陳曉婕

【摘 要】 條件概率是高中概率教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生難懂，教師難教，其教學(xué)引起了教師們的重視，諸多研究正逐步展開. 其中，王志軍老師的《“條件概率”教學(xué)設(shè)計(jì)》一文從實(shí)踐層面，給出了這一內(nèi)容教學(xué)的諸多建議，頗有價(jià)值. 筆者根據(jù)其建議，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，再深入談?wù)剬l件概率教學(xué)設(shè)計(jì)的三點(diǎn)建議，以就教于同行.

【關(guān) 鍵 詞】 條件概率；幾何概型；古典概型

一、設(shè)置情境，引入概念

學(xué)生在必修三已經(jīng)學(xué)習(xí)過古典概型和幾何概型的概念，能夠準(zhǔn)確理解隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的含義，并且能夠靈活運(yùn)用分類或分步原理求解事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這為本節(jié)學(xué)習(xí)條件概率做好了知識(shí)準(zhǔn)備. 但條件概率對于學(xué)生是一個(gè)全新的概念，根據(jù)隨倩倩老師的研究《評估學(xué)生條件概率學(xué)習(xí)的困難》發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在對條件概率的理解上存在許多錯(cuò)誤的認(rèn)知，如“因果偏見”、“時(shí)間順序偏見”、混淆P（AB）和P（AB）、混淆限制條件等[1]. 因此針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，本文主要從“條件概率”教學(xué)中易出現(xiàn)的三個(gè)問題入手，再次深入探討了三個(gè)問題的解決方法.

從教師的角度分析，本節(jié)教學(xué)易出現(xiàn)如下問題：

1. 推導(dǎo)條件概率公式化定義的過程并不完備，此處王志軍老師也有提出，單純從古典概型角度的闡述會(huì)略去對幾何概型條件概率的研究[2]；

2. 僅指出0≤P（AB）≤1，教師可對P（AB）=0和1的特殊情況做適當(dāng)處理，加深學(xué)生的理解；

3. 缺少對條件概率本質(zhì)的闡述和直觀的圖形認(rèn)識(shí)，抓不住概念的本質(zhì).

對此，教師可以根據(jù)新課程的要求，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，使學(xué)生參與到解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)中去，經(jīng)歷條件概率公式產(chǎn)生的過程. 例如：

例1：箱子里有紅、黃、白三個(gè)小球，現(xiàn)由甲、乙2名同學(xué)依次無放回地摸球，問乙同學(xué)摸到紅球的概率是多少？

解：B=“乙同學(xué)摸到紅球”，則所有可能發(fā)生的結(jié)果記為Ω{白紅，白黃，紅白，紅黃，黃白，黃紅}.

由古典概型，得P（B）

問題1：如果已知甲沒有摸到紅球，那么乙摸到紅球的概率又是多少呢？

我們分析問題1，已知甲在沒有摸到紅球的條件下去求乙摸到紅球的概率，這就是一個(gè)條件概率問題. 現(xiàn)在給出條件概率定義.

定義：一般地，若有兩個(gè)事件A、B，已知在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，記做：P（AB）.

問題1 （方法一）

解：設(shè)事件A=“甲沒有摸到紅球”，事件B=“乙摸到紅球”，則A={紅白，紅黃，黃白，黃紅}為我們所要研究的對象.

一方面，由古典概型，P（BA）

另一方面，由古典概型P（AB），代入上式，得到一個(gè)與計(jì)數(shù)無關(guān)的更為一般的公式：

這個(gè)公式就是條件概率公式，其中P（AB）表示事件AB同時(shí)發(fā)生的概率. 因此問題1還可以直接用條件概率公式求解.

問題1 （方法二）

說明：在問題1的方法二中，我們用條件概率公式 P（BA）=進(jìn)行解答，清晰明了，言簡意賅，不僅加深學(xué)生對概念的理解，而且激發(fā)學(xué)生對條件概率公式靈活應(yīng)用. 接下來我們再來看一個(gè)例題：

例2：如圖1，邊長為3的大正方形被平均分成9個(gè)部分，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)（投中且不考慮邊界），記為Ω，設(shè)投中左上角的小正方形為事件A，投中陰影部分為事件B，求P（B）和P（BA）.

另一方面，在幾何概型中，若以m（A），m（AB）分別記事件A，AB所對應(yīng)點(diǎn)集的測度（包括長度、面積和體積），且m（A）>0，則有P（AB）=，P（A）=.

同樣得到P（BA）

在一般情況下，我們把這個(gè)算式作為條件概率的定義.

一般地，設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P（A）>0，稱P（BA）=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.

說明：問題的設(shè)置是為了使學(xué)生產(chǎn)生“心理缺口”，激發(fā)對本節(jié)的學(xué)習(xí)興趣. 同時(shí)，引例“摸球”來源于教材，做出改編的目的是為了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符號(hào)的干擾，給學(xué)生更加清晰直觀的認(rèn)識(shí). 從古典概型和幾何概型兩個(gè)方面進(jìn)行歸納，引出條件概率的概念，目的是使學(xué)生體會(huì)公式的合理性.

二、抓住本質(zhì)，深入理解

問題2：為什么P（B）≠P（BA）呢？

從韋恩圖的角度，這個(gè)公式可以理解為：已知樣本點(diǎn)落在了A中（事件A已經(jīng)發(fā)生），求落在B中（事件B發(fā)生）的概率. 由于樣本點(diǎn)已經(jīng)落在A中的條件下，又要落在B中，故要落在AB中（即事件AB發(fā)生）.

在這種觀點(diǎn)的理解下，原來的樣本空間Ω縮減成為了事件A所對應(yīng)的樣本空間，原來事件B所對應(yīng)的樣本空間縮減成為了事件AB所對應(yīng)的樣本空間.[3]

可見，P（BA）與積事件P（AB）是不一樣的，且P（BA）=.

P（B）≠P（BA）的原因是樣本空間發(fā)生了變化.

問題3：樣本空間縮小后，P（BA）一定會(huì)大于P（B）嗎？

例3：（2011年湖南卷）如圖3，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.

將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圖內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則

說明：問題3的設(shè)置是為了糾正學(xué)生常見的認(rèn)知錯(cuò)誤，即認(rèn)為樣本空間縮減后的概率就一定會(huì)變得比原來大. 但事實(shí)上，P（BA）不一定大于P（B），搞清樣本空間的變化才是把握條件概率的關(guān)鍵.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 隨倩倩. 評估學(xué)生條件概率學(xué)習(xí)的困難[D]. 上海：華東師范大學(xué)，2012.

[2] 王志軍. “條件概率”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（6）：34-36.

[3] 朱賢良. 把握“縮減樣本空間”突破條件概率難點(diǎn)[J]. 河北理科教學(xué)研究，2015（1）：40-42.