孫蔓，徐榮蓉，孫得娣，張佩佩

BPSK信號(hào)在Nakagami衰落信道下誤碼性能分析

孫蔓，徐榮蓉，孫得娣，張佩佩

首先介紹了BPSK信號(hào)調(diào)制與解調(diào)的基本原理以及Nakagami衰落信道的統(tǒng)計(jì)特性；隨后重點(diǎn)分析、推導(dǎo)了BPSK信號(hào)在通過(guò)Nakagami衰落信道后，經(jīng)相干解調(diào)的平均誤碼率理論閉型表達(dá)式；最后在Matlab仿真平臺(tái)中對(duì)該誤碼率閉型表達(dá)式進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并總結(jié)了BPSK調(diào)制在Nakagami衰落信道中的誤碼性能。

BPSK；Nakagami信道；Matlab仿真；誤碼率

0 引言

在實(shí)際的通信信道中，大多數(shù)信道具有帶通傳輸特性，而數(shù)字基帶信號(hào)不能直接在這種帶通傳輸特性的信道中傳輸。所以，必須用數(shù)字基帶信號(hào)對(duì)載波進(jìn)行調(diào)制。與模擬通信系統(tǒng)相比，數(shù)字調(diào)制和解調(diào)同樣是通過(guò)某種方式，將基帶信號(hào)的頻譜由一個(gè)頻率位置搬移到另一個(gè)頻率位置上去。而數(shù)字調(diào)制的基帶信號(hào)不是模擬信號(hào)而是數(shù)字信號(hào)，數(shù)字調(diào)制是利用數(shù)字信號(hào)的離散值去鍵控載波。用數(shù)字基帶信號(hào)改變正弦載波的幅度、頻率或相位中的某個(gè)參數(shù)而產(chǎn)生相應(yīng)的數(shù)字振幅調(diào)制、數(shù)字頻率調(diào)制和數(shù)字相位調(diào)制。因此，在二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制中，當(dāng)正弦載波的相位隨二進(jìn)制數(shù)字基帶信號(hào)離散變化時(shí)則產(chǎn)生二進(jìn)制移相鍵控信號(hào)，即BPSK信號(hào)。通過(guò)研究BPSK信號(hào)在Nakagami衰落信道下的誤碼率，從而得到衰落信號(hào)統(tǒng)計(jì)的特性對(duì)系統(tǒng)性能分析提供相應(yīng)的依據(jù)。

1 BPSK信號(hào)的數(shù)學(xué)原理

1.1 BPSK信號(hào)調(diào)制原理

在數(shù)字信號(hào)經(jīng)通信信道傳輸時(shí)，由于調(diào)制器是接口器件，其將數(shù)字信息映射成與信道特性相匹配的模擬波形。一般先從信息序列｛an｝一次提取k=log2M個(gè)二進(jìn)制數(shù)字形成分組，再?gòu)腗=2k個(gè)確定的有限能量波形｛sm（t）, m=1,2,...,M｝中選擇其中之一送往信道進(jìn)行傳輸。當(dāng)序列｛an｝到波形｛sm（t）｝的映射沒(méi)有受到先前發(fā)送波形的約束時(shí)，這種調(diào)制器稱為無(wú)記憶的；而在任意時(shí)間間隔發(fā)送的波形決定于一個(gè)或多個(gè)先前發(fā)送波形的約束時(shí)，這種調(diào)制器就稱為有記憶的。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，調(diào)制器將二進(jìn)制數(shù)字序列映射成一組相應(yīng)的信號(hào)波形，這些波形的差別在于幅度、相位、頻率或者兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)參數(shù)的組合。其中，數(shù)字相位調(diào)制通常被稱為相移鍵控(PSK)。在采用無(wú)記憶調(diào)制方式的情況下，假定在調(diào)制器輸入端的二進(jìn)制數(shù)字序列的速度均為Rb/s，那么在數(shù)字相位調(diào)制中，M個(gè)信號(hào)波形[2]可表示為公式（1）：

上式中，g（t）是信號(hào)脈沖波形，其形狀影響發(fā)送信號(hào)的譜；而θm=2π（m-1）M是載波的M個(gè)可能的相位用于傳送發(fā)送信息；時(shí)間間隔T=k R稱為符號(hào)間隔。這些信號(hào)波形具有相等的能量，即公式（2）：

其中，εg表示脈沖g（t）的能量。

該M個(gè)信號(hào)波形可以表示為具有單位能量的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交信號(hào)波形f1（t）和f2（t）的線性組合，即式（3）：

當(dāng)M=2,4,8時(shí)該信號(hào)分別表示為 BPSK、QPSK和8PSK。并且當(dāng)M=2時(shí)，其相當(dāng)于一維信號(hào)，與二進(jìn)制數(shù)字脈沖幅度調(diào)制(PAM)信號(hào)相同。其中，數(shù)字PAM信號(hào)波形一般表示為式（5）：

其中，Am表示M個(gè)可能的幅度，相應(yīng)于M=2k個(gè)可能的k比特組或符號(hào)。信號(hào)幅度Am取離散值（電平）為式（6）：

上式中，d是相鄰信號(hào)幅度之間的距離。所以在M=2的情況下，二進(jìn)制PAM波形具有特殊性質(zhì)，即式（7）：

所以，該兩個(gè)信號(hào)具有相等的能量且互相關(guān)系數(shù)為-1，其被稱為雙極性信號(hào)。

1.2 BPSK信號(hào)解調(diào)原理

在發(fā)送端的調(diào)制器將數(shù)字序列映射成信號(hào)波形后通過(guò)信道傳輸時(shí)，該信號(hào)會(huì)受到信道高斯噪聲相加的影響。假定信道以加性高斯白噪聲(AWGN)來(lái)惡化信號(hào)，那么在0≤t≤T間隔內(nèi)，接收信號(hào)可以表示為式（8）：

其中，n（t） 表示具有功率密度譜Φ（f）=N02（W/Hz）的加性高斯白噪聲的樣本函數(shù)。通過(guò)對(duì)r（t）在信號(hào)間隔時(shí)間上經(jīng)過(guò)接收機(jī)使錯(cuò)誤概率最小使系統(tǒng)達(dá)到最佳。一般可將接收機(jī)分為兩個(gè)部分即信號(hào)解調(diào)和檢測(cè)器，如圖1所示：

圖1 BPSK信號(hào)解調(diào)原理圖

上式表明匹配濾波器的輸出信噪比決定于信號(hào)波形sm（t）的能量。

對(duì)于BPSK信號(hào)在AWGN信道下在進(jìn)行無(wú)記憶調(diào)制時(shí)，基于最大似然準(zhǔn)則（ML）的判決規(guī)則進(jìn)行判決，該二進(jìn)制雙極性信號(hào)的平均錯(cuò)誤概率[2]是式（10）：

其中，ε/N0稱為比特信噪比。

2 Nakagami衰落統(tǒng)計(jì)特性

在移動(dòng)無(wú)線信道中，瑞利分布和萊斯分布都能很好的對(duì)信號(hào)通過(guò)衰落信道后的包絡(luò)進(jìn)行建模。但是，在實(shí)際的無(wú)線環(huán)境中，Nakagami分布能夠與測(cè)試結(jié)果更加匹配吻合[3]。在Nakagami衰落信道下，系統(tǒng)傳輸?shù)姆?hào)的包絡(luò)受到的衰落幅度α服從Nakagami分布即m分布，其概率密度函數(shù)為式（11）：

其中，m和ω是Nakagami分布的兩個(gè)重要參數(shù)，表達(dá)式為式（12）：

其中，E［·］表示求均值，Var［·］表示方差。ω是衰落幅度α的均方值，m被稱為形狀因子或衰落指數(shù)，表示此時(shí)小尺度衰落的嚴(yán)重程度，其取值滿足m≥1/2。Γ（·）表示伽馬函數(shù)并定義為式（13）：

其中，對(duì)衰落指數(shù)m的不同取值存在幾種特殊情況。

為了進(jìn)行統(tǒng)一對(duì)比，所有曲線對(duì)應(yīng)的ω取值都為1，如圖2所示：

圖2 Nakagami分布的概率密度函數(shù)曲線圖

從圖中可以看出，m取值越大，概率密度函數(shù)曲線越陡峭，即對(duì)應(yīng)的方差越小，衰落越輕微。當(dāng)m取值趨向于無(wú)窮大時(shí)，其概率密度函數(shù)演變?yōu)镈irac沖擊函數(shù)，此時(shí)以概率1取得均值，方差為0，信道中不存在小尺度衰落。綜上所述，當(dāng)衰落參數(shù)m的取值變化時(shí)，Nakagami衰落信道的衰落嚴(yán)重程度也會(huì)隨之變化。并且當(dāng)m取特定數(shù)值時(shí)，Nakagami衰落信道模型能夠有效地涵蓋現(xiàn)有的經(jīng)典衰落信道模型，具有很強(qiáng)的通用性。

根據(jù)文獻(xiàn)[4]假設(shè)Nakagami衰落信道當(dāng)中存在加性高斯白噪聲，其功率譜密度為N0，發(fā)送端發(fā)送功率為E，接收端瞬時(shí)接收信噪比記為γ，每個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的平均接收信噪比記作，則兩者表達(dá)式分別為式（14）：

通過(guò)單個(gè)符號(hào)的瞬時(shí)接收信噪比γ的概率密度函數(shù)和單個(gè)符號(hào)包絡(luò)受到的衰落幅度α的概率密度函數(shù)的兩者關(guān)系可得在Nakagami衰落信道下，接收端接收到單個(gè)符號(hào)的信噪比γ的概率密度函數(shù)表達(dá)式為式（15）：

3 BPSK在Nakagami衰落信道下理論平均誤碼率推導(dǎo)

BPSK信號(hào)序列產(chǎn)生之后，其會(huì)被傳送到信道中。而實(shí)際的信道是一個(gè)充滿各種干擾的環(huán)境，所以調(diào)制后的信號(hào)不可能在信道中不受干擾影響的直接進(jìn)行傳輸。一般的信道干擾包括乘性干擾和加性干擾，其中乘性干擾是伴隨信號(hào)的存在而存在、消失而消失的，加性干擾是不管有沒(méi)有傳送信號(hào)始終存在信道所固有的干擾。所以 BPSK信號(hào)在經(jīng)過(guò)Nakagami信道時(shí)受到乘性干擾，同時(shí)為更加逼真的去模擬這樣的調(diào)制信號(hào)的傳輸環(huán)境，所以在經(jīng)過(guò)該衰落的序列中隨機(jī)疊加不同信噪比的高斯白噪聲。

由于頻率非選擇性信道會(huì)導(dǎo)致發(fā)送信號(hào)的乘性失真，信道慢衰落的條件要求至少在一個(gè)信號(hào)傳輸間隔內(nèi)將乘法過(guò)程看做是一個(gè)常數(shù)。所以假設(shè)信道衰落足夠慢以致相移是能夠從接收信號(hào)中無(wú)誤差的被估計(jì)出，這種情況便能夠?qū)崿F(xiàn)接收信號(hào)的理想的相干檢測(cè)。對(duì)BPSK采用一個(gè)匹配濾波器處理接收信號(hào)，通過(guò)計(jì)算判決變量并依據(jù)其確定差錯(cuò)率確定該通信系統(tǒng)的性能。根據(jù)前面所述BPSK信號(hào)的解調(diào)原理可知對(duì)于某一固定衰減α，其接收端接收到的單個(gè)符號(hào)的信噪比γ函數(shù)的BPSK差錯(cuò)率為式（16）：

上式中，γ=α2ε/N；Q（·）是一種經(jīng)常用來(lái)表示高斯

0 PDF尾部曲線下的面積的函數(shù)，定義為式（17）：

上式的 BPSK差錯(cuò)率是在條件衰減α固定不變的情況下得出的。所以為了得到隨衰減α隨機(jī)變化時(shí)的差錯(cuò)率，可將Pγ（γ）對(duì)變量γ的概率密度函數(shù)求平均，即計(jì)算如下的積分式（18）：

其中，pγ（γ）是衰減α隨機(jī)變化時(shí)信噪比γ的概率密度函數(shù)。所以BPSK在Nakagami衰落信道下誤碼率的計(jì)算表達(dá)式為式（19）：

其中，Q（·）還可以寫(xiě)成另一種表達(dá)形式[4]即式（20）：

所以，將公式（20）運(yùn)用到公式（19）中可得式（21）：

在公式（21）的推導(dǎo)中，用到了矩生成函數(shù)（MGF，The moment generating function）。其定義為式（22）：

對(duì)于Nakagami衰落信道的接收端接收到單個(gè)符號(hào)的信噪比γ的概率密度函數(shù)而言，其矩生成函數(shù)可以化簡(jiǎn)[4]寫(xiě)成式（23）：

根據(jù)公式（23），公式（21）可以化為式（24）：

其中，2F1（·,·;·;·）為Gauss hyper-geometric函數(shù)[5]，其定義為式（26）：

通過(guò)進(jìn)行上述系列的數(shù)學(xué)的變量代換和變形便可得到BPSK信號(hào)在經(jīng)過(guò)Nakagami衰落信道后的誤碼率的一個(gè)閉合式的解。相較于原來(lái)的無(wú)窮積分表達(dá)式，該閉合式不僅更好的反映了誤碼率同接收信噪比和衰落指數(shù)的關(guān)系而且有利于計(jì)算和分析，使得仿真更加方便精確。

由于上式所得誤碼率是對(duì)一般的衰落指數(shù)m≥1/2適用的，而當(dāng)m無(wú)限趨近于無(wú)窮大時(shí)，依據(jù)Nakagami信道在接收端接收到的單個(gè)符號(hào)信噪比的概率密γ度表達(dá)式可知其成為了Dirac沖擊函數(shù)即接收到的信噪比γ以無(wú)限大的概率出現(xiàn)在均值點(diǎn)沒(méi)有衰落，相當(dāng)于Nakagami衰落信道對(duì)信號(hào)所產(chǎn)生的乘性干擾為 1即其是一個(gè)無(wú)衰落的信道。所以此時(shí)BPSK信號(hào)在經(jīng)過(guò)Nakagami信道后，接收端接收到的信號(hào)實(shí)際上等效為一個(gè)疊加了高斯白噪聲的原始的發(fā)送信號(hào)。根據(jù) BPSK信號(hào)在通過(guò)具有高斯白噪聲的信道后其接收到的信號(hào)的概率密度函數(shù)和判決法則等可得m→∞時(shí)，BPSK信號(hào)的誤碼率[1]的表達(dá)式為式（27）：

其中，erfc（·）為高斯誤差函數(shù)[6]，其定義為式（28）：

4 仿真及結(jié)果分析

基于前面的數(shù)學(xué)原理，利用MATALB進(jìn)行仿真并分析數(shù)學(xué)理想模型建立的合理性。根據(jù)BPSK信號(hào)在Nakagami衰落信道下誤碼率的計(jì)算表達(dá)式可知該信號(hào)的誤碼率不僅與Nakagami分布的衰減指數(shù)m有關(guān)，還與其每個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的平均接收信噪比γ有關(guān)。對(duì)于不同的衰減指數(shù)m賦予不同的數(shù)值即做不同的變化，同時(shí)對(duì)該信道中的平均信噪比從0db到40db不斷地進(jìn)行變化，這樣便可得到在不同的衰減指數(shù)m和平均信噪比γ情況下的BPSK信號(hào)的誤碼率。并且對(duì)原始信號(hào)的誤碼率取對(duì)數(shù)得到誤碼率與衰減指數(shù)m和平均信噪比的關(guān)系的仿真圖如圖3所示：

圖3 BPSK在Nakagami衰落信道下誤碼率的理論仿真圖

從而便于分析BPSK信號(hào)在經(jīng)過(guò)Nakagami衰落信道后的系統(tǒng)性能。

圖中藍(lán)色實(shí)線描繪的是通過(guò)超幾何函數(shù)公式（25）和誤差函數(shù)公式（27）所表示的BPSK誤碼率的理論計(jì)算值；而紅色原點(diǎn)和方塊所描繪的則是通過(guò)無(wú)窮積分公式（19）所表示的BPSK誤碼率的基準(zhǔn)理論仿真值。這兩類曲線的良好重合性證明了本文所推導(dǎo)得到的Nakagami衰落信道下BPSK理論平均誤碼率公式的正確性。從上述的BPSK誤碼率的仿真圖可以看出，BPSK信號(hào)m的誤碼率與平均信噪比及衰落指數(shù)息息相關(guān)：當(dāng)衰落指數(shù)m為一固定值時(shí)，接收的平均信噪比越大，BPSK信號(hào)的誤碼率越低；而當(dāng)平均信噪比為一固定值m時(shí)，BPSK信號(hào)的誤碼率隨著Nakagami信道的衰落指數(shù)m的增大而減小，即m越大時(shí)誤碼m率越小。所以當(dāng)m逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)性能將得到改善，當(dāng)m為無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)性能趨于無(wú)衰落的高斯信道。

6 總結(jié)

本文在簡(jiǎn)要介紹了 BPSK信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)原理和Nakagami衰落信道的統(tǒng)計(jì)特性后，推導(dǎo)了Nakagmi衰落信道下，BPSK經(jīng)相干解調(diào)和最大似然判決輸出的統(tǒng)計(jì)平均誤碼率理論閉型表達(dá)式，并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證。仿真顯示，BPSK信號(hào)的誤碼率與Nakagami衰落信道的衰落指數(shù)和接收端每個(gè)符號(hào)的平均信噪比有關(guān)，通過(guò)合理的選擇這兩個(gè)參數(shù)可使得誤碼率最低、系統(tǒng)性能達(dá)到最好。

[1] 樊昌信.通信原理(第六版)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 2008.

[2] John G.Proakis著,張力軍等譯.數(shù)字通信(第四版)[M].北京電子工業(yè)出版社, 2003,1.

[3] Nakagami M. The m-distribution: A general formula of intensity distribution of rapid fading[J].Statistical Method of Radio Propagation,1960.

[4] M.K. Simon and M.-S. Alouini. Digital communication over fading channels,2nd ed.[M].New York:Wiley,2005.

[5] A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions[M]. New York: McGraw-Hill.1953.Vol.1.

[6] S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik. Table of Integrals. Series and products(7th ed.)[M].San Diego: Academic Press,2007.

Analysis of BER Performance of BPSK Modulation over Nakagami Fading Channel

Sun Man, Xu Rongrong, Sun Dedi, Zhang Peipei
(College of Computer and Information, Hohai University, Nanjing 211100,China)

This paper firstly introduces the basic principls of BPSK signal modulation and demodulation, and the statistical characteristics of Nakagami fading channel. Then it focuses on the analysis and derivation of the BPSK signal in the Nakagami fading channel through the coherent demodulation of the average error rate theoretical closed form expression. Finally, the error rate closed form expression is simulated in the Matlab simulation platform, and the BER performance of BPSK modulation in Nakagami fading channel is summarized.

BPSK; Nakagami Channel; Matlab Simulation; BER

TP393

A

1007-757X(2016)09-0071-04

2016.01.15）

孫 蔓（1995-），女，河海大學(xué)，計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，碩士研究生，研究方向：MIMO系統(tǒng)及多天線技術(shù)，南京 211100徐榮蓉（1992-），女，河海大學(xué)，計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，碩士研究生，研究方向：現(xiàn)代無(wú)線通信系統(tǒng)，南京 211100孫得娣（1992-），女，河海大學(xué)，計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，碩士研究生，研究方向：無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)與MIMO系統(tǒng)，南京 211100張佩佩（1992-），女，河海大學(xué)，計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，碩士研究生，研究方向：新一代MIMO無(wú)線通信系統(tǒng)，南京 211100