執(zhí)教：張麗萍點(diǎn)評(píng)：張新春

“找次品”教學(xué)實(shí)錄及點(diǎn)評(píng)

執(zhí)教：張麗萍點(diǎn)評(píng)：張新春

一、情景導(dǎo)入

師：張老師今天帶來(lái)3瓶口香糖給你們做見(jiàn)面禮。3瓶口香糖都一樣多、一樣重，可是其中有一瓶被我那淘氣的女兒悄悄地吃了幾片，你能想辦法幫我找到這一瓶嗎？

生1：用手掂一掂就知道哪個(gè)重哪個(gè)輕。（板書(shū)：掂）

生2：用天平稱(chēng)。（板書(shū)：稱(chēng)）

生3：數(shù)一數(shù)。（板書(shū)：數(shù)）

師：同學(xué)們想到了3種方法，你覺(jué)得哪種方法最好？為什么？

生4：我覺(jué)得稱(chēng)是最好的，因?yàn)榉Q(chēng)可以準(zhǔn)確地稱(chēng)出重量，比較快。

師：那如果用數(shù)的方法，我數(shù)過(guò)的口香糖你會(huì)不會(huì)吃？

生：不會(huì)，太臟了。

師：掂的辦法呢？（將2瓶口香糖放入學(xué)生手上，讓其感受掂的辦法不夠準(zhǔn)確）

師小結(jié)：這樣看來(lái)，稱(chēng)的辦法又簡(jiǎn)捷又準(zhǔn)確。

二、探究新知

師：張老師這里準(zhǔn)備了一架沒(méi)有砝碼的天平，這架天平老師已經(jīng)調(diào)試平衡了，你打算怎么稱(chēng)呢？

生5：在天平的左右兩邊各放1瓶口香糖，還剩下1瓶。（教師根據(jù)學(xué)生的敘述進(jìn)行操作）

師：這時(shí)候出現(xiàn)了什么情況？

生5：天平不平衡。（師記錄）

師：剛剛有同學(xué)說(shuō)有兩種情況，還有一種什么情況？

生6：將輕的那瓶換下來(lái)，把另外一瓶放上去。（教師根據(jù)學(xué)生的敘述進(jìn)行操作）

師：這時(shí)候天平怎么樣了？

生6：平衡。（師記錄）

師小結(jié)：3瓶口香糖不管怎么樣放，總會(huì)左邊1瓶，右邊1瓶，還剩下1瓶。會(huì)出現(xiàn)不平衡和平衡兩種情況。那你告訴老師，如果天平平衡了，輕的那瓶在哪里？

生7：就是剩下的這一瓶。（師用紅色粉筆標(biāo)出）

師：那如果不平衡呢？

生8：輕的那瓶就是天平高的那一端的那瓶。

師：假定輕一些的這瓶口香糖是次品，那我們需要稱(chēng)幾次可以找到這瓶次品？

生：1次。

師：不管是哪種情況，都只需要稱(chēng)1次就可以找到次品。如果允許你稱(chēng)1次，除了在3瓶當(dāng)中可以找到1瓶次品，還可以在幾瓶當(dāng)中找到1瓶次品呢？

生：2瓶，4瓶。

師：幾瓶是肯定稱(chēng)1次就可以找到的？

生：2瓶。

師：有同學(xué)猜是4瓶，4瓶可以嗎？老師這里正好準(zhǔn)備了4瓶口香糖，其中3瓶一樣重，有1瓶就是被吃了幾片的次品。稱(chēng)1次就一定能找到次品嗎？

生9：不一定，如果稱(chēng)1次（2瓶）天平是平衡的，那剩下的2瓶中不能確定哪一瓶是次品。但如果稱(chēng)1次天平不平衡的話(huà)就可以找到次品。

教師操作，天平出現(xiàn)了不平衡。學(xué)生反饋還要考慮另一種情況，教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“至少”“保證”的含義。

師：要保證找到次品，就只能考慮左右平衡的情況（教師操作）。你找到次品了嗎？（沒(méi)有）但是現(xiàn)在你能確定什么？次品在哪里？

生：次品在剩下的2瓶中。

師：雖然沒(méi)有找到次品，但是我們確定了次品所在的那一部分。次品所在的那一組我們稱(chēng)之為“次品組”。還有別的稱(chēng)法嗎？

生10：左邊2瓶，右邊2瓶。（教師操作，學(xué)生觀(guān)察后發(fā)現(xiàn)天平傾斜）

師：（用圖記錄：左邊2瓶，右邊2瓶）現(xiàn)在你可以確定什么？

生11：我確定次品在天平高的那一邊，高的那一邊就是次品組。

師：我們雖然沒(méi)有找到次品，但是找到了次品組（標(biāo)出次品組）。不管是什么情況，1次只能找到次品組，還得再稱(chēng)1次才能找到次品。所以在4個(gè)物品當(dāng)中找1個(gè)次品至少得稱(chēng)幾次？

生：2次。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你告訴我稱(chēng)1次最多在幾個(gè)物品當(dāng)中找到次品？

生：3個(gè)。

師：4個(gè)必須稱(chēng)幾次？

生：2次。

師：如果要在更多的物品當(dāng)中找1個(gè)次品，用天平稱(chēng)該怎么找呢？今天這節(jié)課我們就一起探究找次品中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。（板書(shū)課題：找次品）

三、深入探究

課件出示：工人師傅做了一批零件，對(duì)質(zhì)量的精確度要求很高?，F(xiàn)在抽測(cè)了9個(gè)零件，已知其中有8個(gè)一樣重，是正品，有1個(gè)輕了3克，是次品。至少稱(chēng)幾次就能保證找到次品？

師：題目當(dāng)中有哪幾個(gè)？

生：至少、保證。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家分組擺一擺，說(shuō)一說(shuō)，看到底至少需要稱(chēng)幾次就能保證找到這個(gè)次品。

學(xué)生活動(dòng)后反饋。

生12：我們這組發(fā)現(xiàn)需要稱(chēng)3次。第一次是左邊放4個(gè)，右邊放4個(gè)，剩下1個(gè)，如果天平平衡，次品就是剩下的這一個(gè)。但1次不能保證找到。如果不平衡，把重的一邊拿下來(lái)，把輕的4個(gè)再分成每邊2個(gè)，輕的那一邊是次品組，再稱(chēng)。（師記錄過(guò)程）

師：稱(chēng)1次找到次品組，有4個(gè)，4個(gè)還需要稱(chēng)幾次？

生12：2次。

師：還需要再分組進(jìn)行嘗試嗎？

生：不需要，看到4個(gè)就一定得稱(chēng)2次。

師：那一共要稱(chēng)幾次呢？

生：3次。

師：還有沒(méi)有稱(chēng)的次數(shù)更少的方案呢？

生13：我們這組發(fā)現(xiàn)只要稱(chēng)2次。第一次是左邊3個(gè)，右邊3個(gè)，剩下3個(gè)。如果天平平衡，剩下的3個(gè)就是次品組。3個(gè)已經(jīng)探究過(guò)了，只需稱(chēng)1次就可以找到次品。如果不平衡，高的一邊的3個(gè)為次品組，也只需再稱(chēng)1次。（師記錄過(guò)程）

師：為什么兩種方案都是分成3組，一個(gè)只要稱(chēng)2次，另一個(gè)需要稱(chēng)3次呢？你發(fā)現(xiàn)了什么秘訣？

生14：我發(fā)現(xiàn)第二種方案中次品組只有3個(gè)。次品組里的數(shù)量為3時(shí)再稱(chēng)1次就能找到次品，如果次品組里的數(shù)量為4時(shí)得再稱(chēng)2次才能找到次品。

師：你說(shuō)得很好。這兩種方法都能保證找到次品，哪一種方案更好呢？（第二種方案）次數(shù)最少的當(dāng)然就是最好的方法。今天我們一起研究的就是找次品的最佳策略。（板書(shū)：最佳策略）

四、自主探究

課件出示：探究5、6、7、8個(gè)物品的分組情況。

師：請(qǐng)自己選擇一個(gè)你喜歡的物品個(gè)數(shù)進(jìn)行探究。

學(xué)生動(dòng)手探究，然后匯報(bào)。教師根據(jù)學(xué)生的反饋，將方法記錄在表格中。

師：大家仔細(xì)觀(guān)察，這么多稱(chēng)法中哪些是保證找到次品又是次數(shù)最少的？你有什么話(huà)要跟大家說(shuō)？

教師根據(jù)學(xué)生的回答找出每個(gè)數(shù)據(jù)的最優(yōu)策略。

師：仔細(xì)觀(guān)察，你們發(fā)現(xiàn)怎樣的策略是最佳策略了嗎？

學(xué)生回答，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要想2次就稱(chēng)出次品，所有的分組里面只能看到2或3。允許稱(chēng)2次，在4～9個(gè)物品中可以找到次品。

師：現(xiàn)在有10個(gè)物品，其中有1個(gè)是次品，用天平至少稱(chēng)幾次才能保證找到次品？

學(xué)生分析得到10個(gè)物品中至少要稱(chēng)3次才能保證找到次品。

師：允許稱(chēng)3次除了在10個(gè)物品中可以找到次品，還可以在幾個(gè)物品中找到次品？

學(xué)生猜想15，18，21，27。

師：還有大的嗎？

生：沒(méi)有。

師：稱(chēng)3次，每一次最大不能超過(guò)9，所以稱(chēng)3次最多在27個(gè)物品中找到次品。那么稱(chēng)4次呢？稱(chēng)5次呢？請(qǐng)大家課后再進(jìn)行研究。這節(jié)課就上到這里，下課！

“找次品”是一個(gè)關(guān)于最佳策略的課題。9個(gè)物品中，有8個(gè)完全一樣，另一個(gè)稍輕（或稍重），稱(chēng)之為次品。我們需要用一架沒(méi)有砝碼的天平通過(guò)稱(chēng)量找出這個(gè)次品。一般而言，要解決這個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有什么難度，只需一次次進(jìn)行兩兩比較即可。我們的問(wèn)題是：怎樣保證稱(chēng)量次數(shù)最少，即要尋找最佳策略——通常表述為：分成3份，盡量平均分。

策略本身并不重要，重要的是尋找這一策略的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要進(jìn)行嘗試與調(diào)整，通過(guò)觀(guān)察與推理、概括與總結(jié)、分類(lèi)與比較等活動(dòng)尋找并確認(rèn)最佳策略。

為了讓學(xué)生很好地經(jīng)歷上述過(guò)程，張老師從一個(gè)簡(jiǎn)單的生活問(wèn)題著手：3瓶口香糖中有1瓶少了幾片，如何用天平稱(chēng)量的方法把那一瓶找到。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生要經(jīng)歷觀(guān)察、比較與推理的過(guò)程：天平兩邊各放一瓶，如果不平衡如何，如果平衡又如何。在天平不平衡的情況下，次品由觀(guān)察而得到，在天平平衡的情況下，次品由推理而得到。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)比，學(xué)生體會(huì)到了兩個(gè)很重要的詞：保證、至少。

在解決從9個(gè)物品中找次品的過(guò)程中，張老師創(chuàng)造性地給出了“次品組”的概念。這一概念有很好的概括性。事實(shí)上，尋找次品的過(guò)程就是不斷縮小次品組規(guī)模的過(guò)程。9個(gè)物品，若平分（4+4+1），則通過(guò)一次稱(chēng)量，能保證次品組的規(guī)模不超過(guò)5個(gè)。若平均分成3份，則可保證次品組的規(guī)模為3個(gè)。這是最佳策略。

從9個(gè)物品中找次品的問(wèn)題解決后，張老師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生研究從5、6、7、8個(gè)物品中找次品的問(wèn)題。通過(guò)這一系列研究，師生嘗試總結(jié)出一般結(jié)論：通過(guò)1次稱(chēng)量，可以解決3個(gè)以?xún)?nèi)物品中找次品的問(wèn)題；通過(guò)2次稱(chēng)量，可以解決9個(gè)以?xún)?nèi)物品中找次品的問(wèn)題；通過(guò)3次稱(chēng)量，可以解決27個(gè)以?xún)?nèi)物品中找次品的問(wèn)題。

在整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師的思路是清晰的，學(xué)生的活動(dòng)是充分的。

在此，我們需要提及，所謂“盡量平均分成3組”是由天平的特征決定的：天平有兩個(gè)托盤(pán)，每個(gè)托盤(pán)上只能放相同數(shù)量的物品，一般情況下，還可以有一些物品沒(méi)有被放到天平上。在研究找次品的問(wèn)題時(shí)，我們的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該是往天平上放多少個(gè)物品。如果放得太少，我們希望次品就在天平上，而我們擔(dān)心的是次品沒(méi)有被放上天平，從而使得次品組規(guī)模太大。若放得太多，我們希望次品沒(méi)有被放上天平，而我們擔(dān)心的是次品在天平上?？傊?，為了確保次品組不至于太大，我們不能往天平上放得太多，也不能放得太少，定量分析一下，不難得到：平均分成3份最佳。比如，從100個(gè)物品中找次品，我們當(dāng)然可以在天平兩邊各放50個(gè)，這樣能保證接下來(lái)只要從50個(gè)物品中找次品即可?；蛘呶覀?cè)谔炱絻蛇吀鞣?0個(gè)，剩下20個(gè)不放到天平上去。這樣，我們可以保證接下來(lái)只要從40個(gè)物品中找次品即可。若往天平兩邊各放20個(gè)物品，剩下60個(gè)不放到天平上，則我們擔(dān)心次品正好在沒(méi)放上天平的60個(gè)中，從而，我們只能保證接下來(lái)從不超過(guò)60個(gè)物品中找次品。這種稱(chēng)量反不如前面的了。做一點(diǎn)分析，我們就不難得到盡量平均分成3份是獲得最佳策略的充分條件。本課中，教師對(duì)這方面的分析稍顯不夠。

（作者單位：芙蓉區(qū)古曲中路育才第二小學(xué)長(zhǎng)沙市教育科學(xué)研究院）