何忠華

（廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521）

一道確界習(xí)題的幾種證法

何忠華

（廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521）

確界是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，確界原理作為極限理論的基石在微積分理論中占有極為重要的地位，故而確界概念的理解在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中就顯得尤為重要.但是，在練習(xí)中，學(xué)生往往不懂如何使用確界概念來解答.因此，首先給出確界的定義，然后通過一道確界習(xí)題的幾種證明方法來說明確界概念的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)分析；證明方法；確界概念；極限

確界原理是數(shù)學(xué)分析中極限理論的基石，由它可以證明單調(diào)有界定理以及實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)等價(jià)命題.因此，理解確界概念對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)分析至關(guān)重要，也對(duì)后面極限思想和微積分學(xué)知識(shí)有著輔助的作用.而確界是數(shù)學(xué)分析中首個(gè)涉及極限思想的概念，初學(xué)者往往難以理解與掌握，對(duì)如何運(yùn)用這個(gè)概念就感到更加困難.考慮到該概念的抽象性，為了使學(xué)生更好地掌握確界的概念及其使用方法，不少學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究［1-6］.本文主要是通過一道確界習(xí)題的證明方法來幫助學(xué)生加深對(duì)定義的理解，掌握其使用方法.

上確界和下確界統(tǒng)稱為確界.通俗地講，有上界數(shù)集的最小上界，稱為該數(shù)集的上確界；有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界.

定義1［7］6設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集.若數(shù)η滿足：

（i）對(duì)一切x∈S，都有x≤η，即η是S的上界；

（ii）對(duì)任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即η又是S的最小上界.

定義2［7］6設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集.若數(shù)ξ滿足：

（i）對(duì)一切x∈S，都有x≥ξ，即ξ是S的下界；

（ii）對(duì)任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界.

定義1～2一般稱為上確界和下確界的第1定義.但是，在解題時(shí)往往用得更多的是它的精確化定義，即所說的第2定義.

定義1'［4］74設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集.若數(shù)η滿足：

（i）對(duì)一切x∈S，都有x≤η；

（ii）對(duì)任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＞η-ε.

定義2'［4］74設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集.若數(shù)ξ滿足：

（i）對(duì)一切x∈S，都有x≥ξ；

（ii）對(duì)任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＜ξ+ε.

則稱數(shù)ξ為數(shù)集S的下確界，記作ξ=inf S .

［1］ 毛旭華.關(guān)于確界及確界原理的教學(xué)［J］.衡陽師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994，12（2）：70-73

［2］ 江家敏.談確界概念在證明中的應(yīng)用［J］.開封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1986（2）：75-79

［3］ 郭家勇.關(guān)于上確界與下確界的概念的教學(xué)［J］.科技文匯，2011（8）：94-96

［4］ 吳焱生.關(guān)于確界概念教法探究［J］.宜春師專學(xué)報(bào)，1998（2）：74-77

［5］ 陳尚杰.關(guān)于確界的教學(xué)心得［J］.科技文匯，2012（4）：86-87

［6］ 王金才.關(guān)于《數(shù)學(xué)分析》中原始概念的教學(xué)法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：94-96

［7］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2010

［8］ 任親謀.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析（上冊(cè)）［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2004

Several proof methods for a supremum and infimum exercise

HE Zhong-hua
（Department of Applied Mathematics，Guangdong University of Finance，Guangzhou 510521，China）

Supremum and infimum are very important concept in mathematics analysis.As the foundation of the limit theory，they play a very important role in the calculus theory.Therefore，the understanding of the concept of supremum and infimum is particularly important in study mathematics analysis.However，students often do not understand how to use them to solve the problem in exercises.First of all，give the definition of supremum and infimum，and then explain the application of the concept by several kinds of proof methods for a exercise.

mathematics analysis；proof method；supremum and infimum concept；limit

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.017

1007-9831（2016）06-0054-02

2016-03-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11501130）；廣東金融學(xué)院省級(jí)數(shù)學(xué)建模教學(xué)團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目；廣東高校省級(jí)重點(diǎn)平臺(tái)和重大科研項(xiàng)目（2015GXJK102）

何忠華（1984-），男，廣東南雄人，講師，博士，從事泛函分析研究.E-mail：zhonghuahe2010@163.com