王苗苗，楊 晉

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030024)

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Banach空間中非擴(kuò)張映像的一般正則化方法

王苗苗，楊 晉

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030024)

研究了一致光滑的 Banach 空間中非擴(kuò)張映像的一般正則化方法. 利用 Hilbert 空間中的正則化方法迭代格式和一致光滑Banach空間中的基本結(jié)論，在非擴(kuò)張映像T不動(dòng)點(diǎn)集Fix(T) 非空的條件下，證明了在 Banach 空間中, 一般正則化方法強(qiáng)收斂到非擴(kuò)張映像的T唯一不動(dòng)點(diǎn). 最后, 通過(guò)改變算法的迭代格式, 在條件更弱的條件下，證明了算法的強(qiáng)收斂性. 此類(lèi)正則化算法可以解決管理科學(xué)、 醫(yī)學(xué)圖像處理中的一類(lèi)變分不等式問(wèn)題.

非擴(kuò)張映像; 一般正則化方法; Banach空間; 不動(dòng)點(diǎn)

0 引 言

設(shè)X是一實(shí)的 Banach 空間，C是Banach 空間中閉凸子集.T∶C→C是非擴(kuò)張映像，即滿足‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，?x，y∈C.f∶C→C是壓縮映像，即當(dāng)ρ∈(0，1) 時(shí)，‖f(x)-f(y)‖≤ρ‖x-y‖，?x，y∈C. 用Fix(T) 來(lái)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集，即Fix(T)={x∈C;x=Tx}. 本文假設(shè)不動(dòng)點(diǎn)Fix(T)≠?.

1967年，Halpern[1]介紹了如下迭代過(guò)程

?x0∈C，xn+1=αnu+(1-αn)Txn，?n≥0，

(1)

式中：u∈C，αn?(0，1)， 并且在Hilbert空間中證明了xn強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn).

2000年，Moudafi[2]介紹了如下粘滯迭代算法

?x0∈C，xn+1=αnf(xn)+(1-αn)Txn，?n≥0，

(2)

式中：αn?(0，1)，f是一壓縮映像. 在Hilbert空間中，Lions[3]證明了xn強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn).

2004年，Xu將上述迭代算法(1)和(2)分別推廣到了Banach空間，且保證了算法的強(qiáng)收斂性[4]. 2010年他又介紹了正則化迭代算法[5]

xn+1=T(αnu+(1-αn)xn)，

(3)

滿足下列條件

i) αn→0(n→∞);

Xu在Hilbert空間和Banach空間分別證明了迭代算法(3)強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn).

2014年，Yang[6]進(jìn)一步給出了Hilbert空間中的一般正則化算法

xn+1=T(αnf(xn)+(1-αn)xn)，

(4)

并且在上述條件i)、ii)和iii)下，在Hilbert空間中證明了算法的強(qiáng)收斂性.

受上述研究成果的啟發(fā)，本文首先將算法(4)進(jìn)一步推廣到Banach空間，其次給出一個(gè)條件限制更少的迭代算法:xn+1=λxn+(1-λ)T(αnf(xn)+(1-αn)xn)， 并且在Banach空間中證明兩種算法的強(qiáng)收斂性 .

1 預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)X是一個(gè)Banach空間，所用記號(hào)如下：

1) ?表示弱收斂，→ 表示強(qiáng)收斂;

2)ωw(xn) 表示{xn}的弱極限，即：ωw(xn)={x|?{xnk}?{xn}滿足xnk?x}.

首先回顧Banach空間的一些基本的知識(shí).

定義 1設(shè)X是一個(gè)Banach空間:

iv) 如果 J(x)=x*∈ X*∶〈x ，x*〉=‖x‖2=‖X*‖2，對(duì)?x∈X，由Hahn-Banach延拓定理知J(x)≠?，則稱(chēng)J∶X→ X*是正規(guī)對(duì)偶映像.

其次，為證明本文的主要結(jié)果需要用到如下引理和結(jié)論.

引理 1[7]設(shè)J是一致光滑的Banach空間X中的一正規(guī)對(duì)偶映像，對(duì)?x，y∈X， 有下式成立

(5)

‖x+y‖2=‖x‖2+2〈y，J(x+y)〉.

(6)

引理 2[8]設(shè){an}是非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足

an+1≤(1-γn)an+γnδn，n≥0，

(7)

式中：(γn)?(0，1)，δn?R使得

i) γn→0 (n→ ∞);

定義 2設(shè)C是Banach空間X中的非空閉凸子集，我們考慮C中的子集D和C到D的一個(gè)映射Q.

i) 若對(duì)x∈D有Q(x)=x成立，則稱(chēng)Q是收縮的.

ii) 當(dāng)Q(x+t(x-Qx))=Qx且對(duì)?x+t(x-Qx)∈C都成立時(shí)，稱(chēng)Q是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮的，其中x∈C，t≥0.

引理 3[9-11]設(shè)X是一致光滑的Banach空間，則Q∶C→D是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮當(dāng)且僅當(dāng)?x∈C，?Y∈D使得

〈x-Qx，J(y-Qx)〉≤0.

(8)

引理 5[14]設(shè)X是Banach空間，xn和yn是X中有界序列，滿足

xn+1=λnxn+(1-λn)yn，

(9)

引理 6[5]設(shè)X是Banach空間，C?X 非空閉凸，T∶C→C 是非擴(kuò)張映像，并設(shè)Fix(T)≠?，迭代格式

zt=T(tu+(1-t)zt).

(10)

2 主要結(jié)果

本節(jié)討論迭代算法(4)在Banach空間中的強(qiáng)收斂性，并給出一個(gè)限制條件更少的迭代算法.

設(shè)C是Banach空間X中的非空閉凸子集，T∶C→C是非擴(kuò)張映像，f∶C→C是壓縮映像，壓縮系數(shù)為ρ∈(0，1). 任給初始點(diǎn)x0∈C，αn∈(0，1)， 迭代算法為

xn+1=T(αnf(xn)+(1-αn)xn)，n≥ 0.

(11)

定理 1設(shè)X是一致光滑的Banach空間，假設(shè)Fix(T)≠?，且

i) αn→0(n→ ∞);

則序列{xn}→Q(f)，其中Q∶C→Fix(T)是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮.

證明1) 證明{xn}是有界的. 對(duì)?p∈Fix(T)，

‖xn+1-p‖=‖T(αnf(xn)+(1-αn)xn)-p‖≤‖αnf(xn)+(1-αn)xn-p‖≤

‖αn(f(xn)-p)+(1-αn)(xn-p)‖≤αn‖f(xn)-p‖+(1-αn)‖xn-p‖≤

αn‖f(xn)-f(p)‖+αn‖f(p)-p‖+(1-αn)‖xn-p‖≤

αnρ‖xn-p‖+(1-αn)‖xn-p‖+αn‖f(p)-p‖≤

(12)

由數(shù)學(xué)歸納法易證，

所以{xn} 是有界的，f(xn) 也是有界的.

2) 證明‖xn+1-xn‖→0，(n→∞).

‖xn+1-xn‖=‖T(αnf(xn)+(1-αn)xn)-T(αn-1f(xn-1)+(1-αn-1)xn-1)‖≤

‖αnf(xn)+(1-αn)xn-αn-1f(xn-1)-(1-αn-1)xn-1‖≤

‖αn(f(xn)-f(xn-1))+(αn-αn-1)(f(xn-1)-xn-1)+(1-αn)(xn-xn-1)‖≤

αnρ‖xn-xn-1‖+(1-αn)‖xn-xn-1‖+(αn-αn-1)‖f(xn-1)-xn-1‖≤

[1-αn(1-ρ)]‖xn-p‖+(αn-αn-1)‖f(xn-1)-xn-1‖.

(13)

由{xn} 和f(xn)有界性知

所以式(13)可以寫(xiě)作

‖xn+1-xn‖≤[1-αn(1-ρ)]‖xn-p‖+

由引理2可知

‖xn+1-xn‖→0，(n→∞).

3) 證明‖xn-Txn‖→0，(n→∞).

‖xn-Txn‖=

‖T(αn-1f(xn-1)+(1-αn-1)xn-1)-Txn‖≤

‖αn-1f(xn-1)+(1-αn-1)xn-1-xn‖≤

αn-1‖f(xn-1)-xn-1‖+‖xn-xn-1‖.

(14)

由αn→0 和‖xn+1-xn‖→0，可以斷定‖xn-Txn‖→0，(n→∞).

設(shè)zt=T(tf(zt)+(1-t)zt)，由引理6容易驗(yàn)證zt是有界的，又因?yàn)閧xn} 是有界的，所以可以找一個(gè)常數(shù)β> 0， 使得下式成立，

‖xn-Txn‖+2‖zt-Txn‖+‖f(xn)-xn‖+

‖zt-xn‖2≤ β，

(15)

式中：n，t∈(0，1).

于是有

‖zt-xn‖2≤(‖zt-Txn‖+‖xn-Txn‖)2=

‖zt-Txn‖2+‖xn-Txn‖(‖xn-Txn‖+2‖zt-Txn‖)≤

‖T(tf(zt)+(1-t)zt)-Txn‖2+β‖xn-Txn‖≤

‖t(f(zt)-xn)+(1-t)(zt-xn)‖2+β‖xn-Txn‖≤

β‖xn-Txn‖≤(1-t)2‖(zt-xn)‖2+β‖xn-Txn‖+2t〈f(zt)-xn，J(zt-xn)〉+

(16)

由于J在X的有界子集上一致連續(xù)，所以，

st(f(zt)-xn)-J(zt-xn))‖→0，(t→0) .

(17)

因此，式(16)可以寫(xiě)作

‖zt-xn‖2≤(1-t)2‖(zt-xn)‖2+

2t〈f(zt)-xn，J(zt-xn)〉+β‖xn-Txn‖+

2tβεt=(1+t)2‖(zt-xn)‖2+2t〈f(zt)-

zt，J(zt-xn)〉+β‖xn-Txn‖+2tβεt.

(18)

所以有

(19)

(20)

以及

(21)

由于J在任何有界集上一致連續(xù)，所以上述兩極限可以交換次序，根據(jù)引理6不難驗(yàn)證zt→x*， 因此有

5) 證明xn→x*=Q(f).

‖xn+1-x*‖2=‖T(αnf(xn)+(1-αn)xn)-x*‖2≤

‖αn(f(xn)-x*)+(1-αn)(xn-x*)‖2=

(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈f(xn)-x*，J(xn-x*)〉+

(22)

令

sαn(f(xn)-x*))-J(xn-x*)‖.

(23)

再由J的一致連續(xù)性，可知:εn→0，n→∞.

所以有

‖xn+1-x*‖2≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈f(xn)-f(x*)，J(xn-x*)〉+

2αn〈f(x*)-x*，J(xn-x*)〉+2αnεn‖f(xn)-x*‖≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+

2αn〈f(x*)-x*，J(xn-x*)〉+2αn‖f(xn)-f(x*)‖‖xn-x*‖+2αnεn‖f(xn)-x*‖≤

(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αn〈f(x*)-x*，J(xn-x*)〉+2αnρ‖xn-x*‖2+2αnεn‖f(xn)-x*‖≤

[1-αn(1-2ρ)]‖xn-x*‖2+2αn(〈f(x*)-x*，J(xn-x*)〉+εn‖f(xn)-x*‖)=

(24)

由f(xn)有界性知

所以式(24)可以寫(xiě)作

an+1≤(1-γn)an+γnδn.

容易驗(yàn)證

應(yīng)用引理2可得xn→x*.

下面介紹一個(gè)條件限制更小的一個(gè)迭代算法 (即: 上述第三個(gè)條件不需要)，其迭代格式如下

xn+1=λxn+(1-λ)T(αnf(xn)+(1-αn)xn)，

(25)

式中：λ∈ (0，1).

定理 2設(shè)X是一致光滑的Banach空間，假設(shè)Fix(T)≠?，又設(shè)

i) αn→0(n→∞);

則序列{xn}→Q(f)，其中Q∶C→Fix(T)是太陽(yáng)非擴(kuò)張收縮.

證明1) 證明{xn} 和{f(xn)} 是有界的. 證明方法類(lèi)似于定理1.

2) 證明‖xn-Txn‖→0，(n→∞).

yn=T(αnf(xn)+(1-αn)xn)，設(shè)

xn+1=λxn+(1-λ)yn.

‖yn+1-yn‖=‖T(αn+1f(xn+1)+(1-αn+1)xn+1)-T(αnf(xn) +(1-αn)xn)‖=

‖(αn+1-αn)(Tf(xn+1)-Txn+1)+αn(f(xn+1)-f(xn)) +(1-αn)(Txn+1-Txn)‖≤

(αn+1-αn)‖Tf(xn+1)-Txn+1‖+αn‖f(xn+1)-f(xn)‖ +(1-αn)‖Txn+1-Txn‖≤

(αn+1-αn)‖f(xn+1)-xn+1‖+αn‖f(xn+1)-f(xn)‖ +‖xn+1-xn‖.

(26)

(27)

引理5可以保證

所以

‖xn-Txn‖≤‖xn-yn‖+‖yn-Txn‖≤

‖xn-yn‖+αn‖Tf(xn)-Txn‖≤

‖xn-yn‖+αn‖f(xn)-xn‖≤

‖xn-yn‖+αnM.

(28)

所以證得‖xn-Txn‖→0，(n→∞).

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General Regularization Methods for Nonexpansive Mappings in Banach Spaces

WANG Miao-miao, YANG Jin

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

The general regularization method for nonexpansive mappingsTin the uniformly smooth Banach space was investigated. According to the iterative algorithm for regularization method in the Hilbert space and the basic conclusion of the uniformly smooth Banach space, on condition that the setFix(T) of fixed points ofTis nonempty, the algorithm converge to a fixed point of non-expansive mappingsTstrongly in the Banach space. Finally, the algorithm generates a strong convergence sequence when the iterative algorithm is changed under less restrictive assumptions. The general regularization method is robust and flexible in some variational inequalities problems of management science and medical image processing.

nonexpansive mapping; general regularization method; Banach spaces; fixed point

2016-01-08 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11401422)

王苗苗(1990-)，女，碩士生，主要從事非線性泛函分析的研究.

1673-3193(2016)05-0451-05

O221.5

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.003