王振華，張為元，李艷艷

(咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000)

Koranyi單位球面上的一類特殊算子?

王振華，張為元?，李艷艷

(咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000)

針對海森堡型群無界域上的一類Dirichlet方程的求解問題，構(gòu)造了一個(gè)線性算子，并研究了它的緊性以及特征值和特征向量。

嵌入定理;緊算子;特征值和特征向量

在無窮維Banach空間中，緊算子是一類特殊的線性算子，其性質(zhì)類似于有限維空間中的矩陣，因此關(guān)于線性方程解的結(jié)果可以推廣到含緊算子的線性偏微分方程中去。緊算子在偏微分方程理論的研究中起著核心的作用。

1995年，Birindelli[1]在Rn中的有界域M上定義了一個(gè)算子是的解，并證明了T1是一個(gè)緊算子；2001年，Birindelli[2]在海森堡(Heisenberg)群上推廣De Giorgi猜想[3]的過程中證明了如下結(jié)果:令Ω′?S1H?Hn，如果算子 T2∶L2(Ω′)→ L2(Ω′)，u(φ)＝T2f是 Dirichlet方程的解，那么T2是一個(gè)緊算子，并且T2具有正的特征值和正的特征向量。

本文基于Birindelli[2]的成果，將上述結(jié)果推廣到了海森堡型群上。下面海森堡型群的定義是Kaplan在文獻(xiàn)[4]中引入的。

若對任意ξ2∈V2，|ξ2|＝1，映射J(ξ2)∶V1→V1是正交的，則稱G是一個(gè)Heisenberg型群。G上的度量函數(shù)為

G上的群運(yùn)算法則為

G中的Koranyi單位閉球?yàn)?/p>

1 由極坐標(biāo)導(dǎo)出算子T

首先我們引入海森堡型群上的極坐標(biāo)概念(文獻(xiàn)[5][6])。

ρ(δλ(x，y))＝λρ(x，y)，θ∈?BG(e，1)。設(shè)光滑函數(shù)u∶?BG(e，1)→R，在?BG(e，1)上定義微分算子:

并且

其中ai＝Xi(ρ)，bj＝ρYj(ρ)，^Ri，^Sj是Xi，Yj在S1G上的切分量，且滿足

由(1)，(3)計(jì)算得到

，引進(jìn)下列算子

因?yàn)樵赟1G上存在特征點(diǎn)[7]，^Ri是Xi在S1G上的投射，所以在S1G上具有形如ξ0＝(0，…，1，…，0)的特征點(diǎn)，對任意的f，g∈L2(Ω，dθ)，我們定義f，g的內(nèi)積為

設(shè)B0是C∞0(Ω)關(guān)于‖u‖B0的閉包，‖u‖B0可表示為

定義算子

這里的u是下列邊值問題

的解，T的緊性條件是求解上述邊值問題的必要條件。下面我們將證明T是一個(gè)緊算子。

2 T的緊性

在這一節(jié)，我們證明(10)式定義的T是一個(gè)緊算子。

定義2 設(shè)A，E是Banach空間，設(shè)T∶A→E線性；若在E中是緊集，則稱T是緊算子，其中B0是A中的單位閉球。

引理1[7]設(shè)ξ＝ξ1+ξ2＝，設(shè)e＝(0，…，1，...，0)為G中的單位元，則下列結(jié)論成立:

引理2[5]對任意的u，v∈，下列公式成立

定理1 算子T在L2(Ω)上是緊的。

證明 因?yàn)?/p>

將上式代入(12)式得

由(7)、(8)和(13)式得到

因?yàn)?/p>

所以

故a(u，v)是連續(xù)的。由Poincaré不等式可知

事實(shí)上，類似文獻(xiàn)[9]中命題3.1(a)的證法，我們選擇使得，則有＝-Q，由文獻(xiàn)[5][6]我們知道在Ω上存在一個(gè)非零Radon測度，使得 G上的 Haar測度 d V0＝ρQ-1dρdθ。因?yàn)閡∈C20(Ω)，并且u∶?BG(e，1)→R，所以

最后，我們來驗(yàn)證T是線性的。令f1，f2∈L2(Ω)，則f1，f2滿足

由(10)式知

再令

當(dāng)u~∈Ω時(shí)，必有

所以

因此T是線性的。

3 T的特征值和特征函數(shù)

在上一節(jié)，我們針對海森堡型群上的一類邊值問題，給出了一個(gè)算子T，并且證明了T是一個(gè)緊算子。在這一節(jié)，我們將進(jìn)一步研究緊算子T的特征值與特征向量。

引理3[10](Krein-Rutman定理)令Γ?L2(Ω)是L2(Ω)中正函數(shù)的錐，若T是緊的線性映射，使得T(Γ)?Γ，且存在φ∈Γ和ρ＞0滿足Tφ-ρφ∈Γ，則存在T的一個(gè)特征值μ0和與之對應(yīng)的特征函數(shù)u0∈Γ，使得T(u0)＝ μ0u0，這里μ0＝r(T)＞0。

引理4[11]P是無界域M上的一個(gè)次臨界算子，φ∈C(M)是方程Pu＝0在M?1上的一個(gè)正解，。如果在M中Pv＝f≥0，f∈C(M)，，那么在M中v≥0。

定理2 T存在正的特征值和特征函數(shù)。

證明 由引理3知，證明的關(guān)鍵是找到滿足Tφρφ∈Γ的φ∈Γ及ρ＞0。我們令Ω′?Ω使得Ω′?Ω1?Ω，Ω1的邊界上沒有特征點(diǎn)。我們選擇φ≠0，φ∈Γ∩L∞，φ的支集Ζ包含在Ω′中。

由T的定義以及引理4知函數(shù)υ＝Tφ滿足

再由強(qiáng)極大值原理可知

所以φ≤‖φ‖L∞。 于是

故

即

所以φ和ρ滿足引理3的條件，又因?yàn)門是緊算子，所以由引理3可知:T存在一個(gè)正的特征值μ0＝r(T)＞0及與μ0對應(yīng)的正特征函數(shù)u0∈Γ，使得T(u0)＝μ0u0，定理2得證。

4 總結(jié)

本文利用極坐標(biāo)在更廣泛的海森堡型群上證明了算子T的緊性，而T的緊性對研究海森堡型群上的一類邊值問題的解意義重大。而且進(jìn)一步證明了緊算子T具有正的特征值和特征向量，該性質(zhì)將幫助我們研究海森堡型群中無界域上的De Giorgi猜想。

[1]Birindelli I.Hopf’s Lemma and Anti-maximum Principle in General Domains[J].J.Diff.Equations，1995，119:450-472.

[2]Birindelli I，Prajapat J.One dimensional symmetry in the Heisenberg group[J].Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa，2001，3:1-17.

[3]Berestycki H，Hamel F，Monneau R.One-dimensional symmetry of bounded entire solutions of some elliptic equations[J].Duke Math.J.，2000，103(3):375-396.

[4]Kaplan A.Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms[J].Trans.AmerMath Soc.，1980，258:147-153.

[5]Balogh Z M，Tyson JT.Polar coordinates on Carnot groups[J]. Math Z.，2002，241(4):697-730.

[6]Balogh Z M，Tyson J T.Potential Theory in Carnot groups[J]. AMSSeries in Contemporary Mathematics，2003，320:15-27.

[7]Garofalo N，Vassilev D N.Regularity near the characteristic set in the nonlinear Dirichlet problem and conformal geometry of sub-Laplacians[J].Math Ann，2000，318:453-516.

[8]韓軍強(qiáng)，鈕鵬程.H型群上的偏微分方程[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009:23-28.

[9]Jerison D S.Boundary regularity in the Dirichlet problem for Lbon CR manifolds[J].Comm.Pure.Appl.Math.，1983，36:143-181.

[10]Dong Y.Holder Regularity forWeak Solutions to Divergence From Degenerate Quasilinear Parabolic Systems[J].JMath Anal Appl，2014，410(1):374-375.

[11]Y.Pinchover.Maximum and anti-maximum principles and eigenfunctions estimates via perturbation theory of positive solutions of elliptic equations[J].Math Ann，1999，314:555-590.

(責(zé)任編輯:曾 晶)

A Special Operator Defined on Koranyi Unit Sphere

WANG Zhenhua，ZHANGWeiyuan?，LIYanyan

(School of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，China)

For a type of boundary-value problem defined on the unbounded domain of Heisenberg type group，a linear operator was constructed，and its compactness，eigenvalue and eigenvector were studied respectively.

embedding theorem；compact operator；eigenvalue and eigenvector

O175.3

A

1000-5269(2016)04-0012-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.04.02

2015-12-20

國家自然科學(xué)基金(11526174)；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JM1015)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研項(xiàng)目(2013JK0578)；校內(nèi)項(xiàng)目(06XSYK250；201202012)

王振華(1974-)，男，講師，研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，Email:mail_wangzhenhua＠126.com.

?通訊作者:張為元，Email:ahzwy＠163.com.