趙玉霞

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多維畫法幾何在多元合金相圖中的應(yīng)用

趙玉霞

本文根據(jù)多維畫法幾何的原理，應(yīng)用“不等邊濃度圖形”闡述多元系成分表示法分析多維空間幾何關(guān)系，繪制了多元系平面投影圖，從而將系統(tǒng)成分表示法推廣到七元系以上的系統(tǒng)。

多維畫法幾何；多元系相圖；不等邊濃度圖形

多維畫法幾何作為圖學(xué)理論的一個分支已經(jīng)有很長的歷史，特別是多維畫法幾何的理論研究，早在十九世紀(jì)40年代就開始了。但在近幾十年來，越來越多的國內(nèi)外學(xué)者、科學(xué)技術(shù)工作者更加關(guān)注其在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的實際應(yīng)用。用多維畫法幾何能夠解決許多領(lǐng)域中多變量系統(tǒng)的圖示表示問題，因此多維畫法幾何正越來越受到科技工作者的重視。在金屬材料學(xué)領(lǐng)域里繪制金屬的相圖同樣可以應(yīng)用畫法幾何的原理來表示多元合金相，其中合金七元以下系統(tǒng)的圖示法已經(jīng)基本成熟[1]，但是對于合金七元以上的系統(tǒng)其圖示方法還需要進(jìn)一步研究。本文以多維畫法幾何為依據(jù)，通過“不等邊濃度圖形法”將合金系統(tǒng)成分圖示法推廣到合金七元系以上的系統(tǒng)，從而為繪制合金多元系相圖提供新的圖示方法，同時也進(jìn)一步在多維畫法幾何實際應(yīng)用。

1 多元系統(tǒng)“不等邊濃度圖形”

多元系統(tǒng)的成分用幾何圖形來表示稱為濃度圖形，現(xiàn)在用不等邊圖形來表示多元系的成分稱為不等邊濃度圖形。例如，可以用不等邊三角形來表示合金三元系的成分(圖1所示)；用不等棱長的四面體來表示合金多元系的成分(圖2所示)；四元系以上的系統(tǒng)其成分可用多維立體表示，其中多維立體上每一頂點表示合金一純組元，各頂點間的間距可以不相等，因此可以用N維立體表示合金(n+1)元系統(tǒng)的成分。

圖1

圖2

2 應(yīng)用“不等邊濃度圖形”表示合金多元系成分

2.1 三元系、四元系的成分表示法

在合金三元系中將不等邊濃度三角形ABC的各邊100等分(圖3)，每等分表示1%濃度，過 ABC中任意一點M(M點表示一個三元系)分別作各邊的平行線，平行線在三角形各邊所截得的線段分別表示該點各組元的濃度[2]。其中CD表示M點A組元的濃度；AE表示M點B組元的濃度；BF表示M點C組元的濃度。從圖3中的幾何關(guān)系還可以得出CD、AE、BF各線段表示的濃度之和必為100%。 在合金四元系中可以用相似的方法，過不等棱長的四面體中任意點作各面的平行截面來表示四元系的成分。

圖3

2.2 十元系成分表示法

圖4

圖5-1 圖5-2

圖5-3 圖5-4

圖5-5 圖5-6

圖5-7 圖5-8

圖5-9

2.3 平面投影圖畫法

將八個二維平面ΔABC、ΔABC、ΔACD、 ΔADE、ΔAEF、 ΔAFH、ΔAHK、ΔAKL、ΔALN按照圖6進(jìn)行排列，這就形成十元系的平面投影圖，其中各三角形變長可取任意長度。

十元系M平面投影畫圖步驟如下：(圖6)

圖6

在AB上截取AA1=b%，過A1作A1C1‖AC；

在AC上截取AA2=c%，過A2作A2B2‖AB，A2D2‖AD；

在AD上截取AA3=d%，過A3作A3C3‖AC，A3E3‖AE；

在AE上截取AA4=e%，過A4作A4D4‖AD，A4F4‖AF；

在AF上截取AA5=f%，過A5作A5E5‖AE，A5H5‖AH；

在AH上截取AA6=h%，過A6,作A6F6‖AF，A6K6‖AK；

在AK上截取AA7=k%，過A7作A7H7‖AH，A7L7‖AL，A7L7//AL；

在AL上截取AA8=l%，過A8作A8K8‖AK，A8N8‖AN；

在AN上截取AA9=n%，過A9作A9L9‖AL；

3 應(yīng)用舉例

已知十元合金M重20kg，分解生成兩種新十元合金x和y，其中y合金重12kg，M與Y的成分如下：

合金組元%ABCDEFHKLNMab cdefhklnYaybycydyeyfyhykylynyX

其中，a+b+c+d+e+f+h+k+l+n=100，ay+by+cy+dy+ey+fy+hy+ky+ly+ny=100，求十元合金x各組元的含量。

解:(見圖7)

圖7

第一步:根據(jù)M與Y兩合金成分在平面投影圖上作出M與Y的各投影點：Mbc、Mcd、Mde,、Mef、Mfh、Mhk、Mkl、Mln、Ybc、Ycd、Yde、Yef、Yfh、Yhk、Ykl、Yln.

第二步：分別連接M與Y的各對應(yīng)投影點。

表1 過M點的八維截面一覽表

第三步：根據(jù)相圖杠桿定律新合金x、y的成分點必在過M點的直線上，且M點分線段xy之比與x、y的重量成反比。

式中：WM、WY、WX分別表示各十元系重量。

在平面投影圖上各投影點同樣服從上述杠桿定律的關(guān)系，所以新合金x與y的各投影點必在過M的相應(yīng)投影點的直線上，并且M各投影點分X、Y的相應(yīng)投影點連線之比與x、y的重量成反比。

在線段Yln、Mln的延長線上量取該值即得Xln點。

第四步：用同樣的方法可得十元合金x的其余各投影點Xkl、Xhk、Xfh、Xef、Xde、XcdXbc.

第五步：過合金X的各投影點作相應(yīng)邊的平行線，即可得A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9各點,分別量取AA1、AA2、AA3、AA4、AA5、AA6、AA7、AA8、AA9即得十元合金X的各組元B、C、D、E、F、H、k、L、N的百分含量(%)為：bx、cx、dx、ex、fx，hxkx，lx，nx其A組元的百分含量(%)為ax=100-(bx+cx+dx+ex+fx+hx+kx+lx+nx)。

4 結(jié)論

[1] 周積義，謝申鑒.利用多維畫法幾何的原理表示多元合金系統(tǒng)的相圖[J].清華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1988.5(28).

[2] Provolone vic.BE,sakharov.MB.三元系與四元系相圖[M].北京:高等教育出版社,1956.

[3] 切特維魯新H φ主編.畫法幾何方法及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,1959.

責(zé)任編輯：劉海濤

TH126.2

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1673-1794(2016)05-0036-04

趙玉霞，滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授(安徽 滁州 239000)。

2016-05-23