徐祿文，梁 林，高芳清，吳 祺

（1.國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司 電力科學(xué)研究院，重慶 401123；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

樓內(nèi)配變室砼地板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射分析

徐祿文1，梁 林2，高芳清2，吳 祺2

（1.國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司 電力科學(xué)研究院，重慶 401123；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

樓內(nèi)配變?cè)O(shè)備（例如變壓器）工作時(shí)會(huì)引起與之相連的混凝土地板振動(dòng)，并通過傳遞引起其它結(jié)構(gòu)振動(dòng)，這些振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)聲輻射現(xiàn)象。對(duì)此進(jìn)行分析為樓內(nèi)配變室結(jié)構(gòu)傳聲研究的一部分工作，假定砼地板四邊固支并適當(dāng)考慮地基的彈性作用，采用Hamilton方程和振型疊加法對(duì)地板的振動(dòng)位移方程進(jìn)行了推導(dǎo)與求解，并據(jù)此對(duì)地板的結(jié)構(gòu)聲輻射進(jìn)行研究。其中注意到振動(dòng)模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射功率貢獻(xiàn)的非獨(dú)立性，計(jì)入結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)耦合項(xiàng)的影響，對(duì)地板的結(jié)構(gòu)聲輻射效率與聲功率進(jìn)行分析。

振動(dòng)與波；變壓器；混凝土地板；振動(dòng)模態(tài)；結(jié)構(gòu)聲輻射；聲功率

辦公或居民樓內(nèi)設(shè)置配變室已很常見，配變?cè)O(shè)備（變壓器）常安置于砼地板上，設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)激起地板振動(dòng)[1-3]，向外傳遞并產(chǎn)生結(jié)構(gòu)聲輻射[4-6]，該噪聲作為環(huán)境污染影響人們的日常生活，為此掌握相關(guān)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)性狀以及其對(duì)外聲輻射規(guī)律具有現(xiàn)實(shí)意義。板結(jié)構(gòu)（包括砼板結(jié)構(gòu)）的受迫振動(dòng)及其傳遞，已有大量前人研究成果，目前常用的研究方法，主要分?jǐn)?shù)值方法和能量法，數(shù)值方法主要包括有限元法（FEM）[7-8]、邊界元法(BEM)[9-10]，其中有限元法對(duì)于高頻分析存在相對(duì)較大的誤差；能量法對(duì)于位移函數(shù)的準(zhǔn)確選取較為困難。考慮上述因素以及文中砼地板安置于彈性地基上且與四面墻體固結(jié)，本文基于溫克勒（Winkler）地基模型適當(dāng)考慮了地基的彈性支持作用，建立了樓內(nèi)配變室混凝土地板結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型，結(jié)合Hamilton原理和振型疊加法對(duì)混凝土板的位移方程進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，據(jù)此在板的位移方程求解的基礎(chǔ)上，對(duì)板的結(jié)構(gòu)聲輻射進(jìn)行研究。結(jié)構(gòu)聲輻射效率和聲功率是評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射能力的重要指標(biāo)，Wallace在70年代就提出關(guān)于簡(jiǎn)支板的模態(tài)輻射效率[11-12]的計(jì)算方法，后續(xù)眾多學(xué)者對(duì)不同邊界條件板結(jié)構(gòu)的聲輻射效率和聲功率也進(jìn)行了研究，特別是考慮到各階結(jié)構(gòu)模態(tài)對(duì)聲功率的貢獻(xiàn)互相不獨(dú)立[13-15]，總的聲功率并不是等于各個(gè)單獨(dú)結(jié)構(gòu)模態(tài)組成的聲功率之和，而是等于各個(gè)獨(dú)立模態(tài)聲功率加上各階模態(tài)之間的耦合聲功率。因此本文在考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)之間的耦合項(xiàng)的前提下，對(duì)室內(nèi)配電房變壓器振動(dòng)所致彈性地基上地板的聲輻射進(jìn)行研究。

1 地板在彈性地基上的理論模型

如圖1所示，將變壓器在地板上激振情況簡(jiǎn)化為如下板結(jié)構(gòu)分析模型，變壓器激勵(lì)簡(jiǎn)化為集中簡(jiǎn)諧激振力配電房地板與四面墻體固結(jié)，因此考慮地板的邊界條件為四邊固支情況。又考慮到板置于彈性地基上，將地基簡(jiǎn)化為剛度為K0的彈簧，不考慮彈性地基阻尼，K0為地基豎向剛度系數(shù)動(dòng)力解，與地基土的力學(xué)參數(shù)有關(guān)，其計(jì)算式如下

圖1 混凝土板簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖

混凝土板在變壓器激振下振動(dòng)，設(shè)板振動(dòng)的總勢(shì)能為V，地基的彈性勢(shì)能為V0，T表示混凝土板振動(dòng)時(shí)的總動(dòng)能，W表示外力做功，其與位移的關(guān)系表達(dá)式如下

式中w表示撓度，ρ為混凝土板密度，μ為其泊松比，h為其厚度，K0為地基彈性剛度。表示彎曲剛度，f(x,y,t)表示施加在混凝土板上的荷載分布函數(shù)，變壓器的激振按照點(diǎn)激勵(lì)來計(jì)算。

2 地板的Hamilton方程及位移函數(shù)

2.1 混凝土板的Hamilton方程

通過彈性力學(xué)可知，混凝土板的Hamilton方程為

代入哈密頓方程可得

從而得到微分方程為

2.2 混凝土板位移函數(shù)的求解

在微分方程式（12）的基礎(chǔ)上，利用振型疊加法求板的位移方程，將混凝土板的位移方程按正則振型Wi,j展開成如下的級(jí)數(shù)

其中ηi,j(t)為主坐標(biāo)，將上式代入式（12）求出的振動(dòng)微分方程中可得

由主振型之間的正交性條件，上式可化簡(jiǎn)為

對(duì)于Wi,j(x,y)可通過有限積分變換，得

通過上述計(jì)算便可得到混凝土板在彈性地基上的位移方程以及混凝土板的固有頻率。

3 變壓器振動(dòng)所致地板的聲輻射分析

3.1 地板輻射聲功率

設(shè)地板表面振動(dòng)法向速度為V(x，y)，上面已對(duì)地板受迫振動(dòng)的位移方程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)和求解，要得到V(x，y)只需要將位移方程對(duì)t求一次偏導(dǎo)便可，現(xiàn)將V(x，y)通過結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行展開，并以矩陣形式表示如下

聲功率的表達(dá)式如下

式中C為聲功率傳遞矩陣，是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，矩陣的第(mn，m′n′)階元素為

式中ω為激振頻率，ρ0為空氣密度，a和b分別表示地板的長(zhǎng)和寬，k為波數(shù)，為聲音速度，傳遞矩陣C中的Cmn，mn為矩陣中的對(duì)角元素，表示第階模態(tài)對(duì)聲功率的貢獻(xiàn)。非對(duì)稱元素Cmn，m′n′表示的是第階和階模態(tài)之間耦合對(duì)聲功率的貢獻(xiàn)。由于傳遞矩陣的對(duì)稱性，所以有Cmn，m′n′=Cm′n′，mn。

3.2 地板聲輻射效率A

矩形地板聲輻射效率的定義式如下

式中S表示矩形地板的面積表示矩形地板的表面法向速度的空間均方，其中右上角的“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。

通過式(22)和式(25)可知，想要知道變壓器致地板振動(dòng)的聲功率和聲輻射效率，最主要的是要求得其聲功率傳遞矩陣，而式(23)關(guān)于傳遞矩陣的計(jì)算是一個(gè)四重積分，計(jì)算相當(dāng)麻煩，下面給出了在考慮振動(dòng)模態(tài)間耦合項(xiàng)的前提下，地板振動(dòng)聲功率傳遞矩陣更為簡(jiǎn)單的解，式(26)-式(29)為傳遞矩陣中各元素的解析解

上式看上去比較復(fù)雜，但通過計(jì)算機(jī)計(jì)算該傳遞矩陣是非常方便的，并且只有當(dāng)(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)中的一組時(shí)，傳遞矩陣元素才非零。

4 數(shù)值計(jì)算

變壓器置于室內(nèi)配電房地板上，地板長(zhǎng)a=5 m ，寬b=5 m ，厚度h=0.1 m ，板密度ρ=3 000 kg/m3，E=300 GPa，μ=0.2，地基的剛度系數(shù)K0=5 MPa/mm，聲速c=340 m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3。

為了更精確地得到變壓器激起板振動(dòng)而產(chǎn)生的聲輻射數(shù)值計(jì)算結(jié)果，考慮模態(tài)耦合項(xiàng)的影響因素，對(duì)聲功率和聲輻射效率進(jìn)行計(jì)算。而在對(duì)此進(jìn)行分析前先對(duì)模態(tài)耦合項(xiàng)對(duì)計(jì)算分析的影響大小做分析，圖2(a)-圖2(d)分別描述了(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)時(shí)耦合項(xiàng)的影響因子ζ隨無量綱頻率ka的變化曲線圖，圖中縱坐標(biāo)影響因子

從圖2可以看出，在低頻時(shí)，模態(tài)耦合項(xiàng)的影響因子較大，不能被忽略，隨著頻率的升高，耦合項(xiàng)的影響相對(duì)趨于零，且當(dāng)(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，偶)或(偶，奇)時(shí)，耦合項(xiàng)的影響就更為顯著，另外，圖2(a)-圖2(d)中均存在影響因子為負(fù)數(shù)的情況，造成此類情況的原因不僅跟模態(tài)之間耦合項(xiàng)的正負(fù)有關(guān)，同時(shí)與變壓器的置放位置即激振力的激振位置和相位都是相關(guān)的?？偟膩碚f，如果分析無量綱頻率達(dá)到了較大的值如ka≥35，是可以忽略耦合項(xiàng)的影響，本文主要對(duì)變壓器激振引起地板的聲輻射進(jìn)行分析，圖3為對(duì)配電房地板的信號(hào)檢測(cè)而得到配電房地板的加速度時(shí)程曲線及頻譜圖，從圖中可以看出變壓器典型激勵(lì)頻率有100 Hz、200 Hz、300 Hz、400 Hz。而代入計(jì)算得到的無量綱頻率分別為1.47、2.94、4.41、5.88，因此對(duì)典型的變壓器激振環(huán)境而言，對(duì)地板的聲輻射進(jìn)行分析研究應(yīng)該考慮模態(tài)之間耦合項(xiàng)的影響。

為了說明模態(tài)耦合項(xiàng)對(duì)砼地板聲功率的影響，考慮典型變壓器振動(dòng)環(huán)境，在砼地板中心即（2.5 m，2.5 m）處進(jìn)行激勵(lì)，得到的聲功率曲線如圖4所示，其中紅色實(shí)線為忽略耦合項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，藍(lán)色實(shí)線為考慮耦合項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果。

通過圖4可以看出模態(tài)耦合項(xiàng)對(duì)聲功率有著一定的影響，且在低頻段表現(xiàn)較為明顯。因此，為了得到聲功率更為精確的解，有必要考慮模態(tài)耦合項(xiàng)對(duì)砼地板輻射聲功率的影響。

變壓器不同放置位置對(duì)砼地板輻射聲功率顯然是有影響的，在考慮模態(tài)耦合項(xiàng)對(duì)輻射聲功率影響的前提下分別對(duì)變壓器置于地板對(duì)角線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行分析，其座標(biāo)分別為A(1 m，1 m)、B(2 m，2 m)、C（2.5 m，2.5 m），通過分析，得到變壓器在以上三點(diǎn)激勵(lì)時(shí)砼地板輻射聲功率曲線的對(duì)比圖，如圖5所示。

由圖5可以看出在不同點(diǎn)激勵(lì)時(shí)砼地板聲功率是有所差別的，離地板中心越近，輻射聲功率越大，遠(yuǎn)離中心越小，雖然三者有所差別，但是在變化趨勢(shì)上還是有著相似的規(guī)律性。因此在變壓器布置時(shí)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離地板中心。

圖2 影響因子隨無量綱頻率的變化曲線圖

圖3 配電房地板加速度時(shí)程曲線及頻譜圖

圖4 中心點(diǎn)激勵(lì)砼地板聲功率曲線

圖5 不同激勵(lì)點(diǎn)的聲功率曲線

5 結(jié)語

變壓器在配電房中振動(dòng)，使地板隨之發(fā)生受迫振動(dòng)，通過建立分析模型結(jié)合Hamilton原理和振型疊加法對(duì)板的受迫振動(dòng)進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算分析，得到其振動(dòng)位移方程。在位移方程的基礎(chǔ)上，對(duì)砼地板的輻射聲功率進(jìn)行分析，不僅給出了聲功率傳遞矩陣各個(gè)元素較為簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，同時(shí)也考慮了模態(tài)之間耦合項(xiàng)對(duì)聲功率的影響因素，在此基礎(chǔ)上得到了模態(tài)耦合項(xiàng)影響因子的變化曲線，揭示了模態(tài)耦合項(xiàng)在不同頻率下對(duì)聲功率的影響大小。在考慮模態(tài)耦合項(xiàng)的情況下得到變壓器在不同點(diǎn)激振時(shí)的聲功率曲線，發(fā)現(xiàn)距離地板中心越近，相應(yīng)的輻射聲功率會(huì)越大，因此在變壓器布放時(shí)應(yīng)盡量避開中心位置。

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Structural Vibration and Sound RadiationAnalysis of the Concrete Floor of Indoor Substations

XU Lu-wen1,LIANG Lin2,GAO Fang-qing2,WU Qi2
（1.Electric Power Science Research Institute,State Grid Chongqing Electric Power Company, Chongqing 401123,China; 2.School of Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China）

Operation of indoor substations(e.g.transformers)in buildings can induce adjacent concrete floor vibration, which can be transferred to the other portions of the building structure and cause the structure-borne sound radiation.In this paper,the structure-borne sound radiation induced by the indoor substations is studied.The concrete floor is simplified to an elastic plate with the four sides simply supported laid on the elastic foundation.The vibration displacement equations of the floor are derived and solved using the Hamilton equation and the modal superposition method.Accordingly,the structureborne sound radiation is studied.It is noticed that the contribution of the vibration modes to the structure-borne sound radiation is not individual.Thus,the influence of the coupling terms of the structural vibration modes is considered for analyzing the radiation efficiency of the structure-borne sound and the sound power of the concrete floor.

vibration and wave;transformer;concrete floor;vibration mode;structure-borne sound radiation;sound power

O422.6

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.024

1006-1355(2016)06-0121-05+191

2016-06-08

國(guó)網(wǎng)重慶電力公司科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2014H01580)

徐祿文（1968-），男，四川省廣安市人，高級(jí)工程師，主要從事電網(wǎng)電磁環(huán)境與噪聲振動(dòng)控制研究。E-mail:xuluwen023@qq.com