劉云俠，劉培超，初振云，王克生

(山東科技大學(xué) 工程實(shí)訓(xùn)中心，山東 青島 266590)

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一種改進(jìn)的模極大值混沌信號(hào)降噪方法

劉云俠，劉培超，初振云，王克生

(山東科技大學(xué) 工程實(shí)訓(xùn)中心，山東 青島 266590)

基于混沌和噪聲的不同表現(xiàn)特征，提出一種改進(jìn)的小波模極大值信號(hào)降噪方法。首先，該方法根據(jù)不同尺度噪聲殘余率的差別，確定離散二進(jìn)制小波變換的最優(yōu)分解尺度。然后，結(jié)合奇異譜理論對(duì)小波變換后的近似系數(shù)進(jìn)行處理，去除表征噪聲的較小奇異值；利用空間尺度相關(guān)性分析細(xì)節(jié)系數(shù)，自適應(yīng)選取模極大值的閾值范圍，提取有用信號(hào)，體現(xiàn)混沌系統(tǒng)內(nèi)部特性。以Lorenz模型和月太陽黑子為例進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了本方法的可行性和實(shí)用性，提高了系統(tǒng)的信噪比，降低了系統(tǒng)的重構(gòu)誤差。

小波模極大值；奇異譜分析；空間尺度相關(guān)；降噪

混沌來源于確定性動(dòng)力系統(tǒng)，具有初始敏感性和不可預(yù)測(cè)性，在各類學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。實(shí)際觀測(cè)混沌信號(hào)都含有一定的噪聲，噪聲的普遍存在破壞了系統(tǒng)內(nèi)在特性，影響了對(duì)系統(tǒng)的進(jìn)一步研究[3]，因此對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行有效降噪具有重要意義。

近年來，小波理論的日益完善，使其在信號(hào)降噪領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用[4]。在小波降噪方法中，模極大值降噪方法具備良好的理論基礎(chǔ)，無需事先知道噪聲的方差，因此能夠準(zhǔn)確刻畫信號(hào)的奇異性和局部特性。模極大值方法[5-7]由Mallat等提出，能夠去除噪聲對(duì)應(yīng)的模極大值點(diǎn)，對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分析。關(guān)于該降噪理論的研究，也出現(xiàn)了一些改進(jìn)方法[8-11]，有基于模極大值小波域的包絡(luò)降噪方法、閾值與模極大值跟蹤相結(jié)合的降噪方法以及基于模極大值曲線長(zhǎng)度閾值的降噪方法等，這些方法均具有一定降噪效果，但是在降噪過程中，小波分解尺度和模極大值閾值的準(zhǔn)確選取較困難。

本文針對(duì)小波模極大值降噪過程中存在的問題，提出一種改進(jìn)的模極大值混沌信號(hào)降噪方法。該方法首先對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行離散二進(jìn)制小波變換，然后分別利用奇異譜和尺度相關(guān)性，對(duì)近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行處理，客觀確定模極大值的閾值范圍，進(jìn)而去除代表噪聲的奇異點(diǎn)。為了反映降噪效果，分別從時(shí)間域和空間域?qū)翟肭昂蟮男盘?hào)進(jìn)行分析，不同角度呈現(xiàn)所提方法降噪的可行性。

1 基本模極大值降噪原理

信號(hào)經(jīng)小波變換后，其系數(shù)的模極大值包含信號(hào)的奇異性，通過閾值的設(shè)置、分析和抑制可以實(shí)現(xiàn)奇異性強(qiáng)度的改變，達(dá)到降噪的目的[5]。

假設(shè)在L2(R)空間內(nèi)，對(duì)實(shí)際觀測(cè)混沌信號(hào)f(n)進(jìn)行離散小波變換，可以得到：

(1)

通常，信號(hào)奇異點(diǎn)包含本質(zhì)信息，奇異性用Lipschitz指數(shù)描述。有用信號(hào)的Lipschitz指數(shù)為正值，噪聲的Lipschitz指數(shù)為負(fù)值。小波變換的模極大值與Lipschitz指數(shù)之間具有如下的關(guān)系：

(2)

其中：系數(shù)A>0，b表示離散小波平移因子的系數(shù)。有用信號(hào)和噪聲在小波不同分解尺度上的模極大值具有不同的特性。α>0時(shí)，小波模極大值隨著分解尺度的增大而增大，說明該處的奇異性主要由信號(hào)引起；反之，模極大值隨著尺度的增大而減小，說明該處的奇異性主要由噪聲引起。

基本的小波模極大值降噪方法具有一定的實(shí)用性，但是分解尺度和模極大值閾值范圍的確定比較困難。小波變換分解尺度過多過少，都會(huì)導(dǎo)致有用信號(hào)丟失，信噪比下降。模極大值范圍選取不當(dāng)，也會(huì)造成各個(gè)尺度上對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)中含有的噪聲較多，降噪偏差增大。

2 一種改進(jìn)模極大值降噪方法

針對(duì)基本模極大值降噪方法的缺點(diǎn)，本文提出一種改進(jìn)的模極大值降噪方法。該方法先對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行離散二進(jìn)制小波分解，噪聲包含在由高頻組成的細(xì)節(jié)系數(shù)中。通過細(xì)化小波分解信號(hào)，利用噪聲殘余率的計(jì)算確定最優(yōu)的分解尺度，結(jié)合尺度相關(guān)性分析自適應(yīng)確定模極大值的閾值范圍，來對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，實(shí)質(zhì)是抑制信號(hào)中的噪聲恢復(fù)有用信號(hào)。

改進(jìn)的模極大值降噪方法的基本過程如下：

1)選取合適的離散二進(jìn)制小波，對(duì)含噪聲混沌信號(hào)進(jìn)行J尺度小波分解，確定最優(yōu)的分解尺度。本文主要通過小波變換后不同尺度上小波系數(shù)的噪聲殘余率來確定最優(yōu)分解尺度，從而解決基本模極大值降噪方法分解尺度難確定的問題。

2)小波分解近似系數(shù)分析。雖然近似系數(shù)是有用信號(hào)的近似，但仍包含一定的噪聲成分，本文主要對(duì)其進(jìn)行奇異譜分解，去除較小代表噪聲的奇異值。

3)小波分解高頻細(xì)節(jié)系數(shù)模極大值閾值范圍的客觀自適應(yīng)選取。結(jié)合空間尺度相關(guān)分析對(duì)模極大值的閾值進(jìn)行量化處理，保留系數(shù)中的有用信息，從而解決基本模極大值降噪方法模極大值閾值范圍難確定的問題。

4)為了對(duì)本文提出降噪方法的降噪效果進(jìn)行驗(yàn)證，主要從時(shí)間域和空間域進(jìn)行分析，多角度體現(xiàn)降噪的性能。

在以上過程中，關(guān)鍵的是最優(yōu)分解尺度和模極大值閾值范圍的確定。從某種程度上講，模極大值閾值范圍的準(zhǔn)確選取直接關(guān)系著降噪的效果和對(duì)信號(hào)的進(jìn)一步分析。

2.1 最優(yōu)分解尺度選取

利用離散二進(jìn)制小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，分解尺度的選取非常重要。最優(yōu)分解尺度的確定，利于小波系數(shù)的準(zhǔn)確分析，提高系統(tǒng)的信噪比。通過小波變換后不同尺度上小波系數(shù)的噪聲殘余率來確定最優(yōu)分解尺度，噪聲殘余率的定義為：

(3)

通過式(3)可以看出，當(dāng)噪聲殘余率取值最小時(shí)，所對(duì)應(yīng)分解尺度的近似系數(shù)越逼近原始有用信號(hào)，即為小波變換的最優(yōu)分解尺度。

2.2 小波分解近似系數(shù)分析

混沌信號(hào)經(jīng)過小波變換，會(huì)被分解為近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)?；灸O大值降噪方法只對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分析，忽略了近似系數(shù)中的噪聲，降噪效果不明顯。在充分考慮混沌和噪聲特性的基礎(chǔ)上，對(duì)近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別進(jìn)行分析。

(4)

(5)

選取前l(fā)個(gè)主分量和特征向量對(duì)近似系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，可以得到：

(6)

重構(gòu)后的近似系數(shù)，進(jìn)一步降低了信號(hào)中的噪聲，能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的整體特性。

2.3 細(xì)節(jié)系數(shù)模極大值分析

模極大值閾值范圍的選取與降噪的效果有著直接關(guān)系，也是信號(hào)降噪的關(guān)鍵。為了客觀準(zhǔn)確地對(duì)模極大值閾值范圍自適應(yīng)選取，本文采用空間尺度相關(guān)性對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分析。由于有用信號(hào)和噪聲能量隨著尺度的增大變化不同，因此可以對(duì)不同尺度細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析。

假設(shè)信號(hào)小波變換后尺度j上位置n處的細(xì)節(jié)系數(shù)為dj(n)，那么相關(guān)系數(shù)矩陣如式(7)所示：

Cj(n)=dj(n)×dj+1(n)。

(7)

由于相鄰尺度信號(hào)相互影響，一般選取相關(guān)運(yùn)算的尺度數(shù)為2。同時(shí)，定義歸一化相關(guān)系數(shù)矩陣如下：

(8)

(9)

對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)dJ(n)，有用信號(hào)的能量較大，噪聲的能量較小，因此模極大值的閾值范圍選取不應(yīng)太大，以免去除過多的有用信號(hào)。此時(shí)，可以通過比較NorCj(n)與dj(n)的絕對(duì)值對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分析，具體如下：

(10)

對(duì)經(jīng)過上述處理的近似系數(shù)和各層細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就得到了降噪后的信號(hào)，即：

(11)

通過分析可以看出，該降噪方法能夠更大程度的保留信號(hào)，去除噪聲，體現(xiàn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。

2.4 降噪評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為驗(yàn)證所提方法降噪效果的優(yōu)劣，主要從以下兩個(gè)方面分析。

一方面，對(duì)已知?jiǎng)討B(tài)特性的混沌信號(hào)，計(jì)算其信噪比SNR和均方根誤差RMSE，公式分別如下：

(12)

另一方面，對(duì)實(shí)際觀測(cè)混沌信號(hào)，從時(shí)間相關(guān)性Tcorr及空間遞歸性Rec分析，公式分別如下：

(13)

對(duì)于混沌信號(hào)，具有低頻特性，自相關(guān)函數(shù)值遠(yuǎn)大于噪聲，遞歸圖對(duì)稱且具有一定的規(guī)律性，確定性和遞歸度較大。相反，噪聲具有高頻特性，自相關(guān)函數(shù)值較小，遞歸圖雜亂無章。因此，可以通過以上指標(biāo)對(duì)降噪前后的信號(hào)進(jìn)行分析，從而反映降噪方法的性能。

3 仿真實(shí)例分析

基于以上理論，本文主要對(duì)加噪聲的Lorenz混沌信號(hào)和實(shí)際觀測(cè)太陽黑子進(jìn)行降噪分析。

3.1 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz為已知?jiǎng)討B(tài)特性的系統(tǒng)，其模型方程如下：

(14)

當(dāng)σ=10，r=28，b=8/3時(shí)，Lorenz為混沌系統(tǒng)。利用離散二進(jìn)制小波db2～db10分別對(duì)加噪20%的Lorenz混沌信號(hào)進(jìn)行6尺度小波變換，各個(gè)尺度小波系數(shù)的噪聲殘余率如表1所示。

由表1可以看出，噪聲殘余率隨著分解尺度的增加先減小后增大，這主要是由于信號(hào)中包含噪聲所致。當(dāng)分解尺度為3時(shí)，小波系數(shù)的噪聲殘余率最小。因此，采用本文方法對(duì)混沌信號(hào)降噪時(shí)，選擇db7小波，最優(yōu)分解尺度為3。

表1 不同尺度的噪聲殘余率

Tab.1 Noise residual rate in different scales

分解尺度噪聲殘余率db2db3db4db5db6db7db8db9db1010.52180.52660.52260.51400.50680.50540.50980.51610.519620.28580.26910.25730.27470.27660.26020.26950.27980.264430.18280.15260.14130.14410.14090.14060.14120.13910.142940.62890.38160.25460.30780.21790.19790.24640.17500.183953.06882.62502.61152.41652.25002.19342.25612.23492.039368.93688.88509.38299.33099.02659.32599.51289.32359.3740

分別利用基本的小波模極大值方法、小波閾值方法和本文方法對(duì)加噪20%的Lorenz信號(hào)降噪，降噪前后的相空間圖如圖 1所示：

圖1 Lorenz信號(hào)降噪相空間比較

Fig.1 Phase space comparision of Lorenz signal before and after noise reduction

當(dāng)噪聲水平分別為5%、10%、15%、20%、30%、 50%、70%、90% 和100%時(shí)，降噪后系統(tǒng)SNR和RMSE 曲線如圖2所示。

圖2 不同噪聲水平下的SNR和RMSE曲線

Fig.2 SNR and RMSE Curves under different noise levels

通過對(duì)比可以看出，本文方法能夠?qū)σ阎獎(jiǎng)討B(tài)特性的Lorenz混沌信號(hào)進(jìn)行有效的降噪，在提高信噪比的同時(shí)，降低了系統(tǒng)的均方根誤差。

3.2 太陽黑子

太陽黑子，能夠反映太陽的活動(dòng)，對(duì)地球水文、氣候的變化有著直接影響[12]。由于環(huán)境、噪聲各種因素的影響，實(shí)際觀測(cè)太陽黑子數(shù)的混沌特性不明顯，影響進(jìn)一步的研究，因此對(duì)其進(jìn)行有效的降噪具有很重要的意義。

選取1761年1月到2010年12月共3 000個(gè)太陽黑子數(shù)，利用db7小波進(jìn)行3尺度離散二進(jìn)制小波變換，分別采用基本模極大值方法、小波閾值方法和本文方法對(duì)其進(jìn)行降噪。在時(shí)間域，降噪前后太陽黑子及本文方法降噪后去除噪聲部分的自相關(guān)函數(shù)值如表2所示。

在空間域，主要是對(duì)實(shí)際觀測(cè)太陽黑子進(jìn)行遞歸分析。遞歸現(xiàn)象是確定性動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)最基本的特征，也是混沌系統(tǒng)的特點(diǎn)。取降噪前后200個(gè)數(shù)據(jù)，當(dāng)嵌入維數(shù)為5，延遲時(shí)間為1，空間信號(hào)距離為10時(shí)，進(jìn)行仿真分析，三種方法降噪前后的遞歸圖如圖3所示。

表2 自相關(guān)函數(shù)值

圖3 太陽黑子遞歸圖

Fig.3 Recursive graphs of sunspots

通過表2和圖3可以看出，采用本文方法降噪后的太陽黑子自相關(guān)性更強(qiáng)，遠(yuǎn)大于去除噪聲部分的自相關(guān)函數(shù)值，實(shí)際觀測(cè)太陽黑子的遞歸規(guī)律雜亂無章，采用降噪方法降噪后，呈現(xiàn)了一定的遞歸和確定性。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法在去除系統(tǒng)噪聲的同時(shí)，很好的展現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài)特性，從而為進(jìn)一步的研究提供了理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文根據(jù)信號(hào)和噪聲在小波變換不同尺度上有不同的表現(xiàn)特性，結(jié)合奇異譜和空間尺度相關(guān)分析，對(duì)基本模極大值降噪方法進(jìn)行了改進(jìn)。改進(jìn)降噪方法不僅能夠?qū)?shí)際觀測(cè)混沌信號(hào)進(jìn)行有效降噪，而且降噪性能穩(wěn)定，能夠很好保持信號(hào)的奇異性和光滑性。通過對(duì)Lorenz和實(shí)際觀測(cè)太陽黑子進(jìn)行仿真試驗(yàn)，并從信噪比、均方根誤差、自相關(guān)函數(shù)及遞歸圖等方面對(duì)降噪效果進(jìn)行對(duì)比，證明了本文改進(jìn)方法降噪的有效性。

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(責(zé)任編輯：傅 游)

An Improved Modulus Maximum Method for Noise Reduction of Chaotic Signals

LIU Yunxia,LIU Peichao,CHU Zhenyun,WANG Kesheng

(Engineering Training Center,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

Based on the different features between chaos and noise,an improved wavelet modulus maximum method is proposed for noise reduction of signals. Firstly,the optimal decomposition yardstick of discrete binary wavelet is determined by noise residual rate analysis in different scales. Secondly,the approximate coefficients are handled by the singular spectrum analysis in order to remove the less singular value which can character noise,while the spatial scales relevancy is used for the analysis of the wavelet coefficients in different scales in order to determine the threshold range of the wavelet modulus maximum treatment adaptively and reserve the useful signals mixed in noise and reflect the internal characteristics of chaotic system. The chaotic signals generated by Lorenz model and monthly sunspots are respectively applied for simulation analysis,the numerical experiment results confirm the advantages of the method raised in this paper,including the improved signal to noise ratio and the reduced reconstruction error of the system.

wavelet modulus maximum; singular spectrum analysis; spatial scales relevant; noise reduction

2016-01-14

劉云俠(1983—)，女，山東臨沂人，助教，碩士，主要從事非線性信號(hào)處理和智能控制的研究. E-mail：liuyunxia06@163.com

TN911

1672-3767(2016)05-0114-07