張衛(wèi)星

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增的核心概念，它是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。小學(xué)生的思維水平正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡，離不開(kāi)具體事物的支持。幾何直觀將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)，從而突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。因此，作為數(shù)學(xué)教師要根據(jù)學(xué)生實(shí)際靈活運(yùn)用幾何直觀，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，從而提升學(xué)習(xí)效率。

一、借助幾何直觀，理解算式意義

算式比較抽象，內(nèi)涵比較豐富。如果單純地讓學(xué)生說(shuō)算式的意義，學(xué)生可能會(huì)覺(jué)得枯燥乏味，且不知其所以然。如果能將算式與直觀圖形進(jìn)行有效溝通，就可以讓學(xué)生更好地理解算式的意義，同時(shí)又可以讓學(xué)生覺(jué)得原來(lái)數(shù)學(xué)這么有趣，從而自然而然喜歡上數(shù)學(xué)。

[案例1]人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“減法的性質(zhì)”教學(xué)片段：

師：下面兩道算式，你覺(jué)得相等嗎？為什么？

178-（78+66）和178-78+66

大部分學(xué)生是通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明的，結(jié)果當(dāng)然有兩種——相等與不等，對(duì)的還是對(duì)，錯(cuò)的還是錯(cuò)，誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí)。

師：大家都有自己的想法，現(xiàn)在就請(qǐng)你們用線段圖來(lái)表示這兩道算式的意思吧，看看結(jié)果會(huì)是怎樣？（在展示學(xué)生的作品后，教師課件出示如下標(biāo)準(zhǔn)的線段圖。）

生1：表示結(jié)果的線段長(zhǎng)度不一樣！第一幅圖顯示在一條線段中依次減去兩條短線段，而第二幅圖只是減去一條短線段，然后加上另一條短線段。

生2：當(dāng)然不一樣，178-（78+66）不等于178-78+66；178-（78+66）而是與178-78-66相等。

評(píng)析：學(xué)習(xí)“減法的性質(zhì)”后，教材安排了運(yùn)用這種性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算，學(xué)生由于過(guò)于關(guān)注“數(shù)”，因而對(duì)于結(jié)構(gòu)相似的算式容易混淆、出錯(cuò)。上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出線段圖，并通過(guò)對(duì)線段圖的解讀，讓學(xué)生較好地理解相似算式的不同意義，從而減少學(xué)生出錯(cuò)的概率。可見(jiàn)，借助幾何直觀可以使學(xué)生較好地理解算式的意義。

二、借助幾何直觀，明晰概念本質(zhì)

概念是對(duì)事物本質(zhì)屬性的反映，既是思維的基礎(chǔ)，又是思維的“細(xì)胞”，是正確推理和判斷的依據(jù)。在平時(shí)學(xué)生的錯(cuò)題中可以看出，大多數(shù)的錯(cuò)誤都是由于數(shù)學(xué)概念不清或者對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不夠確切造成的，又因?yàn)楦拍罹哂幸欢ǖ某橄笮裕噪y度也就可想而知。而適時(shí)借助幾何直觀，可以讓抽象的概念變得具體形象，從而讓學(xué)生快速明晰概念的本質(zhì)。

[案例2]人教版三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”教學(xué)片段：

師：看，這些小羊大家認(rèn)識(shí)嗎？小羊們要上一節(jié)體育課，老師給它們布置了一個(gè)任務(wù)——圍操場(chǎng)跑一圈。想知道它們是怎樣跑的嗎？

生（齊）：想。

師：我們來(lái)看，這是三只小羊的跑步路線圖。觀察一下，你有什么想說(shuō)的？

生1：我覺(jué)得懶羊羊跑得不對(duì)，它沒(méi)有繞著操場(chǎng)跑一圈，而跑到操場(chǎng)里邊去了。

師：你覺(jué)得它應(yīng)該怎樣跑呢？

生1：它應(yīng)該沿著操場(chǎng)的邊線來(lái)跑。

師：對(duì)啊，圍著操場(chǎng)跑，就應(yīng)該繞著操場(chǎng)的邊線來(lái)跑。（板書(shū)：一周邊線的長(zhǎng)度）

生2：暖羊羊跑得也不對(duì)，它雖然沿操場(chǎng)邊線跑了，但它沒(méi)有跑完。

師：它應(yīng)該跑到哪兒？

生2：它應(yīng)該跑回到起點(diǎn)的位置。（板書(shū)：回到起點(diǎn)）

師：喜羊羊跑對(duì)了嗎？

生3：喜羊羊跑對(duì)了，它是沿著操場(chǎng)的邊線跑的，而且還跑回到了起點(diǎn)。

師：像喜羊羊這樣跑一圈，就是我們剛才所說(shuō)的“一周”。誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)，怎樣才是操場(chǎng)的一周？（生答略）

師：請(qǐng)同學(xué)們伸出手來(lái)，從這一點(diǎn)出發(fā)，描出操場(chǎng)的一周。（學(xué)生跟著教師比畫(huà)，描出圖上操場(chǎng)一周。）

評(píng)析：在上述教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的動(dòng)畫(huà)人物跑步的情境。通過(guò)對(duì)三種直觀的不同跑步線路的辨析，讓學(xué)生明晰什么是操場(chǎng)的“一周”，即一周邊線的長(zhǎng)度，從而初步建立起“一周”的概念。而“一周”的概念明晰了，“周長(zhǎng)”的概念也就水到渠成。可見(jiàn)，借助幾何直觀可以讓學(xué)生明晰概念的本質(zhì)。

三、借助幾何直觀，感知數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而做的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)。具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型比較抽象，不易感知。但若能將數(shù)學(xué)模型用圖形直觀地展示出來(lái)，學(xué)生感知起來(lái)就易如反掌。

[案例3]人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“乘法分配律”教學(xué)片段：

教學(xué)伊始，教師在屏幕上出示以下問(wèn)題：

有一個(gè)長(zhǎng)方形的果園，原來(lái)長(zhǎng)80米，寬20米，擴(kuò)大規(guī)模后，長(zhǎng)增加了30米?，F(xiàn)在這個(gè)果園的面積有多大？

師：想象一下，如果用一幅圖來(lái)表示題目的意思，這幅圖會(huì)是怎樣的呢？請(qǐng)把想象的圖畫(huà)出來(lái)。（學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖）

交流學(xué)生作品后，師課件呈現(xiàn)規(guī)范圖形（如下圖）。

師：你們會(huì)獨(dú)立解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（學(xué)生嘗試解決）

師投影反饋：說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生1：我先算出擴(kuò)大規(guī)模后果園的長(zhǎng)，再算擴(kuò)大規(guī)模后果園的面積，即（80+30）×20=2200（平方米）。（教師適時(shí)進(jìn)行課件動(dòng)態(tài)演示）

生2：我先算出果園原來(lái)的面積，再算出后來(lái)增加的面積，最后把原來(lái)的面積和增加的面積合起來(lái)就是果園現(xiàn)在的面積，即80×20+30×20=1600+600=2200（平方米）。（教師同樣適時(shí)進(jìn)行課件動(dòng)態(tài)演示）

師：剛才大家都用自己喜歡的方法從不同的角度出色地解決了同一個(gè)問(wèn)題?，F(xiàn)在請(qǐng)大家觀察一下這兩個(gè)等式：（80+30）×20=2200（平方米），80×20+30×20=1600+600=2200（平方米），你們有什么要說(shuō)的？

生（齊）：它們的結(jié)果是一樣的！

教師適時(shí)板書(shū)：（80+30）×20=80×20+30×20。

師：大家會(huì)讀這個(gè)等式嗎？

生：80加30的和乘20，等于80乘20的積加30乘20的積。

評(píng)析：在上述教學(xué)中，教師提出問(wèn)題后并沒(méi)有讓學(xué)生直接計(jì)算，而是引導(dǎo)學(xué)生想象出這個(gè)果園原來(lái)和擴(kuò)大規(guī)模后的幾何圖形，在充分交流的基礎(chǔ)上再出示制作好的幾何圖形課件，讓學(xué)生根據(jù)圖形嘗試解決問(wèn)題。借助幾何直觀，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更濃，解決策略更多，學(xué)習(xí)自信更強(qiáng)，最重要的是在“式”與“形”的結(jié)合中，學(xué)生初步感知到乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型?？梢?jiàn)，幾何直觀是幫助學(xué)生直接感知數(shù)學(xué)模型的有效載體。

四、借助幾何直觀，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本依據(jù)，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。數(shù)學(xué)思想是人們?cè)谏a(chǎn)生活中總結(jié)出來(lái)的，具有悠久的歷史，經(jīng)歷過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)，具有高度的抽象概括性。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想也不是一蹴而就的，而是伴隨自身知識(shí)、思維的發(fā)展而逐漸感悟的。如果教師能借助幾何直觀，把數(shù)學(xué)思想形象展現(xiàn)出來(lái)，那就可以大大縮短學(xué)生感悟的時(shí)間。

[案例4]人教版三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“集合”教學(xué)片段：

師出示：三（1）班有20人參加跳高比賽，18人參加跑步比賽，其中8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。一共有多少人參加這兩項(xiàng)比賽？（學(xué)生開(kāi)始列式計(jì)算）

師：如果用“韋恩圖”表示，你會(huì)畫(huà)嗎？（學(xué)生畫(huà)后，課件演示，如下圖。）

師：這題中，有8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。還可能有幾人？（生答略）

師：最多幾人？可能是19人嗎？最少幾人？為什么？

（隨著學(xué)生的回答，課件中的“韋恩圖”不斷變化，如下圖。）

評(píng)析：“這幅圖中，有8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。還可能有幾人？”一石激起千層浪，開(kāi)放式的問(wèn)題讓學(xué)生興趣盎然，他們的思維始終活躍著。“最多幾人？可能是19人嗎？”“最少幾人？為什么？”隨著教師的連續(xù)追問(wèn)，學(xué)生的思維不斷深入，課件中的“韋恩圖”也在不斷地變化?！芭叮趺葱A圈在大圓圈里面了？”“咦，小圓圈和大圓圈分開(kāi)了！”學(xué)生的一聲聲驚呼道出了“韋恩圖”的微妙之處，并集、交集與子集等集合思想在“韋恩圖”的變化中得到滲透，真可謂“此處無(wú)聲勝有聲！”可見(jiàn)，借助幾何直觀可以讓學(xué)生形象地感悟數(shù)學(xué)思想。

總之，借助幾何直觀可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。這就需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中有意識(shí)、經(jīng)常性地采用幾何直觀這種方法來(lái)分析問(wèn)題，不斷地進(jìn)行滲透，不斷地刺激學(xué)生，使學(xué)生逐步感受到這種方法的優(yōu)越性，從而潛移默化地產(chǎn)生樂(lè)意嘗試乃至主動(dòng)運(yùn)用這種方法，最終形成幾何直觀的思維習(xí)慣。若能如此，就能讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)并不難，數(shù)學(xué)很有趣，從而享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好！