孫懿

摘 要：分形反映了世界的本質(zhì)，是非線性科學(xué)的三大理論前沿之一。迭代函數(shù)系統(tǒng)是分形理論的重要分支，利用分形迭代函數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生的分形圖形具有豐富多樣的形態(tài)以及精細的結(jié)構(gòu)，其中帶概率的函數(shù)迭代系統(tǒng)在各領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛，凝聚函數(shù)迭代系統(tǒng)主要用于整體與局部的自相似分形，帶參量函數(shù)迭代系統(tǒng)通過在變換系數(shù)中加入?yún)?shù)來控制分形圖形的動畫效果。在介紹迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的基礎(chǔ)上，研究了帶概率的IFS、凝聚IFS以及帶參量IFS等3種分形迭代函數(shù)系統(tǒng)，對不同類型分形圖形的生成具有一定的啟發(fā)與指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：函數(shù)迭代系統(tǒng)；帶概率的IFS；凝聚IFS；帶參量IFS

DOIDOI：10.11907/rjdk.161989

中圖分類號：TP303

文獻標識碼：A 文章編號文章編號：16727800（2016）011000903

0 引言

迭代函數(shù)是對分形進行收縮仿射變換的迭代運算，將上一次的輸出作為下一次的輸入，不斷進行重復(fù)與自身復(fù)制，體現(xiàn)了分形在無標度區(qū)域中的自相似性[1]。分形不同于傳統(tǒng)意義的幾何形狀，能夠達到任意小尺寸的精細結(jié)構(gòu)的集合。Barnsley提出迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本思想就是基于幾何對象的整體和局部在仿射變換的意義下存在一定的自相似性[2]，仿射變換包括旋轉(zhuǎn)、平移、縮放并且保持交比不變。分形可以由一個或者更多個仿射變換迭代生成，每次迭代都會在最終的圖像中產(chǎn)生一個新的吸引子。本文就分形的迭代函數(shù)系統(tǒng)（Iterated Function System， IFS）的分形構(gòu)造方法加以研究，為不同分形對象的仿射變換提供有效的解決方法。

1 迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的定義

設(shè){X；Wn，n=1，2，…，N}是擁有壓縮因子s的迭代函數(shù)系統(tǒng)，即變換W：H（X）→H（X）定義[3]如下：

其是完備空間（H（X），h（d））上具有壓縮因子s的壓縮映射，即：

這里采用豪斯道夫度量，因此H（X）與X是完備的壓縮空間。通過計算集合的豪斯多夫度量的上界，計算由IFS定義的自相似集合的維度。在完備的尺度空間X上，W存在一個不動點，可以在任何起始位置通過不斷逼近找到不動點。

它的唯一不動點P∈H（X）滿足：

2 帶概率的IFS

預(yù)備知識：IFS的仿射變換通常由幾個變換形成，進行分形后得到的效果不是很真實，實際的分形圖形由隨機迭代算法給出，也即在原來的IFS中增加一組概率數(shù)，其中概率大的變換頻率高，概率小的變換頻率低，稱為帶概率的迭代函數(shù)系統(tǒng)，簡稱IFSP。IFSP定義了概率測量相關(guān)的馬爾科夫算子，馬爾科夫算子是所有概率測量空間的壓縮映射。拼貼定理指出，IFSP能夠產(chǎn)生一個不變測量。IFSP能夠在細節(jié)上更真實地反映分形圖形。

定義1[4]：X；wn，pnNn=1由IFS：X；wnNn=1和概率集pnNn=1組成，其中∑Nn=1pn=1且pn>0（n=1，2，···，N），其中每個pi對應(yīng)于一個wi。

定義P為所有概率測量空間的集合，X；wn，pnNn=1的馬爾科夫算子就是由函數(shù)M：P→P定義的[5]：

概率的加入使得分形后的效果更為真實，概率變化使得圖像的細節(jié)可以得到不同的展示，概率大的細節(jié)增加，概率小的細節(jié)降低，通過合適的概率選擇生成滿足相應(yīng)要求的圖像效果。圖2為采用IFSP對一個初始定義有向盒產(chǎn)生的蕨類植物進行迭代的第4次和第21次的分形結(jié)果。

3 凝聚IFS

預(yù)備知識：無論是使用確定性算法的IFS還是使用隨機迭代算法的IFSP，都是在一系列的迭代之后得到一個分形幾何體。在生成一片分形幾何體時，局部與整體是具有自相似性的，將局部看作是整體的縮小和小位移形成，將劃分后的第一個幾何體進行凝聚變換，然后進行迭代，在某個位置生成單個幾何體，在空間的不同方向上作延伸變換[6]。如果要產(chǎn)生更多的效果，就需要更多的延伸變換。

其唯一不動點A滿足：A=W（A）=∪Nn=0wn（A），并且A=limn→∞wn（B），B∈H（X），w0就是凝聚變換。如果凝聚IFS連續(xù)依賴于參數(shù)集，則吸引子也會連續(xù)依賴于參數(shù)集。

在分形圖形的延伸過程中應(yīng)能夠滿足在越遠處，則局部幾何體越小，局部幾何體之間的位移也越小，在保持分形圖形真實感的前提下，局部幾何體數(shù)目應(yīng)盡可能多，達到整片分形幾何體的圖形效果。因此應(yīng)采取合適的延伸變換達到不同的大片分形幾何體的效果。在用凝聚IFS生成植物的分形圖形時，初始集就是凝聚集。圖3為凝聚IFS分形圖的一個示例。其中凝聚集為樹干，經(jīng)過遞歸次后生成一棵包含左右兩個分枝的樹。

4 帶參量IFS

預(yù)備知識：靜態(tài)分形圖形可以利用IFS和IFSP產(chǎn)生，當(dāng)在位移系數(shù)、旋轉(zhuǎn)系數(shù)和比例系數(shù)中加入?yún)?shù)，就能引起分形圖形運動起來，也能夠進行旋轉(zhuǎn)變化和縮放變化，產(chǎn)生相應(yīng)的動畫效果。參數(shù)的加入引發(fā)了分形圖形的一系列變化，通過對參數(shù)的修改來控制動畫的變化和動畫效果。

當(dāng)在映射中加入一個參數(shù)時，就會引起分形圖形的一種或多種變化，參數(shù)值影響變化的種類與效果，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)對IFS碼的連續(xù)控制。可以利用這一特

性，選取有效的變換系數(shù)并引入相關(guān)參數(shù)，使分形圖像發(fā)生預(yù)期變化，產(chǎn)生連貫且逼真的動畫效果。實現(xiàn)方法非常簡單，只需調(diào)控相應(yīng)參數(shù)，效果也優(yōu)于以往的計算機動畫技術(shù)。圖4為一個帶參量的IFS的三角形分形示意圖，初始集是一個垂足三角形，經(jīng)過迭代產(chǎn)生扭曲的三角形分形圖。

5 結(jié)語

本文在介紹迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的基礎(chǔ)上，研究了帶概率的IFS、凝聚IFS以及帶參量IFS。帶概率的IFS可以用于體現(xiàn)不同的細節(jié)信息，凝聚IFS能夠?qū)崿F(xiàn)局部幾何體的凝聚變換和整體的延伸變換，生成具有自相似性的大片分形幾何體圖形，帶參量IFS用于使分形圖形產(chǎn)生動畫效果，對初學(xué)者理解迭代函數(shù)系統(tǒng)以及針對不同的分形圖形采取不同類型的IFS具有一定的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。

參考文獻：

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[3] 趙健，雷蕾，浦小勤.分形理論及其在信號處理中的應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008

[4] 李水根.分形[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[7] 陳東方，吳國紅.基于帶參IFS的3D分形樹及其搖曳形態(tài)的實現(xiàn)[J].計算機與現(xiàn)代化，2007（9）：911.

（責(zé)任編輯：孫 娟）