 算例介紹

本文采用文獻(xiàn)[19]中介紹的二維斜腿剛架橋模型進(jìn)行數(shù)值研究。橋梁總長(zhǎng)為23.5 m，材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為2.0×1011N/m2。橫梁和腿柱分別選用美國(guó)AISC寬翼緣H型鋼W36×135和W14×145。應(yīng)用MATLAB編程，建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，共包含14個(gè)節(jié)點(diǎn)，13個(gè)二維梁?jiǎn)卧?，如圖1所示。由于與文獻(xiàn)[19]研究目的不同，本文將節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)12簡(jiǎn)化為固定鉸支座，將節(jié)點(diǎn)13和節(jié)點(diǎn)14簡(jiǎn)化為固定支座，因此該模型共有32個(gè)自由度。通過特征值分解，獲得該模型的模態(tài)參數(shù)，如表1和圖2所示。

圖1 橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.1 FE model of bridge structure

結(jié)構(gòu)的損傷通過單元?jiǎng)偠鹊恼蹨p來模擬。假定結(jié)構(gòu)有單元4、單元6和單元9同時(shí)發(fā)生了損傷，損傷程度分別為30%，20%和15%。通過特征值分解得到損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。由于實(shí)際測(cè)試中僅能獲得有限的低階模態(tài)，因此本算例中假定僅前4階模態(tài)可用，如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)參數(shù)Tab.1 Modal parameters of structures before and after damage

注：MAC為實(shí)測(cè)模態(tài)與修正后有限元模型模態(tài)的置信度，下同。

圖2 有限元(無損傷)模型振型圖Fig.2 Mode shapes of FE(undamaged)model

另外，為驗(yàn)證方法的適用性，分3種工況進(jìn)行損傷識(shí)別研究：(1)假定實(shí)測(cè)模態(tài)空間完備且不含噪聲，用于檢驗(yàn)CMCM方法的適用性；(2)假定實(shí)測(cè)模態(tài)空間完備但包含噪聲，探討實(shí)測(cè)模態(tài)含噪聲條件下CMCM病態(tài)方程組的求解問題；(3)假定實(shí)測(cè)模態(tài)不完備且包含噪聲，探討Guyan擴(kuò)階和實(shí)測(cè)頻率迭代修正法的適用性。最后，通過對(duì)比分析，給出兩階段損傷識(shí)別過程，并通過算例進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 損傷識(shí)別

2.2.1 工況1：實(shí)測(cè)模態(tài)空間完備且不含噪聲

將結(jié)構(gòu)的全部13個(gè)單元作為損傷識(shí)別的對(duì)象，利用結(jié)構(gòu)損傷前后的前4階模態(tài)構(gòu)建16個(gè)CMCM方程，方程數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)，利用式(11)所示SVD方法對(duì)方程組進(jìn)行求解，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯觯?dāng)實(shí)測(cè)模態(tài)空間完備且不含噪聲時(shí)，CMCM方法可以利用前4階模態(tài)準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。

圖3 工況1損傷識(shí)別結(jié)果Fig.3 Damage identification result of Case 1

2.2.2 工況2：實(shí)測(cè)模態(tài)空間完備但包含噪聲

根據(jù)模態(tài)測(cè)試經(jīng)驗(yàn)，在有多測(cè)點(diǎn)信號(hào)相互校驗(yàn)的情況下，再借助一定的定階消噪方法，模態(tài)頻率的識(shí)別精度通常較高，測(cè)量噪聲主要對(duì)模態(tài)振型產(chǎn)生較大影響。因此，文獻(xiàn)[6-8]中只在振型上添加噪聲，噪聲添加方式為φi,j=φi,j(1+εRi,j)，其中ε為噪聲水平；Ri,j為均值為0、方差為1的高斯隨機(jī)數(shù)；φi,j為對(duì)應(yīng)于第i個(gè)自由度的第j階振型值,即在通過數(shù)值模擬獲得的實(shí)測(cè)模態(tài)振型基礎(chǔ)上添加一定水平的高斯白噪聲。

首先，假定噪聲水平為1%。與工況1相同，構(gòu)建16個(gè)CMCM方程，然后利用SVD法進(jìn)行求解，結(jié)果如圖4(a)所示?？梢姡跍y(cè)量噪聲的影響下，結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了真實(shí)解：(1)損傷位置出現(xiàn)了誤診，如單元2，8和11；(2)單元4，6和9的損傷程度識(shí)別誤差較大。

圖4 工況2損傷識(shí)別結(jié)果(1%噪聲水平)Fig.4 Damage identification result of Case 2(1% noise level)

圖5(a)為CMCM方程的Picard曲線，可以看出，在噪聲影響下，方程組的系數(shù)矩陣從第12個(gè)奇異值開始不能滿足離散Picard條件。結(jié)合CMCM方程組求解特點(diǎn)，采用TSVD正則化方法進(jìn)行求解。該系統(tǒng)的L曲線如圖5(b)所示，該曲線角點(diǎn)左側(cè)第一個(gè)值對(duì)應(yīng)k=9，將此作為截?cái)鄶?shù)，然后根據(jù)式(14)求得該方程組的正則解，如圖4(b)所示?？梢钥闯?，基于TSVD正則化求解的CMCM方法(以下簡(jiǎn)稱CMCM-TSVD方法)可以較準(zhǔn)確地識(shí)別出單元4，6和9的損傷。

圖5 Picard和L曲線(工況2：1%噪聲)Fig.5 Picard and L curves(Case 2: 1% noise level)

為進(jìn)一步探討該方法的噪聲魯棒性，將損傷結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)模態(tài)的噪聲水平分別設(shè)為0.5%，1%，3%，5%和10%，然后分別利用CMCM方法和CMCM-TSVD方法進(jìn)行損傷識(shí)別，結(jié)果如圖6所示。結(jié)合損傷閾值，提取各噪聲水平下的損傷定位結(jié)果，如表2所示。

圖6 工況2損傷識(shí)別結(jié)果(不同噪聲水平)Fig.6 Damage identification result of Case 2(different noise levels)

表2 工況2損傷定位結(jié)果Tab.2 Damage location result of Case 2

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，利用傳統(tǒng)的CMCM方法會(huì)出現(xiàn)對(duì)損傷的漏判(5%噪聲時(shí))，并且損傷指標(biāo)會(huì)出現(xiàn)小于-1的情況，失去物理意義(3%和10%噪聲時(shí))。而CMCM-TSVD方法體現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性，當(dāng)實(shí)測(cè)模態(tài)噪聲水平高達(dá)10%時(shí)，仍能夠定位出預(yù)設(shè)損傷位置，無漏判情況發(fā)生。但隨著噪聲水平的提高，該方法對(duì)損傷程度的識(shí)別誤差不斷增大，如圖7所示。另外，當(dāng)噪聲水平較高時(shí)，也可能會(huì)出現(xiàn)虛假損傷。

圖7 不同噪聲水平下的損傷識(shí)別誤差Fig.7 Identification error of damage atdifferent noise levels

2.2.3 工況3：實(shí)測(cè)模態(tài)空間不完備且包含噪聲

假定在模態(tài)測(cè)試中僅能夠獲得2～11節(jié)點(diǎn)的y向振動(dòng)信號(hào)，即僅能識(shí)別到10個(gè)自由度的振型值。本文采用Guyan擴(kuò)階方法和基于頻率的迭代修正法對(duì)該問題進(jìn)行對(duì)比研究。為模擬實(shí)際情況，同樣將實(shí)測(cè)模態(tài)分別添加0.5%，1%，3%，5%和10%共5種噪聲水平進(jìn)行研究。

(1)利用Guyan擴(kuò)階

利用Guyan擴(kuò)階后的模態(tài)構(gòu)建CMCM方程組，并采用TSVD方法進(jìn)行求解(該過程簡(jiǎn)寫為Guyan-CMCM-TSVD)，結(jié)果如圖8所示。結(jié)合損傷閾值，提取各噪聲水平下的損傷定位結(jié)果，如表3所示。

圖8 工況3損傷識(shí)別結(jié)果(不同噪聲水平)Fig.8 Damage identification result of Case 3(different noise levels)

表3 工況3損傷定位結(jié)果(利用Guyan-CMCM-TSVD過程)Tab.3 Damage location result of Case 3(with Guyan-CMCM-TSVD progress)

可見，該過程能有效地識(shí)別損傷位置，無漏判情況發(fā)生；但受振型擴(kuò)階和噪聲的影響，會(huì)出現(xiàn)虛假損傷。另外由圖7對(duì)比結(jié)果看出，該工況對(duì)損傷程度的識(shí)別誤差明顯高于工況2，這說明Guyan擴(kuò)階會(huì)影響CMCM-TSVD方法對(duì)損傷程度的識(shí)別精度。

(2)利用基于頻率的迭代修正法

本部分嘗試只用頻率信息采用1.3.2介紹的迭代修正法進(jìn)行損傷識(shí)別。

①將全部13個(gè)單元作為損傷識(shí)別對(duì)象，利用前4階實(shí)測(cè)頻率對(duì)無損傷模型進(jìn)行迭代修正，結(jié)果發(fā)現(xiàn)很難收斂，當(dāng)?shù)螖?shù)為1 000次時(shí)，損傷識(shí)別結(jié)果如圖9所示，只有單元6的損傷得到準(zhǔn)確識(shí)別，而其他單元的解偏離真值。主要原因是該過程中只有4個(gè)有效實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，而構(gòu)建的方程需要求解13個(gè)剛度修正系數(shù)和全部4階的模態(tài)振型，共計(jì)141個(gè)未知數(shù)，比較困難。

圖9 基于頻率的迭代修正法損傷識(shí)別結(jié)果Fig.9 Damage identification result by iterative updatingmethod based on frequencies

②假定損傷位置已確定，即將單元4、單元6和單元9作為損傷識(shí)別對(duì)象，經(jīng)8次迭代，結(jié)果如圖11(a)所示，損傷程度得到精確的識(shí)別。原因是該過程未使用任何實(shí)測(cè)模態(tài)信息，從而避免了測(cè)量噪聲以及擴(kuò)階造成的誤差。

2.2.4 兩階段損傷識(shí)別過程

對(duì)比工況2和工況3損傷識(shí)別結(jié)果可以看出，(1)利用Guyan-CMCM-TSVD過程不會(huì)出現(xiàn)損傷漏判，但會(huì)有虛假損傷出現(xiàn)；另外，對(duì)損傷程度的識(shí)別誤差較大。(2)實(shí)測(cè)模態(tài)迭代修正法的收斂性受信息量影響較大，但在損傷位置得到初步定位的條件下，該方法可以較準(zhǔn)確地識(shí)別損傷。

鑒于以上兩種過程的優(yōu)缺點(diǎn)，本文嘗試采用一種兩階段過程對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，流程圖如圖10所示。

圖10 兩階段損傷識(shí)別過程流程圖Fig.10 Flowchart of 2-stage damage identification process

為驗(yàn)證該過程的有效性，將工況2中表2和工況3中表3所示結(jié)果作為第I階段的損傷定位結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)不同噪聲水平下的損傷定位情況，采用基于頻率的迭代修正法進(jìn)行第II階段的損傷識(shí)別，結(jié)果如圖11所示。可見，即便在第I階段初步定位中出現(xiàn)虛假損傷，經(jīng)過第II階段的迭代修正仍然可以很精確地識(shí)別出損傷的位置和程度，如圖11(b)～(f)所示。

圖11 第II階段損傷識(shí)別結(jié)果(不同損傷定位情況)Fig.11 Damage identification result of stage II (for different damage locations)

3 懸臂梁試驗(yàn)算例

懸臂結(jié)構(gòu)是橋梁經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)形式之一。為驗(yàn)證本文所采用方法的有效性，對(duì)某懸臂梁物理模型開展損傷識(shí)別研究。

3.1 模型介紹

該梁幾何尺寸如圖12(b)所示，材料為鋼材，彈性模量為2×1011Pa，密度為7 850 kg/m3。其有限元模型如圖12(d)所示，共有11個(gè)節(jié)點(diǎn)，10個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)1固定，(忽略梁的軸向變形)每個(gè)節(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度，共20個(gè)自由度。通過特征值分解得到該梁有限元模型的模態(tài)頻率和振型，如表2所示。

模態(tài)測(cè)試共包括無損傷和有損傷兩種工況。其中損傷通過切割單元2來模擬，切割寬度為20 mm(約0.35倍的截面寬度)，如圖12(a)所示。傳感器布置方案如圖12(a)～(b)所示，只能測(cè)得各節(jié)點(diǎn)處切向自由度的加速度信號(hào)。測(cè)試儀器如圖12(c)所示。試驗(yàn)中，采用力錘敲擊單元10的中間部位，模擬沖擊激勵(lì)，采集加速度響應(yīng)信號(hào)，采樣頻率為200 Hz。采用文獻(xiàn)[20]提出的基于定階消噪的Prony方法識(shí)別各工況的模態(tài)參數(shù)，結(jié)果如表3所示。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，有限元模型和實(shí)測(cè)無損傷模型的前3階頻率相差較大。文獻(xiàn)[21]將該梁的邊界條件進(jìn)行了模型修正，修正效果較好，因此本文不再重復(fù)該過程，直接將修正后的模型作為無損傷結(jié)構(gòu)開展損傷識(shí)別研究。

圖12 懸臂梁模型Fig.12 Cantilever beam model

表3 懸臂梁模態(tài)參數(shù)Tab.3 Modal parameters of cantilever beam

3.2 損傷識(shí)別

第I階段：首先利用Guyan法將實(shí)測(cè)的前3階模態(tài)進(jìn)行擴(kuò)階，然后用前3階實(shí)測(cè)模態(tài)和前10階有限元模態(tài)構(gòu)建30個(gè)CMCM方程。繪出該方程組系數(shù)矩陣的Picard曲線和L曲線，如圖13所示。利用TSVD方法進(jìn)行求解，截?cái)鄶?shù)k=7，結(jié)果如圖14(a)所示。結(jié)合損傷閾值，可以將損傷定位到單元2。

圖13 Picard和L曲線(懸臂梁算例)Fig.13 Picard and L curves(for cantilever beam case)

第II階段：將單元2作為第II階段的損傷識(shí)別對(duì)象，利用前3階頻率信息采用迭代修正法進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果如圖14(b)所示，損傷程度為-0.325，與實(shí)際損傷程度基本相符。

圖14 懸臂梁損傷識(shí)別結(jié)果Fig.14 Damage identification result of cantilever beam

4 結(jié)論

基于模型修正的損傷識(shí)別方法在橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用中仍存在很多問題，本文針對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)不完備和測(cè)量噪聲影響下“病態(tài)”方程的求解問題進(jìn)行了探討，并分別對(duì)一個(gè)斜腿剛架橋數(shù)值模型和一個(gè)懸臂梁物理模型進(jìn)行了數(shù)值和試驗(yàn)研究，結(jié)論如下：

(1)CMCM-TSVD方法比傳統(tǒng)的CMCM方法具有更強(qiáng)的噪聲魯棒性。該方法不會(huì)出現(xiàn)損傷漏判，但隨著噪聲水平的提高會(huì)有虛假損傷出現(xiàn)。

(2)Guyan擴(kuò)階和測(cè)量噪聲均會(huì)影響CMCM-TSVD方法對(duì)損傷程度的識(shí)別精度。

(3)基于頻率的迭代修正法可以有效地避免測(cè)量噪聲和擴(kuò)階誤差對(duì)損傷識(shí)別的影響，但受實(shí)測(cè)信息量的影響，待識(shí)別的單元數(shù)不能太多。

(4)通過探討優(yōu)缺點(diǎn)，提出了兩階段損傷識(shí)別過程：首先利用Guyan擴(kuò)階和CMCM-TSVD方法進(jìn)行損傷的初步定位，然后利用基于頻率的迭代修正法進(jìn)行損傷的精確識(shí)別。數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)研究表明，利用該兩階段模型修正過程可準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。

[1] 宗周紅, 鐘儒勉, 鄭沛娟, 等. 基于健康監(jiān)測(cè)的橋梁結(jié)構(gòu)損傷預(yù)后和安全預(yù)后研究進(jìn)展及挑戰(zhàn)[J]. 中國(guó)公路學(xué)報(bào), 2014, 27(12): 46-57. ZONG Zhou-hong, ZHONG Ru-mian, ZHENG Pei-juan, et al. Damage and Safety Prognosis of Bridge Structures Based on Structural Health Monitoring: Progress and Challenges[J]. China Journal of Highway and Transport, 2014, 27(12): 46-57.

[2] ALVANDI A, CREMONA C. Assessment of Vibration-based Damage Identification Techniques [J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 292(1/2):179-202.

[3] 楊小森, 閆維明, 陳彥江,等. 基于振動(dòng)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征的損傷識(shí)別方法[J]. 公路交通科技, 2013, 30(12): 99-106. YANG Xiao-sen, YAN Wei-ming, CHEN Yan-jiang, et al. Damage Detection Method Based on Statistics Characteristics of Vibration Signal[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2013, 30(12): 99-106.

[4] 宋子收, 周奎, 李胡生, 等. 基于曲率模態(tài)和小波系數(shù)差的損傷識(shí)別[J]. 公路交通科技, 2010, 27(11): 61-66. SONG Zi-shou, ZHOU Kui, LI Hu-sheng, et al. Damage Identification Based on Curvature Mode and Difference of Wavelet Coefficients[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2010, 27(11): 61-66.

[5] SIMOEN E, ROECK G D, LOMBAERT G, et al. Dealing with Uncertainty in Model Updating for Damage Assessment: A Review[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 56/57:123-149.

[6] WANG S, LI Y, LI H. Structural Model Updating of an Offshore Platform Using the Cross Model Cross Mode Method: An Experiment Study [J]. Ocean Engineering, 2015,97: 57-64.

[7] HU S L J, LI H, WANG S. Cross-model Cross-mode Method for Model Updating [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(4): 1690-1703.

[8] 李英超.基于模態(tài)參數(shù)識(shí)別的海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型修正技術(shù)研究[D].青島：中國(guó)海洋大學(xué)，2012. LI Ying-chao. Study on Finite Element Model Updating for Offshore Platform Structures Based on Modal Parameter Identification [D]. Qingdao: Ocean University of China, 2012.

[9] TIKHONOV A N. Solution of Incorrectly Formulated Problems and the Regularization Method [J]. Soviet Mathematics Doklady, 1963(5):1035-1038.

[10]吳頡爾. 正則化方法及其在模型修正中的應(yīng)用[D]. 南京：南京航空航天大學(xué),2007. WU Jie-er. Regularization Method and Its Application in Finite Element Model Updating [D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2007.

[11]肖庭延,于慎根,王彥飛. 反問題的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社,2003. XIAO Ting-yan, YU Shen-gen, WANG Yan-fei. Numerical Solution of Inverse Problem [M]. Beijing: Science Press, 2003.

[12]王俊榮.海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)物損傷檢測(cè)與模型修正方法研究[D].青島：中國(guó)海洋大學(xué)，2009. WANG Jun-rong. Study on Damage Detection and Model Updating for Offshore Platform Structures [D]. Qingdao: Ocean University of China, 2009.

[13]WANG S. Iterative Modal Strain Energy Method for Damage Severity Estimation Using Frequency Measurements [J]. Structural Control and Health Monitoring, 2013,20(2):230-240.

[14]WANG S Q, LI H J. Assessment of Structural Damage Using Natural Frequency Changes [J]. Acta Mechanica Sinica, 2012, 28(1):118-127.

[15]MARES C, FRISWELL M I, MOTTERSHEAD J E. Model Updating Using Robust Estimation[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2002, 16(1):169-183.

[16]FRISWELL M I, MOTTERSHEAD J E, AHMADIAN H. Finite-element Model Updating Using Experimental Test Data: Paramterization and Regularization [J]. Philosophical Transactions: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2001, 359 (1778):169-186.

[17]張德文.模型修正與破損診斷[M].北京：科學(xué)出版社,1999. ZHANG De-wen. Model Updating and Damage Detection[M].Beijing: Science Press, 1999.

[18]賈俊平,何曉群,金勇進(jìn).統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社, 2015. JIA Jun-ping, HE Xiao-qun, JIN Yong-jin. Statistics[M]. Beijing: China Renmin University Press,2015.

[19]WANG S. Model Updating and Parameters Estimation Incorporating Flexible Joints and Boundary Conditions[J]. Inverse Problems in Science and Engineering, 2014, 22(5): 727-745.

[20]包興先. 基于模型定階和信號(hào)消噪的海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別研究[D].青島:中國(guó)海洋大學(xué), 2010. BAO Xing-xian. Model Order Determination and Noise Removal for Modal Parameter Estimation of Offshore Platform Structures[D]. Qingdao: Ocean University of China, 2010.

[21]李英超, 張敏, 李華軍. 利用不完備實(shí)測(cè)模態(tài)修正桿系結(jié)構(gòu)約束邊界條件[J].工程力學(xué), 2013,30 (1):288-294. LI Ying-chao, ZHANG Min, LI Hua-jun. Model Updating for Constraint Boundary Conditions of Member Structures Using Incomplete Measured Modes[J]. Engineering Mechanics, 2013,30(1): 288-294.

Identification of Damage in Beam Structures Based on Incomplete and Noise-polluted Modal Data

LI Ying-chao1, WANG Shu-qing2, SHI Yun1

(1. School of Civil Engineering, Ludong University, Yantai Shandong 264025, China;2. School of Engineering, Ocean University of China, Qingdao Shandong 266100, China)

The cross-model cross-mode(CMCM) method is applied to identify the damages in beam structures, and 2 key problems in practical application of the method are mainly solved, including the solution problem of “ill conditioned” system with measurement noise and the incomplete problem of measured modes. A TSVD regularization based model updating process is proposed, which can identify the damages in structures using limited low order and noise-polluted modes. The Guyan expansion method and the frequency based iterative updating method are used to deal with the spatial incompleteness of the measured modes. Through discussing their pluses and minuses, a 2-step damage identification procedure is proposed, in which the damages are first located with Guyan expansion and TSVD regularization solving based model updating process, and then the severities of the damages are identified with the frequency based iterative updating method. The numerical calcalation and experimental study demonstrate that (1) the TSVD regularization method can effectively improve the robustness of the CMCM method; (2) when the measured modes are incomplete and noise-polluted, the damage in the structure can be identified accurately using the 2-step damage identification procedure.

bridge engineering; damage identification; model modification; regularization; modal expansion

2016-01-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51379196)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013EEQ006)；泰山學(xué)者工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)魯東大學(xué)科研基金項(xiàng)目 (LY2013027)

李英超(1985-)，女，山東齊河人，博士.(yingchao.ouc@163.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.012

U447

A

1002-0268(2016)11-0076-10