沈 希 孫 哲 徐 鳴 顧江萍 金華強

浙江工業(yè)大學，杭州，310000

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基于Hilbert變換的全封閉壓縮機轉速測量

沈 希 孫 哲 徐 鳴 顧江萍 金華強

浙江工業(yè)大學，杭州，310000

近年來，制冷工業(yè)對制冷壓縮機轉速的測量精度要求日益增加，傳統(tǒng)的直接測量法對壓縮機本身都具有破壞性，而基于外殼振動的間接測量方法，對測試條件要求高，且測量誤差較大。為提高測量精度，滿足工業(yè)需求，提出一種基于Hilbert變換的信號提取方法，針對壓縮機的活塞運動規(guī)律和感生電動勢變化間接反映的壓縮機轉動特性進行信號提取。該方法精確度高、抗干擾強。與可視壓縮機直接測量對比，其轉速誤差小于2 r/min。

Hilbert變換；全封閉壓縮機；轉速測量；線性調頻Z變換

0 引言

在制冷工業(yè)中，制冷壓縮機的轉速是一個非常重要的工況指標，它對整個制冷系統(tǒng)的能效比、制冷量、系統(tǒng)功耗、溫度控制具有非常重要的影響。小型制冷壓縮機通常都是全封閉式的，故直接對其進行測量會對結構產生破壞。行業(yè)中常常采用間接法進行轉速測量，較為常見的是基于壓縮機外殼振動的測量方法[1]以及基于排氣壓力脈動的測量方法[2]?；谡駝拥臏y量方法，利用電機轉動引起的殼體振動進行轉速測量，其振動頻率即為轉動頻率。但在實際應用中，隔振處理、測量點選擇、基波篩選等因素都影響測量效果，且設備復雜、測量精度不高、實時性差。基于排氣壓力脈動的測量方法，雖然測量精度高、實時性好，但需對制冷系統(tǒng)排氣環(huán)節(jié)進行改造，且要匹配高精度壓力傳感器，測試系統(tǒng)搭建較為復雜。針對上述這些局限性，本文提出一種基于電流波動的測量方法，該測量方法不影響原系統(tǒng)，測試系統(tǒng)搭建簡易、成本低廉、測試速度快。經過驗證，本測試方法的精度小于2 r/min。

1 基于電流波動的壓縮機轉速測量原理

1.1 基本原理

小型往復式制冷壓縮系統(tǒng)中，制冷壓縮機驅動電機的負載不同于普通電機的負載，而隨時間呈周期性波動。制冷系統(tǒng)的特點是，活塞滑出時是排氣，活塞回程時是進氣。排氣是阻礙活塞運動，進氣是促進活塞運動，所以活塞在一個沖程中會受到來自制冷劑的周期變化的作用力。此作用力作用于轉子，使其在一個循環(huán)周期中的轉速不再均勻，表現(xiàn)為排氣時轉速慢，進氣時轉速快。轉子一個回旋周期內的轉速微量變化會影響到感生電動勢e2的變化。轉子的感生電動勢作用到定子上，與定子的供電電壓進行疊加。轉子相對旋轉磁場進行反向運動，頻率等于sf1，其中，s為轉差率，f1為磁場旋轉頻率，所以作用在切割面上的磁場也有正弦規(guī)律的波動，使感生電動勢會產生頻率等于sf1的正弦變化[3]。故定子的合成電動勢在理論上會有一個周期性波動。合成電壓的成分包括供電電壓、頻率等于轉差率的感生電壓和頻率等于轉速的感生電壓波動。只要求得感生電壓的波動性質，就可以求得轉差率以及轉子轉速，進而可以得到想要的壓縮機轉速。實際研究中，測量電流信號比測量電壓信號容易，而定子電流的波動趨勢等同于電壓趨勢，故使用測量電流來代替。

1.2 測量原理的數(shù)學建模

實際的制冷系統(tǒng)工作時，壓縮機活塞摩擦力、慣性力[4]和活塞間隙等對壓縮機轉速規(guī)律影響較小，故下文分析中忽略以上各項。簡化后，得到適用于本文的理想壓縮機系統(tǒng)。令進氣壓力為ps，排氣壓力為pd。壓縮機曲柄滑塊機構受力如圖1所示。

圖1 曲柄活塞機構

簡化后的模型可以將曲柄轉動一周分成3個行程階段[5]。以遠止點為起點，活塞從遠止點開始的回程對應的曲柄角度為0～π，此階段壓縮腔進氣。π～α為壓縮腔氣體開始壓縮到氣體壓力等于制冷回路壓力所對應的曲柄角度，此階段由于壓縮腔氣體壓力小于制冷回路壓力，故只是壓縮氣體，并未排氣。α～2π為壓縮腔排氣階段對應曲柄角度。根據(jù)動力學推導，可得曲軸各個轉角對應的轉矩：

(1)

式中，A為活塞受力面積；r為曲柄長度；θ為曲柄和活塞運動方向夾角；λ為曲柄和連桿長度比；α為排氣開始時的曲柄轉角；a為高次項系數(shù)，常取3。

在此，我們取曲柄長度r=160 mm，λ=0.2，α=1.5 π，ps=0.7 MPa，pd=1.62 MPa，A=5 cm2。我們取阻礙曲柄運動的轉矩為正，用MATLAB繪圖(圖2)。

為探知壓縮機轉矩和定子電流之間的關系，做以下推算。首先研究定子電流與轉差率的關系。電動機中轉子感生電流的計算公式為[6-7]

(2)

式中，I2為轉子感生電流；e2為轉子不動時的感生電動勢；R2為轉子電阻；XL為轉子感抗(歐姆)。

在分析電動機轉子電流時，常使用繞組折算，即等效于轉子不動，阻抗變化的一個新電動機。經折算后，I2可以更新為

(3)

對式(3)進行復數(shù)取模之后消除虛數(shù)部，得

(4)

經以上推導可知定子電流與轉差率為正相關。先研究電動機轉矩和轉差率的關系。電動機轉矩模型為[8]

(5)

根據(jù)式(5)可得到經典的轉矩-轉差率曲線，如圖3所示。其中，s<0時，電機處于發(fā)電狀態(tài)，即為發(fā)電機；0≤s<1時，電機為電動機；s≥1時，電機處于制動狀態(tài)，為制動機。

圖3 轉矩-轉差率[9]

由于壓縮機負載隨時間快速波動，平均負載為正，而飛輪具有較大轉動慣量，不可能產生轉速突變，故實際的壓縮機轉速恒小于旋轉磁場轉速，有0≤s<1，即表現(xiàn)為電動機。我們知道電動機啟動階段是從靜止加速到平衡轉速的，可分成兩個階段，第一階段是低速階段，此時電動機轉矩較小，轉矩會隨著轉速的上升(轉差率下降)而增大，直到轉矩增加到最大轉矩。這一階段電動機為非穩(wěn)定狀態(tài)，需不斷加速。第二階段內，轉速繼續(xù)上升，此時隨著轉速的上升，轉矩會減小，直到轉矩等于負載時，達到平衡，完成啟動，此后電動機便在這個性能特性下運行，當負載變化時電動機可以自我調節(jié)到相適應的轉速，我們的電動機也是在這個階段運行的。由圖3可以看出，運行階段中，T增大，對應s也增大，即轉速降低。同理，T減小，s減小。s增大，即切割磁感線速度增大，故電流I增大，同理s減小，切割磁感線速度增大，對應I下降。轉子感生電流變化趨勢與曲柄切向力矩正相關，由圖2可知，切向力矩變化近似正弦曲線，故轉子感生電流變化亦呈正弦曲線趨勢。

轉子感生電流反作用到定子線圈，故會在供電電流基礎上疊加一個頻率為壓縮機轉動頻率的電流波動。

2 數(shù)學模型仿真

本實驗平臺利用跟隨型電流傳感器，將待測電流轉化為-5～5 V的電壓信號，經過數(shù)據(jù)采集卡采集到計算機，得到的是電壓幅值的時域數(shù)據(jù)。為了對轉速進行分析，需提取時域數(shù)據(jù)中的頻域信息。常用的信號頻域處理方法有很多，如快速傅里葉變換、線性調頻Z變換等，頻域細化方法也有很多，常見的有復頻域Z變換、小波分析。

2.1 線性調頻Z變換

快速傅里葉變換[10]有很多局限性，線性調頻Z變換可以很好地解決問題[11]。線性調頻Z變換可以對頻帶局部進行“細化”，其取樣是沿Z平面上的一段螺線作等分角抽象，取樣點為

Zk=BW-k

(6)

B=B0ejθ0W=W0e-jφ0k=0，1，…，M

式中，M為待分析復頻譜的點數(shù)。

由于M不一定等于采集數(shù)據(jù)個數(shù)N，故可以對頻譜進行細化[12]。對Zk進行Z變換可得

(7)

式中，n表示第n個系數(shù)數(shù)據(jù)。

令g(n)=x(n)B-nW0.5n2，h(n)=W-0.5n2，根據(jù)線性卷積公式，可得

(8)

式中，*表示卷積。

我們發(fā)現(xiàn)Z變換可以分析的點數(shù)不一定是采樣點數(shù)，從而解決了采樣點數(shù)是大素數(shù)時快速傅里葉變換不能分解的問題，且由于分析點數(shù)不受限，我們可以取比采樣點數(shù)大的數(shù)進行分析，即進行了頻譜細化?；谝陨咸匦裕疚牟捎镁€性調頻Z變換進行數(shù)據(jù)的信號處理。

2.2 基于MATLAB的仿真驗證

根據(jù)理論分析，供電電流可以分為三部分：一是50 Hz供電電壓。二是頻率等于轉差率的感生電壓。由于旋轉磁場會有一個相對于轉子的正向轉動，因此轉子所受磁場是呈正弦周期變換的，故感生電動勢也是正弦變化。三是與轉速同頻率的感生電壓波動。此部分是由于負載變化而導致的，上文分析得知負載值波動類似正弦波，因此我們用標準的正弦波動代替負載值波動進行仿真。根據(jù)實驗，仿真模型設定如下:

y=100sin(100πt)+10sin(2πt)+5sin(98πt)

(9)

式(9)中的3個三角函數(shù)的系數(shù)是根據(jù)經驗和實驗取得的，以便進行數(shù)學仿真。設壓縮機轉速頻率為49 Hz，轉差率為1 Hz。采樣頻率1000 Hz，采集數(shù)據(jù)個數(shù)為10 000。

圖4是式(9)的時域圖，可以看到有明顯的波動。我們用線性調頻Z變換進行頻域分析，得到0～100 Hz的頻域圖，再在此基礎上對0～5 Hz以及48～52 Hz進行頻譜細化，得到圖5。理論上，1 Hz為轉差頻率，49 Hz為壓縮機轉速頻率，其中，磁場旋轉頻率與轉差率的差值即為轉速頻率，故通過以上兩個量可以獲得轉速頻率。由頻譜可以看出，1 Hz更容易取得。但低頻率信號測量中存在測量精度不足、測量波動大等因素，實際測量所得轉速誤差大于±5 r/min，故而無法滿足實際需要。而高頻信號是由負載壓力周期性變換得來的，精度大大提高，故將49 Hz的頻率作為有效頻率。從圖5b中可知，有效頻率49 Hz附近存在供電主頻率50 Hz，這對有效頻率的提取造成了很大的障礙。本文選用Hilbert變換消除供電主頻50 Hz，得到有效頻率。

圖4 仿真時域圖

(a)低頻細分頻譜

(b)高頻細分頻譜

2.3 Hilbert變換在信號提取中的應用

給定一個連續(xù)的時間信號s(t)，其Hilbert變換為s(t)與h(t)=1/(πt)的卷積[13]：

(10)

式中，H為Hilbert變換算子。

我們可以把sH(t)看成是s(t)通過一個全通濾波器的輸出，該濾波器沖激響應為h(t)=1/(πt)。根據(jù)傅里葉變換理論可得Hilbert變換器的頻率響應：

H(jω)=-jsgn ω

(11)

圖6 Hilbert變換并消波后的時域圖

0～1s的電流如圖7所示，可以看出，所有頻率為轉差率頻率與有效轉速頻率的疊加，而供電主頻率已經抵消掉了。對經過Hilbert變換后的波形做線性調頻Z變換，可以得到有效頻率49 Hz，如圖8所示。

圖7 消波后局部放大圖

圖8 Z變換頻域圖

3 實驗平臺的搭建

3.1 硬件平臺的搭建

本實驗平臺采用工控機進行測試運算，所用工控機為研華工控機，傳感器為維博的WBI411S07電流跟隨型傳感器，傳感器輸入電流為AC 0～2 A，輸出電壓為AC 0～5 V，供電為DC ±12 V。數(shù)據(jù)采集設備為研華PCI-1715U高速數(shù)據(jù)采集卡。制冷系統(tǒng)為壓力、流量、轉速等可調節(jié)的制冷實驗系統(tǒng)平臺。

將電流傳感器串入壓縮機的供電回路。采用的電流傳感器響應時間為15 μs，50 Hz交流電循環(huán)一個周期可采集1333個數(shù)據(jù)。實際測試的采樣頻率為1000 Hz，采樣時間為10 s。

3.2 軟件平臺的搭建

本系統(tǒng)采用LabView進行數(shù)據(jù)采集，將10 000個數(shù)據(jù)保存在Excel中，采用MATLAB進行數(shù)據(jù)頻域分析。本實驗將LabView采集的數(shù)據(jù)導入到MATLAB中進行頻譜分析，可以大大縮短處理時間，提高運算效率。

4 實驗結果分析

不同工況下，壓縮機的轉速不同，故實驗分別對工作壓力為0.9 MPa和0.7 MPa的制冷系統(tǒng)進行測量。利用高速數(shù)據(jù)采集卡對傳感器采集的電流信號進行A/D轉換，將轉換后的數(shù)據(jù)儲存在Excel中。之后進行信號頻譜分析，最終得到轉速，具體流程如圖9所示。

圖9 測試流程

分別對信號進行10 s和60 s的分析，得到兩種時域譜。圖10為0.7 MPa壓力、1 kHz采樣頻率，不同時長下的時域圖。

(a)采集時間10 s

(b)采集時間60 s

對應圖10兩組時域譜，均值優(yōu)化后利用線性調頻Z變換對其進行頻域分析，得到45～55 Hz的細化頻譜，如圖11所示。

(a)0.7 MPa/10 s采集時間

(b)0.7 MPa/60 s采集時間

為研究不同工況對轉速的影響，本文增加0.9 MPa的工況實驗，依舊采集10 s和60 s的信號，最后實際測得的4組轉速分別為2894 r/min、2894 r/min、2902 r/min、2901 r/min。由以上數(shù)據(jù)可以看出， 60 s的采樣時間對最后的轉速影響并不大。故為了實現(xiàn)快速測量，本文采樣時間取10 s。轉速計算方法為：利用MATLAB自帶的函數(shù)，在45～55 Hz內找尋并記錄最大值，最大值對應的頻率乘以60即為測量轉速。

本文在MATLAB中對信號進行讀取、濾波、頻域轉換、轉速計算。為了驗證本方法的精確度，采用實驗室自行搭建的帶有編碼器[15]的可視壓縮機進行實驗。在相同工況下，分別用基于振動、基于排氣壓力脈動、基于電流波動和編碼器測量法進行比對。結果如表1所示。

表1 不同測試手段轉速 r/min

由表1可知，不同工況下，基于振動的測量方法的誤差大于4 r/min，本文提出的測量方法更為精確?；谂艢鈮毫Φ臏y量與本文方法的測量精度都較高，與編碼器測量比較，誤差小于2 r/min。

經實驗驗證，基于振動的測量方法對安裝底座的材料和測試環(huán)境要求較高。安裝底座的剛度較小時，外殼的大量振動能量會被底座吸收，致使傳感器無法精確捕捉測量信號。測試環(huán)境中的其他振動亦會對振動測量產生影響?；谂艢鈮毫Φ臏y量對系統(tǒng)內制冷劑湍流等不規(guī)則流動的抗擾性較弱，對高壓高速工況的測試能力較弱。故在測量方面，本文提出的方法有較大優(yōu)勢。

5 結語

本文提出一種基于Hilbert變換的全封閉壓縮機的轉速測量方法。該方法對外界干擾的抗擾性強、測量精度高，且成本較低、安裝簡單，僅需截斷供電零線，將傳感器串入電路即可。實驗以負載壓力脈動為基礎，由于有效頻率十分接近供電主頻率，故信號提取困難。本文利用Hilbert變換的相移特性將供電主頻率消掉，得到正向平移的時域譜，進而利用線性調頻Z變換得到有效頻率。相比于其他常用方法，基于電流波動的方法對高速高壓工況的壓縮機以及復雜環(huán)境的測試現(xiàn)場有更好地適應能力，且測量精度高，速度快。

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(編輯 張 洋)

Speed Measurement of Miniature Reciprocating Refrigerant Compressor Based on Hilbert Transform

Shen Xi Sun Zhe Xu Ming Gu Jiangping Jin Huaqiang

Zhejiang University of Technology，Hangzhou，310000

In recent years for refrigeration industry, refrigeration compressor rotation speed measuring precision demands were increasing. The traditional direct measurement method of compressor destructed itself, and indirect measurement method based on shell vibration, needed high require-ments for test conditions, and the measurement errors were bigger. To improve the measurement accuracy, and to meet the demands of industries, a signal extraction method was proposed based on Hilbert transform herein, this method indirectly reflected the characteristics of the compressor rotation by the movement regularity of the piston and the induced electromotive force changes. This method is of high precision, strong anti-jamming. The errors are less than 2 r/min by compared with visual compressor, which meets the requirements of engineering.

Hilbert transform; miniature reciprocating refrigerant compressor; speed measurement; chirp-Z transform

2015-12-25

TB652

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.008

沈 希，男，1966年生。浙江工業(yè)大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為制冷系統(tǒng)建模與優(yōu)化。發(fā)表論文30余篇。孫 哲，男，1989年生。浙江工業(yè)大學機械工程學院碩士研究生生。徐 鳴(通信作者)，男，1982年生。浙江工業(yè)大學機械工程學院講師。顧江萍，男，1984年生。浙江工業(yè)大學教育科學學院講師。金華強，男，1984年生。浙江工業(yè)大學教育科學學院講師。