周承仙，富 巍

(1. 廈門(mén)理工學(xué)院 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024；2. 福建省高校機(jī)器人工程研究中心，福建 廈門(mén) 361024)

?

串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與研究

周承仙1,2，富 巍1,2

(1. 廈門(mén)理工學(xué)院 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024；2. 福建省高校機(jī)器人工程研究中心，福建 廈門(mén) 361024)

為直觀顯示機(jī)器人路徑規(guī)劃的優(yōu)化狀況，采用D-H法則建立連桿坐標(biāo)系和連桿參數(shù)，推導(dǎo)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，實(shí)現(xiàn)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的封閉解. 利用LabWindows/CVI編程軟件，結(jié)合OpenGL技術(shù)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解進(jìn)行了三維圖形仿真，驗(yàn)證正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，實(shí)時(shí)顯示各關(guān)節(jié)軸運(yùn)動(dòng)的角度、 角速度及姿態(tài). 仿真實(shí)驗(yàn)表明，末梢定位的誤差小于6×10-5mm. 為驗(yàn)證仿真結(jié)果的可行性，將仿真生成的路徑規(guī)劃點(diǎn)輸入到Googol GRB 3016型6自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人測(cè)試，仿真結(jié)果與實(shí)際運(yùn)行吻合.

串聯(lián)機(jī)器人； 運(yùn)動(dòng)學(xué)； 三維仿真

0 引 言

正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析在關(guān)節(jié)機(jī)器人研究中占有重要地位[1-2]. 為了能快速準(zhǔn)確地對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，優(yōu)化機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和軌跡規(guī)劃，機(jī)器人仿真是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它涉及機(jī)器人本體機(jī)構(gòu)學(xué)、 正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、 零部件建模以及三維仿真驅(qū)動(dòng)控制算法等，是一項(xiàng)具有創(chuàng)新意義和實(shí)用價(jià)值的研究課題[3-4]. 機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)一般采用齊次坐標(biāo)變換法得到并且解是唯一的，而逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)往往有多個(gè)解且分析方法較為復(fù)雜. 通常情況下，工業(yè)機(jī)器人都采用簡(jiǎn)單的機(jī)械模型來(lái)設(shè)計(jì)，以使其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題可用封閉形式來(lái)表達(dá). 用計(jì)算機(jī)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，是基于機(jī)器人理論和交互式計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)并用三維方式顯示出來(lái)，用來(lái)檢測(cè)機(jī)器人本體動(dòng)態(tài)參數(shù)和路徑規(guī)劃. 目前機(jī)器人系統(tǒng)仿真需要解決的問(wèn)題是縮小仿真與實(shí)物之間的誤差. 國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用MATLAB中的Robotics Toolbox工具箱，實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)可視化運(yùn)動(dòng)仿真[5-10]，但在實(shí)際工程應(yīng)用中其與仿真差別較大，且不方便嵌入式移植，仿真功能較弱，可擴(kuò)展性差，缺乏具體的三維場(chǎng)景支持[11]. 大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人公司都有獨(dú)自的機(jī)器人仿真系統(tǒng)，這些機(jī)器人控制系統(tǒng)或仿真軟件都是封閉式的，不利于研制初期開(kāi)發(fā)者控制算法研究和路徑優(yōu)化. 一般用戶都是通過(guò)示教來(lái)規(guī)劃路徑，示教點(diǎn)數(shù)是離散和不均勻的，故路徑規(guī)劃不平穩(wěn)，精確度不高.

本文借助LabWindows/CVI與OpenGL技術(shù)把正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解和軌跡規(guī)劃算法融合在一起，利用D-H法建立6軸機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，遞推正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，使用LabWindows和OpenGL的軟件編程進(jìn)行機(jī)械臂三維圖形仿真，驗(yàn)證機(jī)器人數(shù)學(xué)模型求解正確性和路徑優(yōu)化. 將上位機(jī)編寫(xiě)仿真后的路徑規(guī)劃程序移植到其他嵌入式控制器上，避免在調(diào)試中發(fā)生失控造成機(jī)械臂相互碰撞甚至發(fā)生事故，實(shí)現(xiàn)輸出不同機(jī)器能識(shí)別的離線程序.

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H模型建立

Googol GRB 3016型6自由度機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)為關(guān)節(jié)1，2軸線垂直相交，關(guān)節(jié)2，3軸線平行，關(guān)節(jié)3，4軸線垂直相交，關(guān)節(jié)4，5，6軸線交于一點(diǎn)，符合Pieper原則，滿足封閉解的條件[12]. 如圖 1(b) 所示，建立連桿坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)系中各軸的方向. 其中，di為兩連桿的相對(duì)位置；θi為兩連桿法線的夾角；ai為公發(fā)線長(zhǎng)度；αi為關(guān)節(jié)扭角，連桿參數(shù)如表 1 所示.

圖1 機(jī)器人本體及連桿坐標(biāo)系

表1 機(jī)器人連桿參數(shù)

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程正解

通過(guò)相鄰機(jī)械臂坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，得到機(jī)械臂末端位置與姿態(tài)，即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正向解[13]，由連桿坐標(biāo)變化矩陣(1)得到每一個(gè)連桿和它相鄰連桿變換矩陣為0T1～5T6.

(1)

把上述各矩陣相乘得0T6=

(2)

計(jì)算正運(yùn)動(dòng)方程的中間過(guò)程如下：關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3平行，先求出1T3,0T3,3T6，最后得出0T6，可得機(jī)械手的變換矩陣

(3)

式中：

其中, si=sinθi, ci=cosθi, s23=sin(θ2+θ3), c23=cos(θ2+θ3).

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程逆解

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是路徑規(guī)劃與優(yōu)化的重要問(wèn)題[14-16], 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解解法主要有代數(shù)法、 幾何法和數(shù)值法[17-18]. 但由于機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的復(fù)雜性和多樣性，無(wú)法建立通用的解析算法[19]. 根據(jù)機(jī)器本體機(jī)構(gòu)不同，建立坐標(biāo)系不同，實(shí)現(xiàn)的算法也不一樣. 逆解是從已知位姿[n o a p]求關(guān)節(jié)變量[θ1θ2θ3θ4θ5θ6]. 本文采用分離變量法，在方程兩邊乘變換矩陣逆矩陣，依次解出所有角度未知數(shù).

3.1 關(guān)節(jié)角度θ1和θ3

計(jì)算

(4)

由式(4)兩邊的元素(2,4)相等，得到

(5)

由式(4)兩邊的元素(1,4)和(3,4)相等，聯(lián)立得到方程組

(6)

式(6)平方相加化簡(jiǎn)得a3c3+d4s3=k,其中

(7)

3.2 關(guān)節(jié)角度θ2和θ4

計(jì)算

(8)

由式(8)兩邊的元素(1,4)和(2,4)相等，聯(lián)立得到方程組

m1=c1px+s1py-a1, m2=a3+a2c3,

m3=-d4-a2s3,

(9)

求得θ2+θ3=atan(m2pz-m1m3,m3pz+m1m2)，θ2=θ23-θ3，根據(jù)θ1,θ3各有兩種解，可得θ2可能存在4組解.

由式(8)兩邊的元素(1,3)和(3,3)相等，聯(lián)立得到方程組

(10)

3.3 關(guān)節(jié)角度θ5和θ6

計(jì)算

(11)

由式(11)兩邊的元素(1,3)和(3,3)相等，聯(lián)立得到方程組

(12)

由式(11)兩邊的元素(2,1)和(2,2)相等，聯(lián)立得到方程組

(13)

逆解可能存在多解、 無(wú)解、 無(wú)效解. 對(duì)于實(shí)時(shí)控制器來(lái)說(shuō)，逆解計(jì)算的時(shí)間和空間復(fù)雜度較高，實(shí)際路徑規(guī)劃中，機(jī)械臂在多解情況下只能執(zhí)行一組解. 在直角坐標(biāo)系下路徑有連續(xù)性，關(guān)節(jié)坐標(biāo)系也具備連續(xù)性，根據(jù)各關(guān)節(jié)速度相鄰角度值不超過(guò)一定閾值，再借助工作空間限制、 避免撞擊、 總體行程最短來(lái)確定唯一解.

4 三維建模與正逆解驗(yàn)證

Googol GRB 3016型機(jī)器人是6自由度串聯(lián)機(jī)器人，機(jī)械本體包括回轉(zhuǎn)底座、 大臂、 小臂和手腕. 采用LabWindows/CVI進(jìn)行上位機(jī)編程，結(jié)合OpenGL技術(shù)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制算法和實(shí)時(shí)三維圖形仿真. OpenGL是一個(gè)性能優(yōu)良通用的三維圖形庫(kù)，調(diào)用靈活、 與開(kāi)發(fā)軟件平臺(tái)無(wú)關(guān)，而LabWindows是以C語(yǔ)言為開(kāi)發(fā)環(huán)境，可利用C語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、 處理、 控制算法實(shí)現(xiàn)和顯示，并可將控制算法文本語(yǔ)言移植到嵌入式中.

4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)三維建模系統(tǒng)

先利用OpenGL技術(shù)建立機(jī)械臂三維模型，自底向上繪制各部分結(jié)構(gòu)，仿真控制算法由Labwindows/CVI編程實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂控制，對(duì)于焊接機(jī)器人來(lái)說(shuō)，由其他傳感器，如2D激光距離傳感器獲得在直角坐標(biāo)系下路徑規(guī)劃，經(jīng)過(guò)初步數(shù)據(jù)處理后作為機(jī)器人末梢位姿參數(shù). 先判斷是否在機(jī)械本體工作空間內(nèi)，并求各關(guān)節(jié)角度唯一解，實(shí)時(shí)顯示各軸的動(dòng)態(tài)參數(shù)，便于對(duì)關(guān)節(jié)軸任意時(shí)刻姿態(tài)分析. 三維仿真圖可以從不同角度觀看路徑規(guī)劃的可行性，并顯示各關(guān)節(jié)軸的角度和角速度，以便優(yōu)化姿態(tài)平穩(wěn)性控制，評(píng)估驅(qū)動(dòng)電機(jī)本身的物理特性是否能夠?qū)崿F(xiàn). 仿真系統(tǒng)根據(jù)逆解結(jié)果實(shí)時(shí)繪制出機(jī)器人手臂三維圖形，并顯示直角坐標(biāo)和關(guān)節(jié)坐標(biāo), 便于研究者直觀地判斷機(jī)械臂多解和奇異點(diǎn)，驗(yàn)證逆解算法的合理性與實(shí)時(shí)性，軟件界面如圖 2 所示.

圖2 三維圖形仿真界面

4.2 正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證與理論誤差

當(dāng)機(jī)器位于初始姿態(tài)(θ1=0°,θ2=90°,θ3=0°,θ4=180°,θ5=0°,θ6=0°)得到

(14)

變換矩陣0T6與GRB3016機(jī)器人本體初始位姿一致.

在逆解驗(yàn)證中，以末梢軌跡為螺旋上升曲線求各關(guān)節(jié)角曲線，末梢運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

(15)

式中：T為運(yùn)動(dòng)一個(gè)圓周的周期，t為總仿真時(shí)間. 圖 3 為直角坐標(biāo)下末梢運(yùn)動(dòng)軌跡曲線.

圖3 軌跡規(guī)劃曲線

末梢運(yùn)動(dòng)為螺旋上升軌跡時(shí)，得到對(duì)應(yīng)各關(guān)節(jié)角度與時(shí)間的曲線關(guān)系如圖 4 所示.

利用機(jī)器人三維模型仿真系統(tǒng)，將逆解結(jié)果代入正運(yùn)動(dòng)方程得到末梢位置與原軌跡對(duì)比，分別得到在笛卡爾坐標(biāo)系中X軸、Y軸、Z軸方向的理論誤差，如圖 5 所示.

圖4 各關(guān)節(jié)軸運(yùn)動(dòng)曲線

圖5 路徑規(guī)劃的理論誤差

4.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與誤差

為驗(yàn)證仿真系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用的可行性，設(shè)置機(jī)器人末梢水平移動(dòng)，即末梢沿Y軸負(fù)方向移動(dòng)800 mm，通過(guò)該仿真系統(tǒng)得到路徑規(guī)劃點(diǎn)保存為Googol機(jī)器人格式的TXT文件，移植到Googol機(jī)器人控制器目錄下，啟動(dòng)機(jī)器人工作，電機(jī)和伺服器均為三洋公司產(chǎn)品，上位機(jī)通過(guò)串口可以與電機(jī)伺服器通信，實(shí)時(shí)讀取各軸電機(jī)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)編碼器數(shù)值，實(shí)驗(yàn)表明，仿真得到的規(guī)劃路徑與實(shí)際運(yùn)行吻合. 圖 6 為關(guān)節(jié)軸角度跟蹤曲線，圖 7 為瞬時(shí)誤差，誤差主要由控制輸出電機(jī)加速度偏小，或控制周期太小引起的，適當(dāng)調(diào)整這兩個(gè)參數(shù)可以減小誤差，但最終控制系統(tǒng)延后幾個(gè)控制節(jié)拍可達(dá)到角度精準(zhǔn)定位.

圖6 關(guān)節(jié)軸角度跟蹤曲線

圖7 關(guān)節(jié)角跟蹤瞬時(shí)誤差

5 結(jié) 論

本文從6軸機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)算法理論推導(dǎo)著手，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與仿真，根據(jù)D-H法則建立了6軸機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型. 并根據(jù)連桿坐標(biāo)系和連桿參數(shù)計(jì)算相應(yīng)坐標(biāo)變換矩陣，利用矩陣變換求出末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)方程的正逆解問(wèn)題. 上位機(jī)采用LabWindows實(shí)現(xiàn)控制算法、 正逆解求解、 路徑規(guī)劃等，結(jié)合OpenGL技術(shù)實(shí)現(xiàn)三維顯示，實(shí)時(shí)顯示6軸機(jī)器人三維圖形，顯示各軸運(yùn)動(dòng)學(xué)的動(dòng)態(tài)參數(shù)，如角度、 角速度和姿態(tài)等參數(shù)，從而可以估算各軸所需驅(qū)動(dòng)電機(jī)大小. 將路徑規(guī)劃的仿真數(shù)據(jù)移植到機(jī)器人中驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)控制算法從仿真到控制實(shí)物的可行性，在控制算法中設(shè)置時(shí)間測(cè)試點(diǎn)，測(cè)量完成一次逆解需要的時(shí)間，保證逆解的實(shí)時(shí)性. 動(dòng)態(tài)顯示各軸位姿，根據(jù)機(jī)械本體約束，可以得到機(jī)器人有效工作空間，協(xié)助研制人員了解機(jī)器人工作空間的形態(tài)和極限，驗(yàn)證機(jī)械機(jī)構(gòu)合理性與控制算法的可行性，便于機(jī)器人本體研制、 控制參數(shù)調(diào)試以及在焊接和噴涂應(yīng)用中路徑規(guī)劃等問(wèn)題.

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Kinematic Analysis and Research of Serial Robot

ZHOU Cheng-xian1,2, FU Wei1,2

(1. School of Electric Engineering & Automation，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China；2. Robotics Engineering Research Center in the Universities of Fujian Province, Xiamen 361024, China)

In order to display the optimization condition of robot path planning visually, D-H rule was adopted to establish the link coordinate frame and link parameters, then the forward kinematics equation can be derived and the closed-form solution of inverse kinematics equation can be realized. In addition, by conducting 3D graphical simulation for the kinematics inverse and forward solutions using LabWindows/CVI programming software, the accuracy and real-time performance of positive and athwart kinematics were verified, and thus the angle, angular velocity, and posture of each joint axis movement can be real-time displayed. The simulation results show that peripheral location error is less than 6×10-5mm. To verify the feasibility of simulation results, the path planning points produced in simulation were input into Googol GRB 3016 articulated robot with 6 degrees of freedom for pilot run, indicating that the simulation results are consistent with practicle computational results.

serial robot； kinematics； three-dimensional stimulation

2016-02-16 基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014J01254)； 福建省教育廳A類項(xiàng)目(JA14232)； 福建省科技計(jì)劃重大重點(diǎn)項(xiàng)目(2014H0048)

周承仙(1981-)，男，碩士，實(shí)驗(yàn)師，主要從事機(jī)器人應(yīng)用與光電檢測(cè)技術(shù)的研究.

1673-3193(2016)05-0522-08

TP242.3

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.016