李拴虎 高立新 丁風(fēng)和 陳立峰 楊紅櫻

(中國(guó)呼和浩特010010內(nèi)蒙古自治區(qū)地震局)

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用于地震參數(shù)估算的兩種貝葉斯概率算法分析*

李拴虎*高立新 丁風(fēng)和 陳立峰 楊紅櫻

(中國(guó)呼和浩特010010內(nèi)蒙古自治區(qū)地震局)

概率估算 貝葉斯概率 先驗(yàn)概率 似然概率

貝葉斯概率算法(Beyesian probability algorithm)是一種通用的框架， 整合了先驗(yàn)概率和似然概率各自的優(yōu)點(diǎn)， 并能根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況作出相應(yīng)調(diào)整， 確保計(jì)算結(jié)果的合理性． 該算法除了用于河流溶解氧含量的估算(Patil， Deng， 2011)、 樁基礎(chǔ)的可靠性評(píng)估(Zhangetal， 2006)、 合成孔徑雷達(dá)圖像的重建(Vuetal， 2013)和海上鉆井風(fēng)險(xiǎn)性的量化評(píng)價(jià)(Khakzadetal， 2013)以外， 也被應(yīng)用于諸如地震邊坡失穩(wěn)的評(píng)估(Songetal， 2012)、 地震對(duì)結(jié)構(gòu)脆弱性的影響分析(Koutsourelakis， 2010)以及活斷層的參數(shù)估算(Amighpeyetal， 2014)等方面的地震研究．

相對(duì)于貝葉斯概率算法， 先驗(yàn)概率和似然概率方法具有一定的局限性. 基于“理論”的先驗(yàn)概率(prior probability)是在缺乏統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的情況下描述一個(gè)事件， 具有較強(qiáng)的假設(shè)性． 先驗(yàn)概率可以分為兩類： 利用歷史資料計(jì)算得到的先驗(yàn)概率， 稱為客觀先驗(yàn)概率； 當(dāng)歷史資料無(wú)從獲取或資料不完全時(shí)， 僅憑主觀經(jīng)驗(yàn)判斷而得到的先驗(yàn)概率， 稱為主觀先驗(yàn)概率． 基于“真實(shí)”數(shù)據(jù)的似然概率(likelihood probability)是對(duì)事件的真實(shí)統(tǒng)計(jì)， 要求大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)支撐． 貝葉斯概率算法是一種簡(jiǎn)單有效的算法， 通常被用來(lái)描述一個(gè)隨機(jī)變量， 特別是在樣本有限的情況下． 不同于僅取決于樣本數(shù)量的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法， 貝葉斯概率算法是結(jié)合先驗(yàn)信息(經(jīng)驗(yàn)， 判斷等)和樣品數(shù)量得到估算結(jié)果， 其評(píng)價(jià)結(jié)果值同樣也不是一個(gè)事件“真實(shí)”的計(jì)算結(jié)果， 而是一個(gè)概率值． 本文重點(diǎn)研究用于地震參數(shù)估算的兩種貝葉斯概率算法， 即震源到站點(diǎn)的距離概率和區(qū)域發(fā)震概率， 并通過(guò)兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證其合理性．

在概率地震危險(xiǎn)性分析(probabilistic seismic hazard analysis， 簡(jiǎn)寫(xiě)為PSHA)中用到的震源到站點(diǎn)的距離函數(shù)， 通常使用假定地震在研究區(qū)域內(nèi)“均勻分布”的模式(Kramer， 1996)， 在目前的震源距離函數(shù)計(jì)算中廣為使用(Chengetal， 2007; Wangetal， 2013)． 雖然“非均勻分布”模式如平滑算法， 也經(jīng)常被推薦使用(Frankel， 1995)， 但同質(zhì)化假設(shè)仍然是震源模型的現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)之一， 而且并不是每個(gè)模型的開(kāi)發(fā)均能滿足平滑算法的要求． 一般情況下， 地震并不會(huì)均勻地分布在研究區(qū)域， 均勻假設(shè)顯然不符合實(shí)際情況． 圖1a為內(nèi)蒙古河套斷陷帶區(qū)域的震源和地震臺(tái)站的分布示意圖， 圖1b為該研究區(qū)的“理論”震源分布， 可以看出其具有離散性和網(wǎng)格化的特征．

圖1 研究區(qū)的實(shí)際震源(a)與理論震源(b)的分布特征

“均勻分布”的理論算法和“非均勻分布”的平滑算法在實(shí)際應(yīng)用中均有涉及， 其優(yōu)缺點(diǎn)均比較明顯， 理論距離算法的均勻分布假設(shè)并未得到有效的驗(yàn)證, 平滑距離算法的缺點(diǎn)是沒(méi)有足夠的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)支撐． 在這種情況下， 引入貝葉斯概率算法， 不僅能表示震源到站點(diǎn)的距離， 也能表示各種源到點(diǎn)的距離， 最常用于破裂距離等參數(shù)的計(jì)算(Chengetal， 2007; Kaklamanosetal， 2011)． 參考Ang和Tang(2007)提出的理論公式， 根據(jù)P(A|B)·P(B)=P(B|A)P(A)建立在條件假設(shè)概率基礎(chǔ)上的基本準(zhǔn)則， 推導(dǎo)出貝葉斯概率f(Di|O)為

(1)

式中，f(Di)為理論距離概率函數(shù)的先驗(yàn)信息，f(O|Di)為基于實(shí)際觀測(cè)值O和距離Di基礎(chǔ)上的似然概率，f(Di|O)為后驗(yàn)概率． 已知f(O)=∑f(O|Di)f(Di)(Ang， Tang， 2007)， 式(1)可以改寫(xiě)為

(2)

圖2 先驗(yàn)概率、 似然概率和貝葉斯概率的計(jì)算值比較Fig.2 Comparison of the calculated values of the prior probability (squares)， likelihood probability (circles) and Beyesian probability (triangles)

圖2給出了內(nèi)蒙古河套斷陷帶區(qū)域地震數(shù)據(jù)的先驗(yàn)概率、 似然概率和貝葉斯后驗(yàn)距離概率的計(jì)算值. 由于同質(zhì)假設(shè)或理論分布并不能真實(shí)地反映實(shí)際情況， 因此使用似然概率和先驗(yàn)概率兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果具有不同程度的差異． 需要注意的是， 貝葉斯后驗(yàn)概率值不一定處于先驗(yàn)概率值與似然概率值之間； 在40 km和180 km處， 利用貝葉斯概率算法得到的概率值更大， 但其總體趨勢(shì)與似然概率接近， 可靠性優(yōu)于先驗(yàn)概率的計(jì)算結(jié)果．

ML≥6.0大地震的發(fā)生概率是評(píng)價(jià)區(qū)域地震危險(xiǎn)性的重要參數(shù)， 而該參數(shù)的計(jì)算需要具有百年時(shí)間尺度的數(shù)據(jù)， 但是在當(dāng)前條件下， 儀器記錄的可靠地震數(shù)據(jù)只有幾十年， 這使得沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算大地震發(fā)生的真實(shí)概率． 例如， 在常規(guī)統(tǒng)計(jì)和有限數(shù)量觀測(cè)值的情況下， 假設(shè)過(guò)去50年內(nèi)沒(méi)有記錄到大地震的相關(guān)數(shù)據(jù)， 則發(fā)震概率估算值為0， 這顯然會(huì)直接導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差， 甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果． 因此， 在觀測(cè)數(shù)據(jù)有限的條件下引入計(jì)算地震發(fā)生概率的貝葉斯算法， 可以減小由于時(shí)間尺度過(guò)短和數(shù)據(jù)量不足等方面帶來(lái)的誤差. 這是一個(gè)計(jì)算區(qū)域地震發(fā)生概率平滑函數(shù)的方法， 其關(guān)鍵是利用鄰區(qū)的地震信息作為先驗(yàn)信息， 重新分配目標(biāo)區(qū)域的觀測(cè)數(shù)據(jù)． 圖3a給出了內(nèi)蒙古—寧夏—甘肅交界帶地震數(shù)據(jù)的分區(qū)統(tǒng)計(jì)， 9個(gè)區(qū)塊分別表示1900年以來(lái)各區(qū)塊內(nèi)所發(fā)生的ML≥6.0地震事件個(gè)數(shù)， 其中5個(gè)區(qū)塊(E2，E3，E4，E6，E8)的數(shù)值為0， 表示研究時(shí)段內(nèi)該區(qū)塊未記錄到地震事件； 但是， 地震發(fā)生概率計(jì)算應(yīng)當(dāng)是一個(gè)長(zhǎng)周期的統(tǒng)計(jì)結(jié)果， 顯然0事件的記錄不符合實(shí)際情況．

圖3 各區(qū)塊內(nèi)ML≥6.0地震事件的分布(a)和貝葉斯算法平滑之后得到的發(fā)震概率(b)

針對(duì)似然概率和先驗(yàn)概率的不足， 貝葉斯概率算法可以解決該問(wèn)題． 對(duì)于不連續(xù)及非規(guī)律性事件， 貝葉斯概率算法的公式為

(3)

式中：A為概率質(zhì)量函數(shù)的計(jì)算參數(shù)，A=0或A=1；n為A的數(shù)量， 本例中n=2；B為觀測(cè)值， 本例中B=0或B=1；P′(Ai)和P″(Ai)分別為先驗(yàn)和后驗(yàn)概率(平滑率)． 若不把周圍區(qū)塊的事件作為先驗(yàn)信息， 單獨(dú)考慮E3一個(gè)區(qū)塊， 則基于E3和相鄰3個(gè)區(qū)塊(E2，E5和E6)的信息， 當(dāng)A=1時(shí)，E3內(nèi)的發(fā)震概率只有0.25， 因?yàn)镋3及相鄰3個(gè)區(qū)塊中僅在E2一個(gè)區(qū)塊內(nèi)記錄到1900年以來(lái)的一次地震； 當(dāng)A=0時(shí)，E3塊體內(nèi)的發(fā)震概率為0.75， 因?yàn)樵贓3周邊有兩個(gè)區(qū)塊未記錄到地震． 假設(shè)地震的復(fù)發(fā)性符合泊松分布， 則E3區(qū)塊內(nèi)的似然概率計(jì)算如下：

(4)

(5)

式(4)和(5)是泊松概率計(jì)算， 其概率質(zhì)量模型可表示為

(6)

式中，y為泊松隨機(jī)變量X的平均值． 將似然概率和先驗(yàn)概率代入式(3)計(jì)算后驗(yàn)概率， 當(dāng)A=1時(shí)， 根據(jù)

(7)

即可計(jì)算出E3區(qū)塊的發(fā)震概率為0.11， 相比簡(jiǎn)單的似然概率計(jì)算值0.37， 該值相對(duì)符合實(shí)際情況．

發(fā)震概率計(jì)算中的貝葉斯方法是一種典型的后驗(yàn)算法， 由似然概率衍生而來(lái)， 通過(guò)對(duì)每個(gè)區(qū)塊的類似計(jì)算即可得到如圖3b所示的平滑結(jié)果． 由此可見(jiàn)， 這種貝葉斯算法提供了一個(gè)區(qū)塊發(fā)震概率的平滑計(jì)算方法， 在數(shù)據(jù)有限的情況下， 可以得到更加有意義的估算值， 而不是簡(jiǎn)單的0或1概率事件．

綜上所述， 在數(shù)據(jù)量嚴(yán)重不足的情況下， 根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算的似然概率方法是最不準(zhǔn)確的， 而先驗(yàn)概率方法更具有適用性； 但是偏“理論”性的先驗(yàn)算法也不具有普遍適用性， 該算法基于各種穩(wěn)態(tài)分布的概率模型， 在非規(guī)律性(連續(xù)性)事件概率計(jì)算中有時(shí)與實(shí)際情況偏離較大. 而貝葉斯概率算法作為一種估算概率， 并非事件的“真實(shí)”計(jì)算結(jié)果， 其實(shí)質(zhì)是組合了先驗(yàn)信息與似然概率各自的優(yōu)點(diǎn)， 在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)量不足和事件離散性較大的情況下， 具有更好的適用性．

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Application of two Bayesian probability algorithms to the estimation of earthquake parameters

Li Shuanhu*Gao Lixin Ding Fenghe Chen Lifeng Yang Hongying

(EarthquakeAdministrationofInnerMongoliaAutonomousRegion，Hohhot010010，China)

probability estimation; Bayesian probability; priori probability; likelihood probability

研究簡(jiǎn)報(bào)

內(nèi)蒙古自治區(qū)地震局局長(zhǎng)基金課題(2016YC01)資助.

2016-03-22收到初稿， 2016-06-13決定采用修改稿.

10.11939/jass.2016.06.015

P315.08

A

李拴虎, 高立新, 丁風(fēng)和, 陳立峰, 楊紅櫻. 2016. 用于地震參數(shù)估算的兩種貝葉斯概率算法分析. 地震學(xué)報(bào), 38(6): 952--955. doi:10.11939/jass.2016.06.015.

Li S H, Gao L X, Ding F H, Chen L F, Yang H Y. 2016. Application of two Bayesian probability algorithms to the estimation of earthquake parameters.ActaSeismologicaSinica, 38(6): 952--955. doi:10.11939/jass.2016.06.015.

*通訊作者 e-mail: lizhengke06@126.com