石建飛，張艷龍，王 麗，杜三山

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州 730070）

Duffing系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔與全局特性分析

石建飛1，張艷龍1，王 麗2，杜三山1

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州 730070）

通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上最大Lyapunov指數(shù)的分布特性，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上混沌運(yùn)動(dòng)、穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)和各種分岔曲線的參數(shù)區(qū)域，結(jié)合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖和相圖等，討論參數(shù)耦合對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響和系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔與混沌過(guò)程。結(jié)果顯示在雙參數(shù)平面上由于混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域被一系列的倍周期分岔曲線環(huán)包圍，導(dǎo)致系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)連續(xù)周期泡結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)局部分岔特性變得非常復(fù)雜；在雙參數(shù)平面上，經(jīng)叉式分岔后系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔等各種分岔曲線，使得系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后出現(xiàn)各種吸引子共存現(xiàn)象，利用多初值分叉圖和胞映射法對(duì)系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行詳細(xì)深入地研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)各吸引子的穩(wěn)定性和吸引子吸引域的演變規(guī)律有重要影響。

振動(dòng)與波；Duffing系統(tǒng)；雙參數(shù)特性；分岔；Lyapunov指數(shù)；全局特性

20世紀(jì)80年代以來(lái)，對(duì)非線性系統(tǒng)的研究掀起了一股熱潮，作為典型的非線性系統(tǒng)模型，Duffing系統(tǒng)一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1—7]，文獻(xiàn)[8]研究了Duffing系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下發(fā)生的對(duì)稱破裂分岔與激變現(xiàn)象；文獻(xiàn)[9]研究了兩個(gè)自由度并且含3次耦合項(xiàng)的Duffing系統(tǒng)在周期性作用力下的動(dòng)力學(xué)；文獻(xiàn)[10]研究了Duffing系統(tǒng)在加性二值噪聲作用下的隨機(jī)分岔現(xiàn)象；文獻(xiàn)[11]研究了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性；文獻(xiàn)[12]對(duì)基于可調(diào)頻Duffing振子的弱信號(hào)檢測(cè)方法進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[13]研究了Duffing方程在隨機(jī)系數(shù)下的數(shù)值解問(wèn)題；文獻(xiàn)[14]研究了強(qiáng)迫Duffing振子的反周期震蕩；文獻(xiàn)[15-17]對(duì)分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制進(jìn)行了一定的研究.文獻(xiàn)[18]對(duì)硬彈簧Duffing隔振系統(tǒng)的跳躍機(jī)理進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[19]對(duì)Holmes型Duffing系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)研究。近年來(lái)不少學(xué)者對(duì)Duffing系統(tǒng)進(jìn)行了各種研究，并取得了大量研究成果[20-21]，但都研究系統(tǒng)在單參數(shù)條件下的動(dòng)力學(xué)特性，在多參數(shù)條件下對(duì)Duffing系統(tǒng)分岔與混沌特性的研究卻鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。對(duì)多參數(shù)耦合系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可能只受單參數(shù)的影響，而是各參數(shù)相互耦合共同作用的結(jié)果。故有必要研究Duffing系統(tǒng)在多參數(shù)耦合之下的動(dòng)力學(xué)特性。

最大Lyapunov指數(shù)(top Lyapunov exponent，TLE)是判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否穩(wěn)定最直接、最有效的方法之一，通過(guò)計(jì)算Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布特性來(lái)研究系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔混沌過(guò)程以及參數(shù)耦合對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。在雙參數(shù)平面上系統(tǒng)出現(xiàn)周期跳躍、叉式分岔以及倍周期分岔等各種分岔曲線，系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象，結(jié)合多初值分叉圖和胞映射法[22—23]對(duì)系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了深入地研究。

1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性

研究如下Duffing方程

式中，無(wú)量綱參數(shù)a為阻尼系數(shù)、b為剛度系數(shù)、c為非線性項(xiàng)系數(shù)、a1為外激勵(lì)幅值、ω為外激勵(lì)角頻率、τ為初相位。給定a=0.83、b=1.0、c=0.5、τ=0.0，令ω和a1為參數(shù)變量，利用上述方法計(jì)算Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上最大李雅普諾夫指數(shù)的分布特性，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上TLE特性分布

圖中深灰色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)大于零的混沌區(qū)域；淺灰色區(qū)域?yàn)樽畲罄钛牌罩Z夫指數(shù)小于零的穩(wěn)定周期區(qū)域；黑色實(shí)線或虛線表示系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)近似等于零，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)經(jīng)過(guò)該曲線時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生分岔或跳躍。由圖知，在不同參數(shù)耦合下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性不同，曲線PBi(i=1，2，3，4)為系統(tǒng)叉式分岔曲線，曲線DB1和DB2為倍周期分岔曲線，虛線S1為周期跳躍曲線；在曲線S1左邊系統(tǒng)出現(xiàn)兩條叉式分岔曲線PB2和PB3，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)落在曲線PB2和PB3之間時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初值具有較強(qiáng)的敏感性，即存在吸引子共存的現(xiàn)象（后面詳細(xì)分析），而在S1左邊其它區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期一運(yùn)動(dòng)；在曲線S1右邊系統(tǒng)出現(xiàn)了叉式分岔曲線PB1，隨ω的增加系統(tǒng)經(jīng)PB1之后出現(xiàn)倍周期分岔曲線環(huán)DB1和DB2以及由倍周期分岔曲線環(huán)所包圍的混沌區(qū)域，在混沌區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)又出現(xiàn)了淺灰色周期區(qū)域和叉式分岔曲線PB4；在叉式分岔曲線PB1右邊整個(gè)區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)對(duì)初值具有較強(qiáng)的敏感性。系統(tǒng)參數(shù)經(jīng)過(guò)叉式分岔曲線PB1后，系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性變得非常復(fù)雜。下面結(jié)合單參數(shù)分叉圖具體分析。

在叉式分岔曲線PB1右邊區(qū)域內(nèi)，由于系統(tǒng)在倍周期分岔曲線環(huán)內(nèi)不斷嵌套倍周期分岔曲線環(huán)，導(dǎo)致系統(tǒng)最終經(jīng)倍周期分岔序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，造成系統(tǒng)單參數(shù)分岔具有連續(xù)的周期泡結(jié)構(gòu)，保持其它參數(shù)與圖1一致，分別取a1的值為4.45、4.25、4.14和4.1，ω∈(1.8，2.8)計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖如圖2所示，隨ω增加，圖2(a)系統(tǒng)由周期一倍化為周期二運(yùn)動(dòng)，后又退化為周期一運(yùn)動(dòng)；圖2(b)系統(tǒng)由周期一倍化為周期二運(yùn)動(dòng)，再由周期二倍化為周期四運(yùn)動(dòng)，后由周期四退化為周期二運(yùn)動(dòng)，最后由周期二退化為周期一運(yùn)動(dòng)；圖2(c)系統(tǒng)由周期一經(jīng)倍周期分岔序列倍化為周期八運(yùn)動(dòng)，隨后由周期八運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期一運(yùn)動(dòng)；圖2(d)系統(tǒng)由周期一經(jīng)倍周期分岔序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，隨后由混沌運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期一運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性變得非常復(fù)雜。

在雙參數(shù)平面ω-a1上，系統(tǒng)在混沌區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了淺灰色周期三區(qū)域，在該周期三區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)又出現(xiàn)了叉式分岔曲線PB4，在PB4左邊區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)周期三運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，對(duì)初值具有較強(qiáng)的敏感性；在PB4右邊區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)為穩(wěn)定周期三運(yùn)動(dòng)。保持其它參數(shù)與圖1一致，取a1=2.65、ω∈(1.2，3)計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖如圖3(a)所示，圖3(b)為其相應(yīng)TLE圖。

隨ω的增加，系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔曲線PB1后由周期一運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖1中系統(tǒng)經(jīng)過(guò)叉式分岔曲線PB1后，經(jīng)倍周期分岔曲線環(huán)DB1和DB2等進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω繼續(xù)增加時(shí)系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍周期分岔序列退化為不穩(wěn)定的周期三運(yùn)動(dòng)，該周期三運(yùn)動(dòng)對(duì)初值具有較強(qiáng)的敏感性，在不同初值條件下系統(tǒng)相軌圖不同，其它參數(shù)保持不變，取ω=1.58計(jì)算系統(tǒng)在不同初值條件下的相圖如圖4(a)中粗實(shí)線和細(xì)實(shí)線所示；隨ω進(jìn)一步增加，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)逆叉式分岔曲線PB4由不穩(wěn)定周期三運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉€(wěn)定周期三運(yùn)動(dòng)，其相圖如圖4(b)所示。

圖2 系統(tǒng)周期泡結(jié)構(gòu)在ω∈(1.8， 2.8)時(shí)系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖

圖3 a1=2.65、ω∈(1.2，3.0)時(shí)系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖和相應(yīng)TLE圖

隨ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)由周期三運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，最后經(jīng)逆倍化分岔序列退化為穩(wěn)定周期一運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖1中，隨ω的增加系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔曲線環(huán)退化為穩(wěn)定周期一運(yùn)動(dòng)。圖3系統(tǒng)分岔點(diǎn)位置及分岔趨勢(shì)與圖1中當(dāng)a1=2.65、ω∈(1.2，3)時(shí)相吻合。

圖4 系統(tǒng)相圖

由以上分析得知，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的TLE得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上各種分岔曲線、穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域；在周期跳躍曲線S1左邊，系統(tǒng)在大部分參數(shù)區(qū)域內(nèi)為穩(wěn)定周期一運(yùn)動(dòng)，而在叉式分岔曲線PB2和PB3之間的參數(shù)區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)為不穩(wěn)定周期一運(yùn)動(dòng)；在周期跳躍曲線S1右邊，經(jīng)叉式分岔曲線PB1后系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔曲線環(huán)DB1、DB2等和由這些倍周期分岔曲線所包圍的混沌運(yùn)動(dòng)，在混沌區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)又出現(xiàn)了周期三運(yùn)動(dòng)和叉式分岔曲線PB4，使得系統(tǒng)在曲線S1右邊部分參數(shù)范圍內(nèi)的分岔特性變得極為復(fù)雜。

2 系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性分析

在圖1中保持其它參數(shù)不變，取a1=5.1計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE圖如圖5(a)和5(b)所示。

圖5(a)中隨ω的增加，系統(tǒng)在ω=0.787時(shí)發(fā)生叉式分岔，對(duì)應(yīng)圖1中叉式分岔曲線PB2，系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，隨ω繼續(xù)增加，當(dāng)ω=0.897時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆叉式分岔，其缺邊現(xiàn)象消失，對(duì)應(yīng)圖1中叉式分岔曲線PB3；當(dāng)ω增加到1.771時(shí)系統(tǒng)發(fā)生一次跳躍，跳躍前后系統(tǒng)均為周期一運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖1中的周期跳躍曲線S1；ω進(jìn)一步增加，當(dāng)ω=1.914時(shí)系統(tǒng)再次發(fā)生叉式分岔，其單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)圖1中叉式分岔曲線PB1；隨ω進(jìn)一步增加，當(dāng)ω=2.223時(shí)系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，由周期一運(yùn)動(dòng)倍化為周期二運(yùn)動(dòng)，隨后當(dāng)ω=2.625時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，由周期二退化為周期一運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖1中，隨ω的增加，系統(tǒng)先后經(jīng)過(guò)倍周期分岔曲線環(huán)DB1。由以上分析知，系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖與圖1相對(duì)應(yīng)；在雙參數(shù)平面上系統(tǒng)經(jīng)過(guò)叉式分岔曲線后，其單參數(shù)分叉圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，系統(tǒng)對(duì)初值具有較強(qiáng)的敏感性，在不同初值條件下系統(tǒng)可能會(huì)運(yùn)動(dòng)到不同的吸引子上。下面利用多初值分岔圖并結(jié)合簡(jiǎn)單胞映射法對(duì)系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行詳細(xì)分析。

圖5 a1=5.1、ω∈(0.05，3.5)時(shí)系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖和相應(yīng)TLE圖

圖5(a)中保持其它參數(shù)不變，分別取ω∈(0.7，1.0)和ω∈(1.5，3.5)計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的多初值分叉圖如圖6(a)和圖6(b)所示，系統(tǒng)在多初值條件下其分叉圖上經(jīng)叉式分岔點(diǎn)后缺失的邊出現(xiàn)，表明系統(tǒng)在該叉式分岔點(diǎn)后出現(xiàn)多吸引子共存現(xiàn)象。

圖6(a)中，保持其它參數(shù)不變，取ω=0.8，研究考擦區(qū)域定義為x∈(-5，5)、∈(-5，5)，利用簡(jiǎn)單胞映射法計(jì)算系統(tǒng)在考察區(qū)域內(nèi)各吸引子的吸引域如圖7(a)所示，圖中白色+代表周期一P1的吸引子，淺灰色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?；白色×代表另一周期一Q1的吸引子，黑色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?；由圖知淺灰色區(qū)域與黑色區(qū)域形狀相似且相互嵌套在一起，黑色區(qū)域面積較淺灰色大，表明系統(tǒng)在該考擦區(qū)域內(nèi)吸引子Q1的穩(wěn)定性較P1強(qiáng)。

圖6 系統(tǒng)多初值分岔圖

圖6(b)中，當(dāng)ω=1.914時(shí)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)叉式分岔曲線PB1，出現(xiàn)兩周期一吸引子共存的現(xiàn)象，隨ω的增加，當(dāng)ω=2.223時(shí)系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，出現(xiàn)了兩個(gè)周期二吸引子共存的現(xiàn)象，當(dāng)ω=2.625時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，系統(tǒng)又出現(xiàn)了兩個(gè)周期一吸引子共存的現(xiàn)象。保持其它參數(shù)不變，分別取ω的值為2.15、2.5和2.75計(jì)算系統(tǒng)在考察區(qū)域x∈(-3，3)、∈(-3，3)內(nèi)各吸引子的吸引域分別如圖7(b)、7(c)和7(d)所示。

在圖7(b)中存在兩周期一吸引子P1和Q1共存的情況，其中白色×代表周期一P1的吸引子，淺灰色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?；白?代表周期一Q1的吸引子，黑色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?。由圖知淺灰色區(qū)域與黑色區(qū)域相互嵌套并纏繞在一起，表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下兩吸引子的全局動(dòng)力學(xué)特性都不穩(wěn)定，初值的稍微變動(dòng)都能使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到不同的吸引子上；在圖7(c)中，由于倍化分岔的原因系統(tǒng)存在兩周期二吸引子P2與Q2共存的情況，其中白色×為P2的吸引子，淺灰色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?；白?為Q2的吸引子，黑色區(qū)域?yàn)槠湮拥奈?；?duì)比7(b)，在圖7(c)中各吸引子吸引域的相互嵌套和纏繞度有所降低，各吸引子的吸引域不斷集中，其穩(wěn)定性有所增強(qiáng)，此外在考察區(qū)域內(nèi)各吸引子吸引域的形狀由中心向外不斷擴(kuò)大；在圖7(d)中，由于逆倍化分岔的原因，系統(tǒng)又出現(xiàn)兩周期一吸引子共存的現(xiàn)象，對(duì)比圖7(b)和7(c)，各吸引子吸引域的形狀由中心向外逐漸擴(kuò)展，且各吸引子吸引域的分布變得比較集中，使各吸引子穩(wěn)定性逐漸提高。

由以上分析得知，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)叉式分岔后出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)各吸引子吸引域發(fā)現(xiàn)其吸引域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相似且相互嵌套并纏繞在一起，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性降低；隨參數(shù)ω的增加，各吸引子吸引域不斷集中，且由中心向外逐漸擴(kuò)展，使得系統(tǒng)各吸引子的穩(wěn)定性有所增強(qiáng)。

3 結(jié)語(yǔ)

給出了系統(tǒng)在參數(shù)空間TLE的計(jì)算方法，這種方法不但計(jì)算簡(jiǎn)單而且實(shí)用性很強(qiáng)，對(duì)高維系統(tǒng)同樣適用。數(shù)值計(jì)算了Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布特性，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上混沌運(yùn)動(dòng)、穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)和各種分岔曲線的參數(shù)區(qū)域；結(jié)合單參數(shù)分岔圖和相圖，詳細(xì)分析了系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔混沌過(guò)程，在雙參數(shù)平面上混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域被一系列倍周期分岔曲線環(huán)包圍，導(dǎo)致系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖具有連續(xù)的周期泡結(jié)構(gòu)；在混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)了周期三運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域和叉式分岔曲線PB4，周期三區(qū)域被曲線PB4分成左右兩部分，左邊區(qū)域周期三運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，右邊區(qū)域周期三運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。

利用多初值分岔圖和簡(jiǎn)單胞映射法，對(duì)系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)深入的分析，在多初值條件下在分岔圖上系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后缺失的邊出現(xiàn)；系統(tǒng)叉式分岔點(diǎn)之后存在多吸引子共存現(xiàn)象，通過(guò)計(jì)算各吸引子的吸引域，詳細(xì)深入地研究了各吸引子在考察區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定性以及隨ω變化時(shí)各吸引子吸引域的演變規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)隨ω的增加系統(tǒng)各吸引子的穩(wěn)定性逐漸增強(qiáng)，各吸引子的吸引域面積不斷集中。

圖7 吸引子的吸引域

利用系統(tǒng)在參數(shù)平面上TLE的分布特性來(lái)研究非線性系統(tǒng)具有一定的有效性和可行性，以上研究對(duì)多參數(shù)耦合系統(tǒng)在較寬條件下的非線性動(dòng)力學(xué)行為研究及混沌控制具有參考價(jià)值。

[1]JIAN Z P.Advanced feedback control of the chaotic duffing equation[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I.,2002, 49(2):244-249.

[2]XU H B,LU B C,CHEN G J.Chaotic control of the doffing equation in the presence of uncertainty[J].Systems Engineering and Electronics,2000,22(2):15-16.

[3]LI ZENGSHAN1,CHEN DIYI,ZHU JIANWEI1,et al. Nonlinear dynamics of fractional order Duffing system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2015,81:111-116.

[4]MARCIN KAMI?SKI,ALBERTO CORIGLIANO. Numerical solution of the Duffing equation with random coefficients[J].Meccanica,2015,50(7),1841-1853.

[5]PEIJUN JU.Global residue harmonic balance method for Helmholtz-Duffing oscillator[J].Applied Mathematical Modelling,2015,39(8),2172-2179.

[6]樓京俊，何其偉，朱石堅(jiān).多頻激勵(lì)軟彈簧型Duffing系統(tǒng)中的混沌[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25(12)，1299-1304.

[7]唐元璋，樓京俊，翁雪濤，等.Duffing振子倍周期分岔譜特性[J].振動(dòng)與沖擊，2014，33(2)：60-63.

[8]張瑩，李爽.重訪Duffing系統(tǒng)中的對(duì)稱破裂分岔與激變[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33(1)：88-92.

[9]曹振邦，樂(lè)源.兩個(gè)自由度Duffing系統(tǒng)的分岔及混沌分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2015，29(10)：79-82.

[10]武娟，許勇.加性二值噪聲激勵(lì)下Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)分岔[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2015，36(6)：593-599.

[11]賴志慧，冷永剛，范勝波.級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)共振研究[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62(7)：070503(1-9).

[12]MA SONGSHAN,LU MING,DING JIAFENG,et al. Weak signal detection method based on Duffing oscillator with adjustable frequency[J].Science China Information Sciences,2015,58(10):1-9.

[13]MARCIN KAMI?SKI,ALBERTO CORIGLIANO. Numerical solution of the Duffing equation with random coefficients[J].Meccanica,2015,50(7):1841-1853.

[14]SHAW PANKAJ KUMAR,JANAKI M S,IYENGAR A N S,et al.Antiperiodic oscillations in a forced Duffing oscillator[J].Chaos,Solitons and Fractals,2015,78:256-266.

[15]曹軍義，謝航，蔣莊德.分?jǐn)?shù)階阻尼Duffing系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，43(3)：50-54.

[16]韋鵬，申永軍，楊紹普.分?jǐn)?shù)階Duffing振子的亞諧共振[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27(6)：811-818.

[17]何桂添，羅懋康.分?jǐn)?shù)階Duffing混沌系統(tǒng)的動(dòng)力性態(tài)及其由單一主動(dòng)控制的混沌同步[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2012，33(5)：539-552.

[18]樓京俊，張暉，俞翔等.硬彈簧Duffing隔振系統(tǒng)跳躍機(jī)理分析[J].噪聲與振動(dòng)控制，2014，34(6)：20-24.

[19]孫方旭，劉樹(shù)勇，何其偉.Holmes型Duffing系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性仿真及實(shí)驗(yàn)[J].噪聲與振動(dòng)控制，2016，36(2)：17-26.

[20]JIFENG CHUA,FENG WANGAB.Prevalence of stable periodic solutions for Duffing equations[J].Journal of Differential Equations,2016,260(11):7800-7820.

[21]JAUMELLIBREA,ANA RODRIGUESB.A nonautonomous kind of Duffing equation[J].Applied Mathematics and Computation,2015,251:69-674.

[22]HSU C S.Cell-to-cell mapping:A method of global analysis for nonlinear system[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[23]HSU C S.A theory of cell-to-cell mapping dynamical systems[J].Journal of Applied Mechanics,1980,147: 931-939.

Double-parameter Bifurcation and Global Characteristic Analysis of Duffing Systems

SHI Jian-fei1,ZHANG Yan-long1,WANG Li2,DU San-shan1
(1.School of Mechanical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China; 2.School of Mathematics,Lanzhou City University,Lanzhou 730070,China)

The distribution characteristics of the Top Lyapunov exponent of Duffing systems on the double-parameter plane are calculated.The parameter areas of the chaotic motion,the stable periodic motion and the various bifurcation curves are obtained on the double-parameter plane.Combined with the system single-parameter bifurcation diagram and the phase diagram,the bifurcation and chaos process on the double parameter plane and the influence of parameter-coupling on system dynamic performance are discussed.The results show that the parameter region of the chaotic motion is surrounded by a series of double periodic bifurcation curves,therefore the continuous bubble structures appear in the system single-parameter bifurcation diagrams and the local bifurcation characteristics become very complicated.In the double parameter plane, various bifurcation curves,for example the period-doubling bifurcation curves,occur after the pitchfork bifurcation curve, which leads to the phenomenon of various attractors coexistence after the pitchfork bifurcation.The system global dynamic characteristics are studied by using multi-initial value bifurcation diagrams and the cell-to-cell mapping method.It is found that the system parameters have an important influence on the stability of the attractors and the evolution of the attractor domains.

:vibration and wave;Duffing system;double-parameter character;bifurcation;Lyapunov exponent;global dynamic characteristic

O322

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.007

1006-1355(2016)06-0032-06+50

2016-06-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11302092)

石建飛（1990-），男，甘肅省隴南市人，碩士生，主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)及控制。E-mail:sjf0214286@126.com

張艷龍（1981-），男，河北省圍場(chǎng)縣人，副教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail:zhangyl@mail.lzjtu.cn