張麗靜，尚新春

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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激光輻照材料表面非Fourier熱傳導(dǎo)問題的半解析解

張麗靜，尚新春

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

針對有較長熱馳豫時間的材料在表面受到激光脈沖照射時的非Fourier熱傳導(dǎo)問題，利用Laplace、Hankel變換及其逆變換，給出了一個半解析解.數(shù)值仿真表明，該半解析解能夠清晰顯示非Fourier熱傳導(dǎo)問題中的熱波現(xiàn)象.

非Fourier效應(yīng)；半解析解；積分變換；熱弛豫時間

MSC 2010：35Q79；80A20

經(jīng)典熱傳導(dǎo)問題的理論基礎(chǔ)是Fourier擴(kuò)散模型，在該模型中，熱傳播的速度通常被假定為無限大，但該假設(shè)在使用激光或微波進(jìn)行快速加熱的過程中，或材料本身有較大熱弛豫時間時，都是不成立的[1-3].為描述在這些情況下的熱傳導(dǎo)問題，Cattaneo[4]和 Vernotte[5]首先將熱弛豫時間引入了熱傳導(dǎo)模型，該模型被稱為 Cattaneo-Vernotte (CV) 模型.CV 模型是一種雙曲型模型，故熱的傳播也將具有類似波的特性.

研究人員已經(jīng)針對CV模型，深入探討了模型的解析解或數(shù)值解.但是，由于CV 模型控制方程的復(fù)雜性，人們很難給出其顯式的解析解，故多數(shù)工作主要給出了該模型的數(shù)值解[6-8]或一維問題的解析解[9-10].盡管數(shù)值解法能在一定程度上對該問題進(jìn)行模擬，但對其解析解的研究仍然是至關(guān)重要的，因為它可以被用來檢驗數(shù)值解的正確性，并評估數(shù)值方法的逼近性能.

針對具有較長熱弛豫時間的材料，在表面受到激光輻照時的熱傳導(dǎo)問題，本文綜合使用了 Laplace、Hankel 變換及其逆變換，導(dǎo)出了一個新的半解析解.此外，利用該解得到的數(shù)值結(jié)果也表明，熱傳導(dǎo)過程中的熱波現(xiàn)象可被清晰顯示.

1 數(shù)學(xué)模型

考慮激光束照射在一個半無限大材料表面上的情形(圖1).由于激光光束具有軸對稱的性質(zhì)，故可用柱坐標(biāo)來研究該熱傳導(dǎo)問題.令T為材料溫度.由于在平行于材料表面的平面上溫度分布與幅角無關(guān)，故可假定T=T(r,z,t)(r≥0,z≥0,t≥0)，其中r為極徑，z為指向材料內(nèi)部并垂直于材料表面的豎軸，t表示時間.本文中的物理量均使用國際單位制.在激光輻照下，材料的熱響應(yīng)方程為

(1)

a.材料表面溫度場在空間上的分布；b.材料表面溫度場最高溫度隨時間的變化曲線.圖1 激光束照射在半無限大材料表面上的溫度分布Fig.1 Thermal distribution of laser beam irradiating on the material

由于輻照深度一般是比較小的[11]，故可使用如下邊界條件來近似激光光束突然照射在材料表面時的熱分布

(2)

其中H(t) 為Heaviside階躍函數(shù)，p和q為刻畫激光束溫度分布的參數(shù).在材料表面，激光束產(chǎn)生的溫度分布如圖1a所示.由于激光照射的時間通常較短，故激光束的最高溫度隨時間t的增加快速衰減如圖1b.

沿著z軸方向，由軸對稱的性質(zhì)可知

(3)

此外，方程的解還需滿足如下的正則性條件

(4)

及初始條件

(5)

綜上，激光輻照下材料內(nèi)溫度分布的問題即可轉(zhuǎn)化為求方程(1)滿足條件(2)-(5)的解.

2 半解析解

首先，對方程(1)中的變量t做Laplace變換，然后再對變量r做Hankel變換，結(jié)合條件(2)-(5)，可得

，

(6)

(7)

求解方程(6)和(7)，可得如下解析解

(8)

由于逆Hankel變換的解析形式通常不容易得到，故為能夠從式(8)導(dǎo)出原問題的半解析解，可按式(9)交換積分次序

(9)

2.1 非Fourier熱傳導(dǎo)問題的解(即γ=ρ0c0/k0且τ0≠0)

對式(8)做逆Laplace變換可得

(10)

其中

將式(10)帶入式(9)，并利用條件(2)-(5)可導(dǎo)出非Fourier熱傳導(dǎo)問題的半解析解

(11)

2.2 Fourier熱傳導(dǎo)問題的解(即γ=ρ0c0/k0且τ0=0)

當(dāng)τ0=0時，式(8)可化為

.

對上式進(jìn)行逆Laplace變換，可得

(12)

其中

.

將式(12)帶入式(9)可得Fourier熱傳導(dǎo)問題的半解析解為

(13)

2.3 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的解(即γ=0)

在γ=0時，方程(1)化為齊次微分方程，式(8)可化為

對上式進(jìn)行逆Laplace變換，可得

(14)

其中，g3(ξ,z,t)=e-zξ-qt.將式(14)帶入式(9)，可得穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的半解析解為

(15)

3 數(shù)值算例

由于皮膚是一種具有較大熱弛豫時間的材料，故本文中使用文獻(xiàn)[12]中給出的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值計算，即ρ0=1 000 kg/m3，c0=4 200 J/(kg·K)，k0=0.5 W/(m·K)，τ0=20 s.另外，取p=1 000及q=0.2. 圖2和圖3給出了在相同的初邊值條件下，本文求得的非Fourier問題、經(jīng)典Fourier問題及穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的半解析解之間的對比.

圖2給出了在t=10 s時，無量綱化后的溫度沿z軸(r=0)的分布曲線.由圖2可以看出，一方面根據(jù)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)和經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問題的定義，在相同的時間，同一深度處，經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問題的解比穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的解略?。涣硪环矫?，由于非Fourier熱傳導(dǎo)問題中，熱是以有限速度傳導(dǎo)的，故在相同時間，同一位置處非Fourier熱傳導(dǎo)問題的解在“熱波前”后時(在“熱波前”左側(cè))比穩(wěn)態(tài)和經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問題解的取值都大，而在“熱波前”前(在“熱波前”右側(cè))則始終為0.熱波的波前將隨著時間t的增加從左向右傳播(圖3)，可清晰見到熱波從皮膚表面向皮膚縱深傳播的現(xiàn)象.

z/mm圖2 沿z軸的溫度分布，t=10 sFig.2 Temperature distribution along z-axis，t=10 s

z/mm圖 3 材料內(nèi)部熱波前的傳播，τ0=20 sFig.3 Propergation of thermal wave inside material，τ0=20 s

圖4、圖5、圖6分別給出了t=2、8、14 s時，使用文中求得的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題、經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問題和非Fourier熱傳導(dǎo)問題半解析解得到的材料內(nèi)部溫度分布的等高線圖.可以看出，F(xiàn)ourier熱傳導(dǎo)問題與非Fourier熱傳導(dǎo)問題對應(yīng)的等高線與穩(wěn)態(tài)問題對應(yīng)的等高線相比，相對較為扁平，同時，由圖6也可看到非Fourier熱傳導(dǎo)問題的“熱波前”隨時間增加逐漸向材料內(nèi)部移動的現(xiàn)象.

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖4 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題材料內(nèi)部溫度場等高線Fig.4 Contour plot of steady thermal propagation problem inside material

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖5 Fourier熱傳導(dǎo)問題材料內(nèi)部溫度場等高線Fig.5 Contour plot of Fourier thermal propagation problem inside material

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖6 非Fourier熱傳導(dǎo)問題材料內(nèi)部溫度場等高線Fig.6 Contour plot of non-Fourier thermal propagation problem inside material

4 結(jié)論

本文使用Laplace、Hankel變換及其逆變換，給出了一個對具有較長熱弛豫時間的材料，在表面受到激光束突然照射時熱傳導(dǎo)問題的半解析解.數(shù)值算例表明，非Fourier熱傳導(dǎo)問題中的熱波現(xiàn)象可在該解中清晰顯示.利用實驗數(shù)據(jù)，修正模型中的參數(shù)后，即可使用該半解析解預(yù)測材料內(nèi)部的溫度場分布.

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

Semi-analytic solution of the non-Fourier thermal propagation on the surface of material irradiated by laser beam

ZHANG Lijing，SHANG Xinchun

(School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)

The non-Fourier model of heat transfer as a laser pulse irritating on surface of material with large thermal relaxation time is considered.A new semi-analytic solution is derived by using Laplace，Hankel and their inverse transforms.By numerically simulating the solution，the wave form behavior of temperature can be seen clearly.

non-Fourier effect；semi-analytic solution；integral transform；thermal relaxation time

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.05.001

2016-04-27

爆炸科學(xué)重點實驗室開放基金資助項目( KFJJ12-12M)；國家自然科學(xué)基金資助項目 (10772024)

張麗靜(1973—)，女，山西大同人，北京科技大學(xué)講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)及熱力耦合問題的研究. E-mail:zhanglij@ustb.edu.cn

尚新春(1958—)，男，山西朔州人，北京科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事熱學(xué)、力學(xué)問題的研究. E-mail:shangxc@ustb.edu.cn

O39

A

1000-1565(2016)05-0449-06