楊建榮,程元飛,毛潤華,周 婷
(上饒師范學院 物理與電子信息學院,江西 上饒 334001)
辛普森積分法求解圓電流激發(fā)的磁場
楊建榮,程元飛,毛潤華,周 婷
(上饒師范學院 物理與電子信息學院,江西 上饒 334001)
利用辛普森積分法,借助數(shù)學軟件,獲得了圓電流磁場在整個三維空間分布的新解析解。根據(jù)解析解分析了圓電流的圓心和中心軸線上的磁場;找到了圓電流磁場三個分量之間的數(shù)量關系;直觀地描述了磁場的大小、方向以及空間分布規(guī)律;定量分析了圓電流軸向磁場的勻強區(qū)變化。
辛普森積分法;圓電流;磁場;空間分布
圓電流激發(fā)的磁場在電子、電工和通訊等眾多工程領域中有著廣泛的應用,它在空間的分布是電磁學中重要而典型的一個問題[1]。許多學者對圓電流激發(fā)的磁場的空間分布,進行了求解,由于積分的復雜性,不管是矢勢方法[2],還是采用畢奧-薩伐爾定律求解,所獲得的解析解只局限在平面內(nèi)或軸線上[1,3],而三維空間的磁場則用橢圓積分表示[4-6]。最近,文獻[7]從畢奧-薩伐爾定律出發(fā),通過一系列復雜的變量替換,找到了磁場在三維空間中分布的級數(shù)形式解。本文對求解過程中出現(xiàn)的積分問題,直接采用辛普森積分法,獲得圓電流磁場在整個三維空間分布的新解析解。
設圓電流線圈置于直角坐標系xoy平面內(nèi),通過的電流為I,半徑為R,如圖1所示,矢徑r01與x軸的夾角為θ,則
r01=Rcosθ i+Rsinθj,
①
r02=Rcos(θ+dθ)i+Rsin(θ+dθ)j
=R(cosθcosdθ-sinθsindθ)i
+R(sinθcosdθ+cosθsindθ)j
②
式中 i, j, k分別為x,y,z軸的單位矢量。因為dθ很小,則有sindθ≈dθ,cosdθ≈1,所以
③
微電流元的
dl=r02-r01圖1 一級載流圓線圈激發(fā)磁場圖
=R(cosθ-sinθdθ-cosθ)i+R(sinθ+cosθdθ-sinθ)j
=-Rsinθ dθ i+Rcosθ dθ,
④
在空間任選一點P(x,y,z),到原點的距離為rp=x i+y j+z k,則它到電流元的距離為
r=rp-r01=(x-Rcosθ) i+(y-Rsinθ) j+z k。
⑤
因此
⑥
將⑥式代入畢奧—薩伐爾定律,得電流元I dl在P點激發(fā)的磁感應強度為
⑦
對(7)式兩邊積分,可得圓電流在空間P點激發(fā)的磁場分量表達式分別為:
,
⑧
,
⑨
。
⑩
辛普森(Simpson)積分法是定積分計算常用的方法[8,9],對⑧-⑩式,利用辛普森積分法,可直接積分得到新的解析解。為了減少計算,可借助Maple、Mathematics或Matlab等數(shù)學軟件進行計算,例如起動Maple數(shù)學軟件,寫入如下指令:
>restart:with(student):
>Bx=simpson(mu[0]*I*R*z*cos(theta)/(4*pi*(x^2-2*x*R*cos(theta)+R^2+y^2-2*y*R*sin(theta)+z^2)^(3/2)),theta=0..2*pi,n);
可得新的解析解
同理可得
圓電流在空間任意點的磁場為
B=Bxi+Byj+Bzk,
利用磁場的三個分量(11)-(13)式,可分析磁場在空間任意點、線、面的大小和方向。
2.1 圓電流圓心和中心軸線上的磁場
首先,為了驗證(11)-(13)式的正確性,考慮圓電流圓心和中心軸線上的磁場。
將x=0,y=0,z=0,分別代入(11)-(13)式,得圓電流中心點的Bx=0,By=0,而
將x=0,y=0,代入(13)式,得圓電流中心軸線上z方向的磁場為
2.2 圓電流磁場三個分量之間的數(shù)量關系
式中B0等于式中第一個等號右邊的第一項。式表明了圓電流在空間某點的磁場三個分量的數(shù)量關系。對于給定的系統(tǒng),由式可知,如果某點的x、y方向的磁感應強度Bx和By數(shù)值大,則z方向的磁感應強度Bz值就小。當z=0,Bx=By=0,不出現(xiàn)奇點。
2.3 圓電流磁場的空間分布
對于垂直于z軸平面的Bx與By合成的場強分布,如圖2、圖3所示。圖中符號的粗細和長短表示磁感應強度的大小,箭頭表示磁場的方向,圖中的圓是圓電流線圈所在位置。由圖可知,靠近線圈的磁感應強度大,反之?。籅x與By合成的場強方向,在z=0.1的平面背向圓心,成輻射狀;而在z=-0.1的平面指向圓心,成會聚狀。
圖2 z= 0.1平面, Bxi+Byj的分布
圖3 z= -0.1平面, Bxi+Byj的分布
空間任意點B=Bxi+Byj+Bzk,它的分布如圖4所示。從符號的大小和長短可知,靠近線圈位置的磁場大,而遠離線圈位置則逐漸減??;從符號的箭頭可知,在圓電流線圈所在位置,圓內(nèi)磁場方向與z軸同向,圓外與z軸反向,方向的變化與教材給出的相同。
圖4 磁感應強度B的空間分布
2.4 圓電流軸向磁場的勻強區(qū)變化
在電子、電工和通訊等工程領域中,常常需要使用圓電流軸向磁場的勻強磁場區(qū)。根據(jù)式,可得到圓電流軸向磁場的勻強區(qū)的大小隨z的變化,其結(jié)果如圖5所示。圖中取x=0,給出了Bz隨y的變化,由于圓電流的軸對稱性,Bz隨x的變化與此類似。由圖可知,離線圈平面近的z=0和z=0.02平面,在y=0附近的Bz隨y的變化大,勻強區(qū)??;當z=0.05時,在y=0附近的Bz隨y的變化小,勻強區(qū)增大;當z=0.1,為圓電流線圈半徑(R=0.2)的一半時,在y=0附近的Bz隨y的變化最小,勻強區(qū)最大;當繼續(xù)增大,z=0.15時,在y=0附近的Bz隨y的變化增大,勻強區(qū)減小。圓電流軸向磁場的大小,是以線圈平面為對稱面的,在軸向離線圈平面等距離的兩處,磁感應強度大小相等,方向相反,所以當兩同軸放置的等大線圈,相距為半徑時,產(chǎn)生的勻強區(qū)范圍最大。由此可定量解釋亥姆霍茲線圈獲得的勻強區(qū)范圍最大。
圖5 Bz的勻強區(qū)隨z的變化
利用辛普森積分法,借助數(shù)學軟件,簡便輕松地獲得了圓電流磁場在整個三維空間分布的新解析解,如-式。根據(jù)解析解分析了圓電流圓心和中心軸線上的磁場,從一個方面證明了解的正確性;找到了圓電流磁場三個分量之間的數(shù)量關系,如式;根據(jù)解析解進行了數(shù)值分析,形象地描述了磁場的大小和方向在空間的分布;定量分析了圓電流軸向磁場的勻強區(qū)變化,能有力地說明亥姆霍茲線圈所獲得勻強區(qū)范圍最大。對于多個圓電流的組合激發(fā)的磁場分布,將另文報告。
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Magnetic Field of Circular Current by Simpson Integral Method
YANG Jian-rong, CHENG Yuan-fei, MAO Run-hua, ZHOU Ting
(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China)
Using Simpson integral method for the circular current, the new analytic solution of three-dimension magnetic field distribution is obtained by mathematical software. Then the magnetic field in the core and central axis is analyzed, the numerical relationship among three components is found, the magnitude, direction and spatial distribution is described, and the magnetic field change of uniform strong region along axial direction is discussed.
simpson integral method; circular current; magnetic field; spatial distribution
2016-05-27
江西省教改課題(JXJG-13-16-4);江西省科技落地項目(KJLD13086);國家自然科學基金項目(11465015,11365017)
楊建榮(1966-),女,江西上饒人,教授,博士,主要人事物理學的教學及研究。E-mail:sryangjr@163.com
O441
A
1004-2237(2016)06-0022-06
10.3969/j.issn.1004-2237.2016.06.005