■陜西省神木縣職業(yè)技術(shù)教育中心

高 平

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數(shù)學(xué)期望考題的新動向

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高 平

近年來高考考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的試題，具有內(nèi)容新、背景新、結(jié)構(gòu)新、實際應(yīng)用性強等特點。下面結(jié)合實例談?wù)劷旮呖伎疾閿?shù)學(xué)期望的新動向，供同學(xué)們參考。

一、取材新

不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)期望的試題也融入新課標(biāo)的教育理念，多角度、多視點地考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。關(guān)注學(xué)生生活，注重社會現(xiàn)實，體現(xiàn)時代精神，體現(xiàn)社會熱點，關(guān)注當(dāng)前科技新發(fā)展，試題中有大量的生活背景，充分體現(xiàn)了“從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向生活”的理念。

(1)求出甲、乙所付租車費用相同的概率；

(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ。

則所付費用相同的概率為：

(2)設(shè)甲，乙兩人所付的費用之和為ξ，ξ可為0,2,4,6,8。

分布列為：

ξ02468P18516516316116

二、情境新

例2 馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下：

X123P(ξ=x)？??？

請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望。盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案Eξ=____。

解析：初看此題，與平時給出的分布列很是不同，第二行的概率值都沒有給出，為同學(xué)們的答題設(shè)置了障礙。但嘗試從基本思路出發(fā)解決本題，卻發(fā)現(xiàn)非常簡單：變量ξ的期望Eξ=1×?+2×!+3×?=4×?+2×!=2(!+2×?) ，而“!+2×?”剛好就是事件概率的性質(zhì)——概率和為1，這樣就能很快得出結(jié)果2。

例3 (2015年福建理科卷)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定。小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試。若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定。

(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

依題意得，X所有可能的取值是1，2，3。

所以，X的分布列為：

X123P161623

三、注重知識的交匯

在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題是高考數(shù)學(xué)命題的新特點和大方向，高考中的數(shù)學(xué)期望試題也不失時機地體現(xiàn)了這一動向。

例4 設(shè)S是不等式x2-x-6≤0的解集，整數(shù)m,n∈S。

(1)記使得“m+n=0成立的有序數(shù)組”為事件A，試列舉A包含的基本事件;

(2)設(shè)ξ=m2，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ。

解析：(1)由x2-x-6≤0得，-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}。由于整數(shù)m,n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件為(-2，2)，(2，-2)，(-1，1)，(1，-1)，(0,0)。

故ξ的分布列為：

ξ0149P16131316

(責(zé)任編輯 徐利杰)