江蘇南京市天正小學 王九紅

數(shù)學/名師課堂

例談探究教學的教材內容加工策略

江蘇南京市天正小學 王九紅

王九紅 中學高級教師，江蘇省南京市瑯琊路小學教育集團天正小學校長，先后任教于鄉(xiāng)村中、小學校，縣城實驗小學和省城名校。

志于學習，先后獲得文學學士、教育管理專業(yè)碩士和教育學數(shù)學課程與教學論專業(yè)博士學位?，F(xiàn)為江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教育學會課堂教學研究中心理事長，江蘇省教育學會學校管理專業(yè)委員會常務理事，南京師范大學碩士生導師，南京市中青年拔尖人才，江蘇省小學數(shù)學特級教師。

課堂教學多次獲省市一等獎，多次應邀在國、省、市級教研活動中作課和講座。先后主持全國教育科學規(guī)劃教育部重點課題1項，省級重點和立項課題4項。在各種報刊發(fā)表文章100余篇，其中全國中文核心期刊近20篇，人大復印報刊資料全文轉載10篇。出版專著《小學數(shù)學教學智慧研究》，參編《教育經(jīng)濟學教程》《課程教學理念與實踐引領》等書。

“教什么”和“怎么教”是教師專業(yè)研究的兩個主要問題。從前者看，現(xiàn)有教科書制度使教師的力主要投放于教材之上——研究教材，加工教材，充分發(fā)揮教材作用，促進學生素養(yǎng)提高；從后者看，雖然教無定法，但就當前教改深化的思路和方向看，探究式教學是一種值得提倡且須深入研究的主題。精心加工教材內容與采取探究的方式進行教學，看似分屬于“教什么”和“怎么教”兩個方面，實質上兩者是一個有機的整體。從某種程度上可以說，探究就是教材加工的一種方式，教材加工過程就是學生探究和建構知識的過程。下面結合具體案例就探究式教學中，教材內容的加工策略談幾點想法。

一、凸顯概念核心，化陳述為探究

教材中有許多概念認識方面的內容，包括數(shù)（如分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等）的認識、圖形（如長方形、正方形、平行四邊形、角、三角形、圓、長方體和正方體等）的認識、圖形變換（如平移、旋轉、對稱、縮放等）的認識，等等。這些內容大多是起始概念、基本概念，教材編寫時往往采用陳述的方式，具體為：呈現(xiàn)生活中的相關事物→抽象為數(shù)學概念→闡述概念相關因素與特征→強化理解。對于這種類型的內容，我們可以采用化教材陳述為課堂探究的策略進行教學。下面，以人教版數(shù)學六年級上冊《扇形的認識》為例談談具體方法。

【案例1】不標明圓心

1.生活引入

課件出示生活中常見的扇形物體。

師：這些物體分別叫什么？（扇貝、扇形藻、折扇）

這些物體的名稱有什么共同點？（都有一個“扇”字）

在數(shù)學上，我們把這類扇子形狀的圖形稱為“扇形”，今天我們就來“認識扇形”。（板書課題）

2.操作探究

師：請拿出材料袋里大小不同的圓形紙片（注：沒標圓心），你能用它們制作出扇形嗎？（學生小組合作，制作扇形）

3.交流討論

學生展示并介紹自己制作的“扇形”，可能出現(xiàn)以下圖形：

師：這些圖形都是扇形嗎？（學生發(fā)言，表明各自觀點）

到底什么樣的圖形才是扇形？扇形應該具備什么特征？

4.全面認識

師：請大家閱讀教材，你知道了些什么？（學生匯報：認識了扇形各部分名稱：弧和圓心角。知道扇形是由一條圓弧和過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。）

……

《數(shù)學辭海（第1卷）》中對“扇形”的定義是：指由一條圓弧和過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形?；谛W生的認知水平和特點，對此定義許多版本的教材都沒有明確給出，而是采用了描述的方式：“像上面的圖形就是扇形?！边@種籠統(tǒng)的描述往往會使學生抓不住概念的核心要素，不能形成精確的概念表象。筆者就不止一次地看到學生甚至教師錯將下圖中由弧AB與頂點不在圓心的角圍成的圖形當成了扇形。

為了凸顯扇形概念的核心特征，上述案例的設計就改變了一般教師的陳述方式，而是有針對性地將凸顯“圓心角的頂點是圓心”這一核心要素作為探究活動的重點，具體方式就是提供不標明圓心的圓紙片讓學生折、剪或畫出扇形。由于學生對扇形的初步認識遷移于生活經(jīng)驗，所以很難認識到扇形兩條邊的交點必須在圓心上。所以制作出來的扇形徒有扇形的外形，而無扇形之實。在此基礎上，再通過比較各種“扇形”和閱讀教材，使學生抓住了扇形概念的核心要素——圓心角的頂點是圓心。

化陳述為探究的要旨在于教師要秉持知識建構的觀點，巧妙地將概念特征的靜態(tài)呈現(xiàn)變?yōu)閯討B(tài)的知識形成過程，進而將這一過程與學生探究活動相結合，使探究的過程成為學生知識建構和獲得的過程。

二、融通知識共性，探究知識系統(tǒng)

【案例2】連加的數(shù)不管位置和運算順序如何變，結果都相等——蘇教版數(shù)學四年級上冊《加法的交換律與結合律》教學片段

1.解答例題

師：你能提出什么問題？（跳繩的有多少人？一共有多少人在運動？）

會解答這兩個問題嗎？（學生列式解答）

你能說出列式的道理嗎？先算什么，再算什么？

根據(jù)學生回答，教師整理并板書：

28+17=17+28，（28+17）+23=28+（17+23）。

2.探索規(guī)律

師：仔細觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（交換兩個加數(shù)的位置，和不變；三個數(shù)相加，先加前兩個數(shù)再加第三個數(shù)的和與先加后兩個數(shù)再與第一個數(shù)相加的和相等。）

你還能舉出這樣的例子嗎？能舉得完嗎？那你能用自己喜歡的方式表示出這兩個規(guī)律嗎？[a+b=b+a;（a+b）+c= a+（b+c）]

3.比較深化

師：大家比較一下加法交換律和加法結合律，它們有什么相同和不同之處？什么變了？什么沒變？（交換律變化的是加數(shù)的位置，結合律變化的是運算的順序，算式的結果沒變。）

大家看看下面的○中可以填“=”嗎？

觀察上面的算式你有什么發(fā)現(xiàn)？（只要三個數(shù)相加，不管位置和運算順序如何變化，結果都不變。）

4.拓展規(guī)律

師：如果不只是三個數(shù)相加，而是四個或是更多的數(shù)相加，你能得出什么規(guī)律？（只要是加法，不管有多少個數(shù)，也不管位置和運算順序如何變化，結果都不變。）

“只要是加法，不管有多少個數(shù)，也不管位置和運算順序如何變化，結果都不變?！睂W生發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律較之于教材呈現(xiàn)的加法交換律和結合律更具普遍性。實際上，這反映的就是加法運算的本源——合并。合并的基本方法有兩種：一是“合并后重數(shù)”，另一是“從一個加數(shù)開始往后數(shù)”。顯然，第一種方式與順序無關，后一種方式涉及順序的問題，即誰作為基礎數(shù)，誰作為往后數(shù)的數(shù)。從抽象度的角度看，學生探究出：“只要是加法，不管有多少個數(shù)，也不管位置和運算順序如何變化，結果都不變。”這個規(guī)律較之于加法交換律和結合律抽象度更高，因為它舍棄了“順序”，所以具有更廣泛的概括力。

教材通常都是一個知識點一個知識點地順次進行編寫的，許多分散編寫的知識點并沒有有機地串聯(lián)起來。布魯納在《教育過程》中指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結構把它聯(lián)在一起，那它多半會是一種被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有可憐的短促壽命?！睌?shù)學知識聯(lián)系起來，形成系統(tǒng)，這是知識發(fā)生、發(fā)展的過程。從教學的角度看，這是一個建構的過程，這種建構過程有助于學生深度而系統(tǒng)地理解知識，形成良好的認知結構。因此，數(shù)學知識系統(tǒng)的建構既是探究教學的重要內容與目標，也是探究教學的開展方式。

小學數(shù)學教材中有許多分散的知識可以建構成知識系統(tǒng)，關鍵在于我們對這些知識的深刻理解和共性的把握。例如，正方形、長方形、平行四邊形、菱形、圓形可以通過“繞中心旋轉180°后重合”這一屬性來建構知識系統(tǒng)——中心對稱圖形。倍數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)（折數(shù)、成數(shù)）和比可以通過兩者之間的份數(shù)關系統(tǒng)整于一體。這樣，許多的除法問題、分數(shù)（百分數(shù)、折數(shù)、成數(shù)）問題和比例問題都可以打通，從而實現(xiàn)以簡馭繁、舉一反三之功效。對數(shù)學知識的共性把握的重要方式之一就是采用弱抽象，即舍去知識的部分屬性和特征。

三、協(xié)商解法，在探究中合作建構

從知識類型看，數(shù)學問題的解決屬于程序性知識。問題解決的過程是學生主動尋求解題方法的過程，這種尋求既基于獨立的思考，也需要老師和同伴的幫助。師生的互動、同伴的互助不僅能激發(fā)思維的活力，產(chǎn)生創(chuàng)新的火花，而且能使學生學會與人交往，形成合作的意識和能力。小學階段的問題解決可以分為兩種類型：一種是根據(jù)已知條件運用數(shù)學知識和邏輯規(guī)則進行推演從而得到必然結果的問題。在小學階段這種問題占大部分，包括各種計算解決的問題、判斷問題、推理問題等。另一種是方案設計問題。這種問題的答案不唯一，標準是滿足題目要求。前一種問題解決遵循的是知識邏輯，如法則、公式、定理等，判斷解法正確與否的標準是客觀的，其探究教學過程是一種知識建構的過程；后一種問題解決遵循的是共同約定原則，判斷方案優(yōu)劣的標準是多數(shù)人的認可，其探究教學過程是一種社會建構過程。前者的研究已經(jīng)很多，下面通過《用數(shù)對確定位置》的教學來著重闡述后一種問題的探究教學。

【案例3】探究約定的合理性

1.情境引入

出示問題情境圖。（如下圖）

師：誰能告訴大家，小軍坐在什么位置？

（學生會有不同的描述，如小軍坐在第4組第3個；小軍坐在第3排第4個；小軍在第3排第3行……）

師：為什么同樣一個位置會有這么多不同的說法？怎樣才能正確、簡明地說出小軍的位置呢？（板書：確定位置）

2.合作約定

（1）介紹“列”和“行”。

師：通常把豎排叫作列，橫排叫作行。

（2）分別約定“列”和“行”的排列方向。

師：為什么行、列的名稱統(tǒng)一了，大家對小軍位置的說法還有不同呢？怎么辦？

（集體商議：一般情況下，確定第幾列要從左向右數(shù)，確定第幾行要從前向后數(shù)。）

（3）約定“列”和“行”的先后順序。

師：現(xiàn)在小軍位置的說法應該相同了吧？（還有兩種說法）

看來還要再約定“列”和“行”的先后順序，那么誰先誰后呢？（先列后行）

3.用數(shù)對確定位置

師：現(xiàn)在小軍位置的說法終于統(tǒng)一了，誰能表示得更簡潔些呢？

（可能出現(xiàn)（4,3）；4-3；4,3；……）

大家的這些辦法都有道理，數(shù)學家采用的就是你們表示方法中的一種：（4,3）。

……

許多老師認為像《確定位置》這樣的內容屬于規(guī)定性知識，沒有什么道理可言，所以陳述和介紹就成為大家慣用的方法，當學生產(chǎn)生不同意見時就用“這是教材的規(guī)定”“數(shù)學家采用的辦法”來應對。這樣就打消了學生參與的積極性，壓縮了學生思維活動的空間，使得他們處于一種被動接受的狀態(tài)。

其實，這種約定性內容也是可以采取探究式教學的，探究的對象是約定的合理性。可以這樣說，小學教材中編寫的所有約定性知識，都是已經(jīng)為數(shù)學界承認的，其規(guī)定都經(jīng)過了歷史的洗禮，都有其合理性。所以探究這種約定的合理性也是經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程，也是一種建構活動——一種社會建構活動。